1. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{m}{x-1}+5$有增根，则$m$的值是（）

A.$-3$
B.$-2$
C.$0$
D.$2$

D

【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需先明确增根的定义：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是去分母后整式方程的根。解题步骤为：①确定分式方程的增根（令最简公分母为0求解）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：分式方程的最简公分母为$x-1$，令$x-1=0$，得增根$x=1$。
2. 去分母：方程两边同乘$(x-1)$，得整式方程：$2x = m + 5(x-1)$。
3. 代入增根求$m$：将$x=1$代入整式方程，左边$=2×1=2$，右边$=m +5×(1-1)=m$，因此$m=2$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，属于基础题型，核心是掌握增根的概念，解题关键是先确定增根，再转化为整式方程代入计算，易错点是混淆增根的来源，忽略分母为0的前提。
【难度系数】
0.6

2. 若关于 $ x $ 的一元一次不等式组
$\begin{cases}\dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 3, \\x ≤ a\end{cases}$
的解集是 $ x ≤ a $，且关于 $ y $ 的分式方程 $ \dfrac{y - a}{y - 2} + \dfrac{3y - 4}{y - 2} = 1 $ 有正整数解，则所有满足条件的整数 $ a $ 值之积是（）

A.7
B.-14
C.28
D.-56

A

【分析】
本题需分两步求解：首先解一元一次不等式组，根据其解集确定参数$a$的取值范围；再解分式方程，结合“有正整数解”及分式方程分母不为0的条件，筛选出符合的整数$a$，最后计算这些整数的乘积。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\frac{3x - 1}{2} ≤ x + 3$，两边同乘2得：$3x -1 ≤ 2x +6$，移项化简得$x ≤7$。
已知不等式组解集为$x ≤ a$，根据“同小取小”原则，得$a ≤7$。
2. 解分式方程：
方程$\frac{y - a}{y - 2} + \frac{3y - 4}{y - 2} =1$，合并分子得：$\frac{4y -a -4}{y -2}=1$。
两边同乘$y-2$（$y≠2$，避免分母为0），得：$4y -a -4 = y -2$，移项计算得$3y =a +2$，即$y=\frac{a+2}{3}$。
3. 筛选符合条件的整数$a$：
分式方程有正整数解，故$y=\frac{a+2}{3}$为正整数，且$y≠2$（排除增根）。
$y$为正整数：$\frac{a+2}{3}$是正整数，即$a+2$是3的正整数倍，$a=3k -2$（$k$为正整数）；
$y≠2$：$\frac{a+2}{3}≠2$→$a≠4$；
结合$a≤7$，得$k=1$时$a=1$，$k=2$时$a=4$（排除），$k=3$时$a=7$，$k≥4$时$a≥10＞7$不符合。
满足条件的整数$a$为1和7，乘积为$1×7=7$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解集、分式方程的解
【点评】
本题综合考查不等式组与分式方程的知识点，需注意分式方程的增根条件（分母不为0），易因忽略该条件出错，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.4

3. 对于实数 $a,b$，定义一种新运算“$*$”：$a*b=\frac{1}{a^2 - b^2}$，等式右边是实数运算. 例如：$1*3=\frac{1}{1^2 - 3^2}=-\frac{1}{8}$. 方程 $x*(-2)=\frac{1}{x - 2}$ 的解是 $x=\_\_\_\_\_\_$.

$-1$

【分析】首先明确新运算“*”的定义，将方程左边的$x*(-2)$转化为普通分式形式，得到分式方程；再按照分式方程的解法，去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否满足分母不为0的条件，从而确定方程的解。
【解析】根据新运算“*”的定义$a*b=\frac{1}{a^2 - b^2}$，原方程$x*(-2)=\frac{1}{x - 2}$可转化为：
$\frac{1}{x^2 - (-2)^2} = \frac{1}{x - 2}$
化简得：
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{x - 2}$
分式方程分母不为0，因此$x^2 - 4 ≠ 0$（即$x ≠ \pm2$）且$x - 2 ≠ 0$（即$x ≠2$），故$x ≠2$。
方程两边同乘最简公分母$(x - 2)(x + 2)$，得：
$1 = x + 2$
解得$x = -1$。
检验：将$x=-1$代入原方程，左边$\frac{1}{(-1)^2 - (-2)^2}=-\frac{1}{3}$，右边$\frac{1}{-1 -2}=-\frac{1}{3}$，左边=右边，且分母均不为0，所以$x=-1$是原方程的解。
【答案】$-1$
【知识点】新定义运算、分式方程的解法
【点评】本题结合新定义运算考查分式方程的求解，核心是准确转化新运算，解分式方程时需注意检验解的合理性，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

4. 若关于$ x $的分式方程$\frac{3x}{x - 1} = \frac{m}{1 - x} + 2$的解为正数，则$ m $的取值范围是________.

$m ＜ -2$且$m≠-3$

【分析】
要解决这道题，需先将分式方程转化为整式方程求解，再结合“解为正数”和“分式方程分母不为0（解不能使原方程无意义）”两个条件确定m的范围。首先利用等式性质去分母，将分式方程化为整式方程，解出x后，根据两个限制条件列不等式，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：原分式方程为$\frac{3x}{x - 1} = \frac{m}{1 - x} + 2$，
注意到$1 - x = -(x - 1)$，两边同乘最简公分母$(x - 1)$（需满足$x≠1$，否则分母为0，方程无意义）去分母得：
$3x = -m + 2(x - 1)$，
展开右边：$3x = -m + 2x - 2$，
移项合并同类项：$3x - 2x = -m - 2$，
解得：$x = -m - 2$。
根据题意，方程的解为正数，因此：
$x ＞ 0$，即$-m - 2 ＞ 0$，解得$m ＜ -2$；
又因为分式方程分母不能为0，即$x - 1 ≠ 0$，所以$x ≠ 1$，代入$x = -m - 2$得：
$-m - 2 ≠ 1$，解得$m ≠ -3$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ -2$且$m ≠ -3$。
【答案】
$m ＜ -2$且$m≠-3$
【知识点】
分式方程的解；一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程解的相关问题，解题时需注意两个易错点：一是解为正数的条件，二是分式方程的解不能使原方程分母为0（即增根的情况），需同时满足两个条件才能得到正确结果，避免遗漏$m≠-3$的情况。
【难度系数】
0.4

5. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} 2x - a ＜ 3, \\ \dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{2x}{3} ＜ 1 \end{cases} $ 至少有两个整数解，且关于 $ y $ 的分式方程 $ \dfrac{a + y}{y - 3} - 1 = \dfrac{1}{y} $ 的解为整数，则所有满足条件的整数 $ a $ 的和是 ______.

0

【分析】
本题需先分别求解不等式组和分式方程，再根据题目限定条件筛选出符合要求的整数$a$，最后计算这些整数的和。核心思路：①解不等式组，根据“至少两个整数解”确定$a$的初步范围；②解分式方程，结合“解为整数且分式有意义”确定$a$的可能取值；③取两个范围的交集，筛选有效$a$并求和。
【解析】
1. 解不等式组
解第一个不等式$2x - a ＜ 3$，移项得$2x ＜ a + 3$，即$x ＜ \frac{a+3}{2}$；
解第二个不等式$\frac{x+1}{2} - \frac{2x}{3} ＜ 1$，两边同乘6去分母得$3(x+1) - 4x ＜ 6$，展开化简得$-x ＜ 3$，即$x ＞ -3$；
因此不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ \frac{a+3}{2}$。
要使不等式组至少有两个整数解，整数解最小为$-2、-1$，故需$\frac{a+3}{2} ＞ -1$，解得$a ＞ -5$。
2. 解分式方程
方程$\frac{a + y}{y - 3} - 1 = \frac{1}{y}$，两边同乘$y(y-3)$（$y≠0且y≠3$）去分母得：
$y(a + y) - y(y - 3) = y - 3$，
展开化简得$ay + 2y = -3$，即$y = \frac{-3}{a + 2}$；
分式方程解为整数，且需满足：
$y≠3$，即$\frac{-3}{a+2}≠3$，解得$a≠-3$；
$a+2$是$-3$的因数，故$a+2 = ±1、±3$，对应$a = -1、-3、1、-5$。
3. 筛选符合条件的整数$a$
结合$a ＞ -5$，排除$a=-5$；结合$a≠-3$，排除$a=-3$；剩余$a=-1、1$，均满足条件。
4. 计算和
满足条件的整数$a$的和为$-1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
一元一次不等式组、分式方程的解、整数解问题
【点评】
本题是代数综合题，需同时掌握不等式组整数解的判定和分式方程增根的排除，对学生的综合分析能力有一定要求，是常见的考试题型。
【难度系数】
0.4

6. 解方程：
(1) $\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{2}{2x - 2} - 3$；
(2) $\dfrac{3}{x - 1} + \dfrac{x + 3}{x^2 - 1} = 0$。

(1) 原方程无解；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$

【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否为增根（使原方程分母为0的根是增根，需舍去）。对于(1)，先整理分母找到最简公分母去分母，解整式方程后检验；对于(2)，先分解因式确定最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后检验。
【解析】
(1) 原方程整理为：$\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{2}{2(x - 1)} - 3$，最简公分母为$2(x - 1)$，且$x≠1$。
两边同乘$2(x - 1)$去分母得：$2x = 2 - 6(x - 1)$，
化简得：$2x = 2 - 6x + 6$，
移项合并得：$8x = 8$，
解得：$x = 1$。
检验：当$x=1$时，原方程分母$x-1=0$，$2x-2=0$，分母为0，$x=1$是增根，故原方程无解。
(2) 原方程中$x²-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$，且$x≠±1$。
两边同乘$(x-1)(x+1)$去分母得：$3(x + 1) + (x + 3) = 0$，
去括号得：$3x + 3 + x + 3 = 0$，
合并同类项得：$4x + 6 = 0$，
解得：$x = -\dfrac{3}{2}$。
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，原方程分母均不为0，故$x=-\dfrac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1) 原方程无解；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法、增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的基础求解，核心是去分母转化为整式方程后必须检验增根，需注意分母不为0的隐含条件，是分式方程的典型常规题型。
【难度系数】
0.3

7. 通过观察,发现不难求得方程:$x+\frac{2}{x}=3+\frac{2}{3}$的解是$x_1=3,x_2=\frac{2}{3};x+\frac{2}{x}=4+\frac{2}{4}$的解是$x_1=4,x_2=\frac{2}{4};x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解是$x_1=5,x_2=\frac{2}{5}······$
（1）观察上述方程及其解,可猜想关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=a+\frac{2}{a}$的解是________;
（2）求证:$x_1=a-1,x_2=\frac{2}{a-1}$都是方程$x+\frac{2}{x}=a+\frac{2}{a-1}-1$的解;
（3）利用你猜想的结论,解关于$x$的方程$\frac{x^2 - x + 2}{x - 1}=a+\frac{2}{a - 1}$

(1) $x_1=a, x_2=\frac{2}{a}$
(2) 证明过程如上
(3) $x_1=a, x_2=\frac{a+1}{a-1}$

【分析】
首先观察已知方程及其解的规律，归纳猜想方程的解；对于证明题，将待证解代入方程左右两边验证是否相等；对于解方程问题，先对原方程左边分式变形，转化为与猜想形式一致的方程，再利用猜想结论求解。
【解析】
（1）观察已知方程：$x+\frac{2}{x}=3+\frac{2}{3}$的解为$x_1=3,x_2=\frac{2}{3}$；$x+\frac{2}{x}=4+\frac{2}{4}$的解为$x_1=4,x_2=\frac{2}{4}$，可猜想方程$x+\frac{2}{x}=a+\frac{2}{a}$的解为$x_1=a, x_2=\frac{2}{a}$。
（2）证明：
将$x_1=a-1$代入方程左边：
左边=$(a-1)+\frac{2}{a-1}$，
方程右边=$a+\frac{2}{a-1}-1=(a-1)+\frac{2}{a-1}$，
左边=右边，故$x_1=a-1$是方程的解；
将$x_2=\frac{2}{a-1}$代入方程左边：
左边=$\frac{2}{a-1}+\frac{2}{\frac{2}{a-1}}=\frac{2}{a-1}+(a-1)$，
方程右边=$a+\frac{2}{a-1}-1=(a-1)+\frac{2}{a-1}$，
左边=右边，故$x_2=\frac{2}{a-1}$是方程的解。
（3）原方程左边变形：
$\frac{x^2 -x +2}{x-1}=\frac{x(x-1)+2}{x-1}=x+\frac{2}{x-1}$，
则原方程转化为：$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$，
两边同时减1得：$(x-1)+\frac{2}{x-1}=(a-1)+\frac{2}{a-1}$，
令$y=x-1$，$b=a-1$，则方程变为$y+\frac{2}{y}=b+\frac{2}{b}$，
根据（1）的结论，解得$y_1=b$，$y_2=\frac{2}{b}$，
即：
当$y_1=b=a-1$时，$x-1=a-1$，解得$x=a$；
当$y_2=\frac{2}{b}=\frac{2}{a-1}$时，$x-1=\frac{2}{a-1}$，解得$x=1+\frac{2}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$；
故方程的解为$x_1=a, x_2=\frac{a+1}{a-1}$。
【答案】
(1) $x_1=a, x_2=\frac{2}{a}$；(2) 证明如上；(3) $x_1=a, x_2=\frac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式方程的解、规律型：数字的变化类、换元法解方程
【点评】
本题通过观察方程与解的规律考查归纳猜想能力，结合分式变形和换元法求解，需掌握从特殊到一般的推理方法，以及分式化简技巧，是一道综合性较强的分式方程题。
【难度系数】
0.5