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12. (跨学科融合)如图,把一根筷子的一端放在水里,一端露出水面,筷子变弯了? 其实没有,这是光的折射现象,光从空气中射入水中,光的传播方向发生了改变.
(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角.
(2)若测得∠AOE=65°,∠BOM=145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度? 请说明理由.
(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角.
(2)若测得∠AOE=65°,∠BOM=145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度? 请说明理由.
答案
12.解:(1)$∠1$的同旁内角是$∠MOE,∠AOE,∠ADE$,$∠2$的内错角是$∠MOE,∠AOE.$
(2)水下部分向上折弯了$30°$.理由如下:
$\because ∠BOM=145°,∴∠AOM=180°-∠BOM=35°.$
$\therefore ∠MOE=∠AOE-∠AOM=65°-35°=30°.$
$\therefore$水下部分向上折弯了$30°.$
(2)水下部分向上折弯了$30°$.理由如下:
$\because ∠BOM=145°,∴∠AOM=180°-∠BOM=35°.$
$\therefore ∠MOE=∠AOE-∠AOM=65°-35°=30°.$
$\therefore$水下部分向上折弯了$30°.$
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先掌握同旁内角、内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧、且在两条被截直线之间的角为同旁内角；位于截线两侧、且在两条被截直线之间的角为内错角，结合图形按定义查找对应角即可。
(2) 解决第二问首先利用平角为180°的性质，由已知∠BOM的度数求出∠AOM的度数，再根据角的和差关系，用∠AOE减去∠AOM，所得的角就是水下部分向上折弯的角度，该角度是光线实际传播路径和理论直线传播路径的夹角。
【解析】
(1) 根据同旁内角、内错角的定义判断：
∠1的同旁内角是∠MOE、∠AOE、∠ADE；
∠2的内错角是∠MOE、∠AOE。
(2) 水下部分向上折弯了30°，理由如下：
∵ AB为直线，∠AOB是平角，度数为180°，已知∠BOM=145°，
∴ ∠AOM = 180° - ∠BOM = 180° - 145° = 35°，
又
∵ 已知∠AOE=65°，
∴ ∠MOE = ∠AOE - ∠AOM = 65° - 35° = 30°，
即水下部分向上折弯了30°。
【答案】
(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠AOE,∠ADE，∠2的内错角是∠MOE,∠AOE。
(2)水下部分向上折弯了30°。
【知识点】
1. 三线八角识别
2. 平角的定义
3. 角的和差计算
【点评】
本题结合光的折射物理场景考查几何基础知识点，体现跨学科融合的考查特点，题目整体偏基础，重点考查对基础角的概念的掌握和角度计算的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需先掌握同旁内角、内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧、且在两条被截直线之间的角为同旁内角；位于截线两侧、且在两条被截直线之间的角为内错角，结合图形按定义查找对应角即可。
(2) 解决第二问首先利用平角为180°的性质，由已知∠BOM的度数求出∠AOM的度数，再根据角的和差关系，用∠AOE减去∠AOM，所得的角就是水下部分向上折弯的角度，该角度是光线实际传播路径和理论直线传播路径的夹角。
【解析】
(1) 根据同旁内角、内错角的定义判断：
∠1的同旁内角是∠MOE、∠AOE、∠ADE；
∠2的内错角是∠MOE、∠AOE。
(2) 水下部分向上折弯了30°，理由如下：
∵ AB为直线，∠AOB是平角，度数为180°，已知∠BOM=145°，
∴ ∠AOM = 180° - ∠BOM = 180° - 145° = 35°，
又
∵ 已知∠AOE=65°，
∴ ∠MOE = ∠AOE - ∠AOM = 65° - 35° = 30°，
即水下部分向上折弯了30°。
【答案】
(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠AOE,∠ADE，∠2的内错角是∠MOE,∠AOE。
(2)水下部分向上折弯了30°。
【知识点】
1. 三线八角识别
2. 平角的定义
3. 角的和差计算
【点评】
本题结合光的折射物理场景考查几何基础知识点，体现跨学科融合的考查特点，题目整体偏基础，重点考查对基础角的概念的掌握和角度计算的应用能力。
【难度系数】
0.7
13.将一副三角尺按如图所示的方式放置,给出下列结论:①若$∠ 2=30°$,则$AC// DE$;②若$BC// AD$,则$∠ 2=45°$;③$∠ BAE+∠ CAD=180°$;④若$∠ CAD=150°$,则$∠ 4=∠ C$.其中正确的是
$(\quad)$
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
$(\quad)$
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
13.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确一副三角尺的固定角度：两个三角尺的直角均为90°，其中△ACB是等腰直角三角尺，∠C=∠B=45°，△AED是含30°角的直角三角尺，∠E=60°、∠D=30°。我们结合平行线的判定与性质、角度和差关系，逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
我们逐个判断结论：
①若$∠2=30°$，则$∠CAE=∠CAB - ∠2 = 90° - 30°=60°$，此时$∠CAE=∠E=60°$，内错角相等，两直线平行，可得$AC// DE$，故①正确；
②若$BC// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠C=∠3=45°$，则$∠2=∠EAD - ∠3 = 90° - 45°=45°$，故②正确；
③$∠BAE + ∠CAD = (∠CAB - ∠2) + (∠CAB + ∠3)$，又因为$∠2 + ∠3=∠EAD=90°$，代入得：$(90°-∠2)+(90°+∠2)=180°$，故③正确；
④若$∠CAD=150°$，则$∠2=∠CAB + ∠EAD - ∠CAD = 90°+90°-150°=30°$，同①的推导可得$AC// DE$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠4=∠C$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质，三角板角度计算，角的和差运算
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角板放置和平行线的知识结合考查，需要熟练掌握平行线的判定、性质以及角度的和差推导，逐一验证结论即可得到答案。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确一副三角尺的固定角度：两个三角尺的直角均为90°，其中△ACB是等腰直角三角尺，∠C=∠B=45°，△AED是含30°角的直角三角尺，∠E=60°、∠D=30°。我们结合平行线的判定与性质、角度和差关系，逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
我们逐个判断结论：
①若$∠2=30°$，则$∠CAE=∠CAB - ∠2 = 90° - 30°=60°$，此时$∠CAE=∠E=60°$，内错角相等，两直线平行，可得$AC// DE$，故①正确；
②若$BC// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠C=∠3=45°$，则$∠2=∠EAD - ∠3 = 90° - 45°=45°$，故②正确；
③$∠BAE + ∠CAD = (∠CAB - ∠2) + (∠CAB + ∠3)$，又因为$∠2 + ∠3=∠EAD=90°$，代入得：$(90°-∠2)+(90°+∠2)=180°$，故③正确；
④若$∠CAD=150°$，则$∠2=∠CAB + ∠EAD - ∠CAD = 90°+90°-150°=30°$，同①的推导可得$AC// DE$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠4=∠C$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质，三角板角度计算，角的和差运算
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角板放置和平行线的知识结合考查，需要熟练掌握平行线的判定、性质以及角度的和差推导，逐一验证结论即可得到答案。
【难度系数】
0.65
14.【课本再现】(1)如图,直线 $ AB,CD $ 相交于点 $ O,OE ⊥ AB $,垂足为 $ O $.若 $ ∠ EOC=35° $,求 $ ∠ AOD $ 的度数;
【变式探究】(2)如图,直线 $ AB,CD $ 相交于点 $ O,OE ⊥ AB $,垂足为 $ O $.若 $ ∠ AOC:∠ COB=3:7 $,求 $ ∠ EOC $ 的度数.
【变式探究】(2)如图,直线 $ AB,CD $ 相交于点 $ O,OE ⊥ AB $,垂足为 $ O $.若 $ ∠ AOC:∠ COB=3:7 $,求 $ ∠ EOC $ 的度数.
答案
14.解:(1)$\because EO⊥ AB,\therefore ∠EOB=90°.$ 又$∠EOC=35°,∴∠BOC=∠EOC+∠BOE=35°+90°=125°.$
$\therefore ∠AOD=∠BOC=125°.$
(2)设$∠AOC=3x°$,则$∠COB=7x°.$
$\because ∠AOC+∠COB=180°,∴3x+7x=180,$解得$x=18.$
$\therefore ∠AOC=3x°=54°.$
$\therefore ∠EOC=90°-54°=36°.$
$\therefore ∠AOD=∠BOC=125°.$
(2)设$∠AOC=3x°$,则$∠COB=7x°.$
$\because ∠AOC+∠COB=180°,∴3x+7x=180,$解得$x=18.$
$\therefore ∠AOC=3x°=54°.$
$\therefore ∠EOC=90°-54°=36°.$
解析
【分析】
(1) 首先由垂直的定义可知OE⊥AB可得到90°的角，结合已知∠EOC的度数先求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等的性质，就能求出∠AOD的度数。
(2) 先明确∠AOC和∠COB是邻补角，和为180°，结合二者的比例关系设未知数列方程，先求出∠AOC的度数，再根据垂直得到的90°角减去∠AOC的度数，即可求出∠EOC的度数。
【解析】
(1) $\because OE⊥ AB$，根据垂直的定义可得$∠ EOB=90°$。
又$\because ∠ EOC=35°$，$\therefore ∠ BOC=∠ EOC+∠ EOB=35°+90°=125°$。
$\because$ 直线$AB$、$CD$相交于点$O$，$∠ AOD$与$∠ BOC$是对顶角，根据对顶角相等可得$∠ AOD=∠ BOC=125°$。
(2) 设$∠ AOC=3x°$，则$∠ COB=7x°$。
$\because ∠ AOC$和$∠ COB$是邻补角，根据邻补角互补可得$∠ AOC+∠ COB=180°$，即$3x+7x=180$，解得$x=18$。
$\therefore ∠ AOC=3×18°=54°$。
$\because OE⊥ AB$，根据垂直的定义可得$∠ AOE=90°$，
$\therefore ∠ EOC=∠ AOE-∠ AOC=90°-54°=36°$。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$；(2) $\boxed{36°}$
【知识点】
垂直的定义，对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题是相交线角度计算的基础典型题，解题关键是熟练掌握垂直、对顶角、邻补角的相关性质，结合已知条件逐步推导即可得到结果，侧重对基础概念和性质的应用考察。
【难度系数】
0.85
(1) 首先由垂直的定义可知OE⊥AB可得到90°的角，结合已知∠EOC的度数先求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等的性质，就能求出∠AOD的度数。
(2) 先明确∠AOC和∠COB是邻补角，和为180°，结合二者的比例关系设未知数列方程，先求出∠AOC的度数，再根据垂直得到的90°角减去∠AOC的度数，即可求出∠EOC的度数。
【解析】
(1) $\because OE⊥ AB$，根据垂直的定义可得$∠ EOB=90°$。
又$\because ∠ EOC=35°$，$\therefore ∠ BOC=∠ EOC+∠ EOB=35°+90°=125°$。
$\because$ 直线$AB$、$CD$相交于点$O$，$∠ AOD$与$∠ BOC$是对顶角，根据对顶角相等可得$∠ AOD=∠ BOC=125°$。
(2) 设$∠ AOC=3x°$，则$∠ COB=7x°$。
$\because ∠ AOC$和$∠ COB$是邻补角，根据邻补角互补可得$∠ AOC+∠ COB=180°$，即$3x+7x=180$，解得$x=18$。
$\therefore ∠ AOC=3×18°=54°$。
$\because OE⊥ AB$，根据垂直的定义可得$∠ AOE=90°$，
$\therefore ∠ EOC=∠ AOE-∠ AOC=90°-54°=36°$。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$；(2) $\boxed{36°}$
【知识点】
垂直的定义，对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题是相交线角度计算的基础典型题，解题关键是熟练掌握垂直、对顶角、邻补角的相关性质，结合已知条件逐步推导即可得到结果，侧重对基础概念和性质的应用考察。
【难度系数】
0.85
