二、拓展性作业
1. 请阅读以下材料并解决相关问题：已知$\underbrace{a· a· a····· a}_{n个a}=a^{n}$，$\underbrace{a· a· a····· a}_{n个a}·\underbrace{a· a· a····· a}_{m个a}=a^{n}· a^{m}=a^{m + n}$，例如，$a^{2}× a^{3}=a^{5}$，$6^{2}×6 = 6^{3}$。
(1)①$m× m^{7}=\_\_\_\_\_\_×5^{2}=5^{10}$；
(2) $-\dfrac{1}{3}×(-\dfrac{1}{3})^{2}×(-\dfrac{1}{3})^{3}=$；
(3)若$a^{x}=6$，$a^{x + y}=36$，求$a^{x}+a^{y}$的值。

1. 解：(1) ① $ m ^ { 8 } $ ② $ 5 ^ { 8 } $ (2) $ \dfrac { 1 } { 729 } $
(3) 因为 $ a ^ { x } = 6 $， $ a ^ { x + y } = 36 $，
所以 $ a ^ { x } · a ^ { y } = 36 $，所以 $ 6 a ^ { y } = 36 $，
所以 $ a ^ { y } = 6 $，所以 $ a ^ { x } + a ^ { y } = 6 + 6 = 12 $。

2. 基本事实：若$a^{m}=a^{n}(a＞0$且$a≠1$，$m$，$n$是正整数)，则$m = n$。试利用上述基本事实求下列等式中$x$的值：$2^{x + 2}+2^{x + 1}=24$。

2. 解：原等式可化为 $ 2 × 2 ^ { x + 1 } + 2 ^ { x + 1 } = 24 $，
所以 $ 2 ^ { x + 1 } ( 2 + 1 ) = 24 $，
所以 $ 2 ^ { x + 1 } = 8 = 2 ^ { 3 } $，
所以 $ x + 1 = 3 $，
解得 $ x = 2 $。

3. 阅读材料：
求$3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$的值。
解：设$S = 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$①，
则$3S = 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}$②。
②$-$①得，$3S - S=(3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7})-(3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6})=3^{7}-3$，
所以$2S = 3^{7}-3$，即$S=\dfrac{3^{7}-3}{2}$，所以$3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}=\dfrac{3^{7}-3}{2}$。
这种方法我们称为“错位相减法”。
请根据上面的材料解决“棋盘放米”的数学问题：
阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏。阿基米德对国王说：“我只要在棋盘(64格棋盘)上第一格中放一粒米，第二格中放两粒米，第三格中放四粒米，第四格中放八粒米……按这个方法放满整张棋盘就行。”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了。
(1)在第$64$格中应放粒米。(用幂表示)
(2)设国王输给阿基米德的总米粒数为$M$，求$M$的值。

3. 解：(1) $ 2 ^ { 63 } $ 解析：由题意得，在第一格中放的
米粒数为 $ 1 = 2 ^ { 0 } $；
在第二格中放的米粒数为 $ 2 = 2 ^ { 1 } $；
在第三格中放的米粒数为 $ 4 = 2 ^ { 2 } $；
在第四格中放的米粒数为 $ 8 = 2 ^ { 3 } $；
……
所以在第 $ n $ 格中放的米粒数为 $ 2 ^ { n - 1 } $，
所以在第 64 格中应放 $ 2 ^ { 63 } $ 粒米。
(2) 由题意得，
$ M = 1 + 2 + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 3 } + ··· + 2 ^ { 63 } $，
$ 2 M = 2 + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 3 } + ··· + 2 ^ { 64 } $，
所以 $ 2 M - M = 2 ^ { 64 } - 1 $，即 $ M = 2 ^ { 64 } - 1 $。