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1（易错题）下列说法不正确的是（
A.直径是最长的弦
B.同圆中，所有的半径都相等
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.长度相等的弧是等弧
D
）A.直径是最长的弦
B.同圆中，所有的半径都相等
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.长度相等的弧是等弧
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查圆的基本概念的辨析，需逐一分析每个选项对应的圆的性质，判断说法的正误，找出不正确的选项。解题时要准确回忆圆的相关核心概念，避免概念混淆。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦，因此直径是圆中最长的弦，该说法正确。
2. 选项B：同圆的所有半径长度相等，这是圆的基本性质，说法正确。
3. 选项C：圆沿任意一条直径所在直线对折后，两侧能完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，说法正确。
4. 选项D：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，不仅要求长度相等，还要求弧所在圆的半径相等（即弧的弯曲程度相同），仅长度相等的弧不一定是等弧，该说法错误。
综上，不正确的选项是D。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本概念、等弧的定义、圆的对称性
【点评】
本题为圆的基础概念易错题，重点考查对圆核心概念的准确理解，尤其是等弧的定义是易错点，需注意概念的严谨性，避免混淆“长度相等”和“等弧”的区别。
【难度系数】
0.3
本题考查圆的基本概念的辨析，需逐一分析每个选项对应的圆的性质，判断说法的正误，找出不正确的选项。解题时要准确回忆圆的相关核心概念，避免概念混淆。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦，因此直径是圆中最长的弦，该说法正确。
2. 选项B：同圆的所有半径长度相等，这是圆的基本性质，说法正确。
3. 选项C：圆沿任意一条直径所在直线对折后，两侧能完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，说法正确。
4. 选项D：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，不仅要求长度相等，还要求弧所在圆的半径相等（即弧的弯曲程度相同），仅长度相等的弧不一定是等弧，该说法错误。
综上，不正确的选项是D。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本概念、等弧的定义、圆的对称性
【点评】
本题为圆的基础概念易错题，重点考查对圆核心概念的准确理解，尤其是等弧的定义是易错点，需注意概念的严谨性，避免混淆“长度相等”和“等弧”的区别。
【难度系数】
0.3
2 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ },∠ A=40^{\circ }$,以点$C$为圆心、$CB$长为半径的圆交$AB$于点$D$,连接$CD$,则$∠ ACD$的度数为（
A.$10^{\circ }$
B.$15^{\circ }$
C.$20^{\circ }$
D.$25^{\circ }$
A
）A.$10^{\circ }$
B.$15^{\circ }$
C.$20^{\circ }$
D.$25^{\circ }$
答案
2.A
解析
【分析】先利用直角三角形内角和求出∠B的度数，再根据同圆半径相等得到△CDB为等腰三角形，求出∠DCB的度数，最后用∠ACB减去∠DCB得到∠ACD的度数。
【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，根据三角形内角和为180°，得∠B=180°−90°−40°=50°。
因为CD、CB都是⊙C的半径，所以CD=CB，△CDB是等腰三角形，故∠CDB=∠B=50°。
在△CDB中，∠DCB=180°−∠CDB−∠B=180°−50°−50°=80°。
因此∠ACD=∠ACB−∠DCB=90°−80°=10°。
【答案】A
【知识点】等腰三角形性质、圆的半径性质、三角形内角和
【点评】本题结合直角三角形、等腰三角形和圆的基础性质解题，步骤清晰，属于基础几何题，主要考查角度计算的基本方法。
【难度系数】0.6
【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，根据三角形内角和为180°，得∠B=180°−90°−40°=50°。
因为CD、CB都是⊙C的半径，所以CD=CB，△CDB是等腰三角形，故∠CDB=∠B=50°。
在△CDB中，∠DCB=180°−∠CDB−∠B=180°−50°−50°=80°。
因此∠ACD=∠ACB−∠DCB=90°−80°=10°。
【答案】A
【知识点】等腰三角形性质、圆的半径性质、三角形内角和
【点评】本题结合直角三角形、等腰三角形和圆的基础性质解题，步骤清晰，属于基础几何题，主要考查角度计算的基本方法。
【难度系数】0.6
3 已知$\odot O$的半径为$3\ \mathrm{cm}$,$OA=2.5\ \mathrm{cm}$,则点$A$在$\odot O$
内
(填“内”“上”或“外”).答案
3.内
解析
【分析】要判断点A与⊙O的位置关系，需依据点到圆心的距离与圆半径的大小关系：若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；等于半径则在圆上；大于半径则在圆外。本题中先确定点A到圆心O的距离，再和⊙O的半径比较大小即可得出结论。
【解析】已知⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离OA=2.5cm，因为2.5cm ＜ 3cm，即点A到圆心的距离小于⊙O的半径，所以点A在⊙O内。
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题是基础几何题，直接考查点与圆的位置关系的判定规则，只要掌握核心判定方法就能快速解答，属于几何入门的基础知识点应用。
【难度系数】0.9
【解析】已知⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离OA=2.5cm，因为2.5cm ＜ 3cm，即点A到圆心的距离小于⊙O的半径，所以点A在⊙O内。
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题是基础几何题，直接考查点与圆的位置关系的判定规则，只要掌握核心判定方法就能快速解答，属于几何入门的基础知识点应用。
【难度系数】0.9
4 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$AB=8$.若以点$C$为圆心、$CA$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$,则$\odot C$的半径为
4
.答案
4.4
解析
【解析】
解：连接CD，
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，D是AB的中点，
根据直角三角形斜边中线定理，可得$CD=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=8$，则$CD=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵$\odot C$以CA为半径且经过点D，
∴$\odot C$的半径$r=CA=CD=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；圆的半径定义
【点评】
本题的核心是利用直角三角形斜边中线的性质，将已知的斜边长度和所求的圆半径建立关联，解题思路直接清晰，侧重考查对基础几何定理的识别与应用。
【难度系数】
0.8
解：连接CD，
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，D是AB的中点，
根据直角三角形斜边中线定理，可得$CD=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=8$，则$CD=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵$\odot C$以CA为半径且经过点D，
∴$\odot C$的半径$r=CA=CD=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；圆的半径定义
【点评】
本题的核心是利用直角三角形斜边中线的性质，将已知的斜边长度和所求的圆半径建立关联，解题思路直接清晰，侧重考查对基础几何定理的识别与应用。
【难度系数】
0.8
5 如图,AB 是$\odot O$的弦,半径 OC,OD 分别交 AB 于点 E,F,且$AE=BF$. 请探究线段 OE 与 OF 之间的数量关系,并给予证明.
答案
5. OE=OF 连接OA,OB. $\because OA=OB,\therefore ∠ OAE=∠ OBF$.
又$\because AE=BF,\therefore △ OAE≌△ OBF.\therefore OE=OF$
又$\because AE=BF,\therefore △ OAE≌△ OBF.\therefore OE=OF$
解析
【分析】
要探究OE与OF的数量关系，观察图形可知OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，可推出∠OAE=∠OBF；结合已知AE=BF，可通过证明△OAE和△OBF全等，进而得到OE与OF的数量关系。
【解析】
连接OA、OB。
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB，根据等边对等角，得∠OAE=∠OBF。
在△OAE和△OBF中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠OAE=∠OBF \\AE=BF\end{array} $
∴ △OAE≌△OBF（SAS），
∴ OE=OF。
【答案】
OE=OF
【知识点】
圆的半径性质、全等三角形判定
【点评】
本题利用圆的半径相等的性质，结合全等三角形的判定定理解决线段相等问题，属于圆的基础题型，需掌握全等三角形的判定方法和圆的基本性质。
【难度系数】
0.6
要探究OE与OF的数量关系，观察图形可知OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，可推出∠OAE=∠OBF；结合已知AE=BF，可通过证明△OAE和△OBF全等，进而得到OE与OF的数量关系。
【解析】
连接OA、OB。
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB，根据等边对等角，得∠OAE=∠OBF。
在△OAE和△OBF中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠OAE=∠OBF \\AE=BF\end{array} $
∴ △OAE≌△OBF（SAS），
∴ OE=OF。
【答案】
OE=OF
【知识点】
圆的半径性质、全等三角形判定
【点评】
本题利用圆的半径相等的性质，结合全等三角形的判定定理解决线段相等问题，属于圆的基础题型，需掌握全等三角形的判定方法和圆的基本性质。
【难度系数】
0.6
6 教材变式题 如图，$BD$，$CE$ 分别是$△ ABC$ 的高，$M$ 为 $BC$ 的中点. 求证: 点 $B,C,D,E$ 在以点 $M$ 为圆心的同一个圆上.
答案
6. 连接$ME,MD. \because BD,CE$分别是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ BEC=∠ BDC=90°$.又$\because M$为$BC$的中点,$\therefore$ 易得$ME=MD=MC=MB=\dfrac{1}{2}BC. \therefore$ 点$B,C,D,E$在以点$M$为圆心的同一个圆上
解析
【分析】要证明点B、C、D、E在以M为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到定点M的距离相等。已知BD、CE是△ABC的高，可得到两个直角三角形，结合M是BC中点，利用直角三角形斜边中线的性质，就能推出ME、MD、MB、MC都相等，进而完成证明。
【解析】连接ME、MD。
∵ BD、CE分别是△ABC的高，
∴ ∠BEC = ∠BDC = 90°，即△BEC和△BDC都是直角三角形。
又
∵ M为BC的中点，
根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得：
在Rt△BEC中，ME = $\frac{1}{2}$BC；
在Rt△BDC中，MD = $\frac{1}{2}$BC；
同时，MB = MC = $\frac{1}{2}$BC。
∴ ME = MD = MB = MC，
这说明点B、C、D、E到点M的距离相等，因此点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
【知识点】直角三角形斜边中线性质，圆的定义
【点评】本题是教材变式题，考查直角三角形性质与圆的定义的综合应用，关键是利用直角三角形斜边中线相等的性质推导四点到定点的距离相等，属于基础证明题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】连接ME、MD。
∵ BD、CE分别是△ABC的高，
∴ ∠BEC = ∠BDC = 90°，即△BEC和△BDC都是直角三角形。
又
∵ M为BC的中点，
根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得：
在Rt△BEC中，ME = $\frac{1}{2}$BC；
在Rt△BDC中，MD = $\frac{1}{2}$BC；
同时，MB = MC = $\frac{1}{2}$BC。
∴ ME = MD = MB = MC，
这说明点B、C、D、E到点M的距离相等，因此点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
【知识点】直角三角形斜边中线性质，圆的定义
【点评】本题是教材变式题，考查直角三角形性质与圆的定义的综合应用，关键是利用直角三角形斜边中线相等的性质推导四点到定点的距离相等，属于基础证明题，难度适中。
【难度系数】0.6
