7 如图,在$\odot O$中,$A,B$是圆上两点.已知$∠ AOB=40^{ \circ }$,直径$CD //$弦$AB$,连接$AC$,则$∠ BAC$等于（）

A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$

7.A

【分析】
要计算∠BAC的度数，需结合圆的性质、等腰三角形性质和平行线性质逐步推导：
1. 由同圆半径相等得OA=OB，△OAB为等腰三角形，结合∠AOB=40°可算出∠OAB；
2. 利用CD//AB的平行线性质，得到∠OAB与∠AOD的内错角关系，求出∠AOC的度数；
3. 再由同圆半径相等得OA=OC，△OAC为等腰三角形，算出∠OAC的度数；
4. 最后通过∠BAC=∠OAB - ∠OAC，即可得到结果。
【解析】
解：
∵ OA=OB（同圆的半径相等），
∴ △OAB是等腰三角形，
∴ ∠OAB = (180° - ∠AOB)/2 = (180° - 40°)/2 = 70°。
∵ CD//AB，
∴ ∠OAB = ∠AOD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AOD = 70°。
∵ CD是直径，
∴ ∠AOD + ∠AOC = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - 70° = 110°。
又
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ △OAC是等腰三角形，
∴ ∠OAC = (180° - ∠AOC)/2 = (180° - 110°)/2 = 35°。
∴ ∠BAC = ∠OAB - ∠OAC = 70° - 35° = 35°。
【答案】
A
【知识点】
圆的性质、等腰三角形、平行线性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、等腰三角形角度计算和平行线性质，解题关键是利用平行线内错角关系和同圆半径相等的特点，逐步推导角度，属于基础几何题。
【难度系数】
0.3

8 如图,A,B,C 是$\odot O$上不重合的三点,则下列结论一定正确的是（）

A.$∠ AOB=∠ A+∠ B$
B.$∠ AOB=2(∠ A+∠ B)$
C.$∠ AOB=90°-(∠ A+∠ B)$
D.$∠ AOB=180°-2(∠ A+∠ B)$

8.B

【分析】要推导∠AOB与∠A、∠B的关系，首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，转化角的关系，再结合圆周角定理即可得出结论。
【解析】
∵OA、OC是⊙O的半径，OB、OC也是⊙O的半径，
∴OA=OC，OB=OC，
∴△OAC和△OBC都是等腰三角形，
∴∠A=∠OCA，∠B=∠OCB，
∴∠ACB=∠OCA + ∠OCB = ∠A + ∠B，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧AB对应的圆心角为∠AOB，对应的圆周角为∠ACB，
∴∠AOB=2∠ACB=2(∠A+∠B)，
故选项B正确。
【答案】B
【知识点】等腰三角形性质、圆周角定理
【点评】本题结合圆的基本性质与圆周角定理，考查角度关系的推导，核心是利用等腰三角形转化角，再结合圆周角定理得出结论，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

9 如图,$AB$为$\odot O$的直径,弦$ED$与$AB$的延长线交于$\odot O$外一点$C$,且$AB=2CD$,$∠ C=25°$,连接$OE$,则$∠ AOE$的度数为.

9.$75°$

【分析】
要解决本题，需先连接辅助线OD，利用圆的半径相等的性质，结合已知条件推导等腰三角形，再通过三角形外角性质逐步求出角度：首先由AB是直径得AB=2OD，结合AB=2CD推出OD=CD，得到等腰△ODC，求出∠COD；再利用外角性质得∠EDO，结合OE=OD得到等腰△OED，求出∠OED；最后利用三角形外角性质计算∠AOE。
【解析】
解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2OD，
又
∵AB=2CD，
∴OD=CD，
∴△ODC是等腰三角形，∠COD=∠C=25°，
根据三角形外角的性质，∠EDO是△ODC的外角，
∴∠EDO=∠C + ∠COD=25°+25°=50°，
∵OE、OD都是⊙O的半径，
∴OE=OD，即△OED是等腰三角形，
∴∠OED=∠EDO=50°，
在△EOC中，∠AOE是△EOC的外角，
∴∠AOE=∠OED + ∠C=50°+25°=75°。
【答案】
75°
【知识点】
圆的性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题通过辅助线OD将已知条件与圆的半径性质结合，利用等腰三角形和三角形外角的核心性质求解角度，关键在于推导OD=CD这一关系，属于中等难度的几何角度计算题型。
【难度系数】
0.4

10 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$AC=BC=2$.以$BC$为直径的半圆交$AB$于点$D$,$P$是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点,连接$AP$,则$AP$长的最小值为.

10.$\sqrt{5}-1$

【分析】要找到AP的最小值，需利用圆外一点到圆上点的最短距离规律：圆外一点到圆上任意一点的最短距离，等于该点到圆心的距离减去圆的半径。首先确定半圆的圆心为BC的中点O，计算点A到圆心O的距离AO，再减去半圆的半径，即可得到AP的最小值。
【解析】
1. 确定半圆的圆心和半径：因为BC是半圆的直径，O是BC的中点，所以半圆的半径$ r = OC = OB = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1 $。
2. 计算点A到圆心O的距离：在$ \mathrm{Rt}△ACO $中，$ ∠ACO=90° $，$ AC=2 $，$ OC=1 $，根据勾股定理，$ AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $。
3. 求AP的最小值：当点P在AO与弧CD的交点处时，AP最短，此时$ AP = AO - OP $（OP为半圆半径），所以AP的最小值为$ \sqrt{5} - 1 $。
【答案】$\sqrt{5}-1$
【知识点】圆的性质、勾股定理、几何最值
【点评】本题结合圆的性质与勾股定理，考查了圆外一点到圆上点的最短距离的应用，解题关键是找到点A到圆心的距离，再利用半径计算最短距离，属于中等难度的几何最值问题。
【难度系数】0.5

11 如图,$△ ABC$ 和$△ ABD$ 都为直角三角形,且$∠ C=∠ D=90°$. 求证:$A,B,C,D$ 四点在同一个圆上.

11. 取$AB$的中点$O$,连接$DO,CO. \because △ ABC,△ ABD$均为直角三角形,$O$为$AB$的中点,$\therefore OA=OB=OC=OD=\dfrac{1}{2}AB$.
$\therefore A,B,C,D$四点在同一个圆上

【分析】要证明A、B、C、D四点共圆，核心思路是找到一个定点，使这四个点到该定点的距离相等（该定点为圆心，相等距离为半径）。观察图形可知，△ABC和△ABD的斜边均为AB，因此取AB的中点，利用直角三角形斜边中线的性质，即可得到四个点到该中点的距离相等，进而证明四点共圆。
【解析】取AB的中点O，连接DO、CO。
∵ △ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C=∠D=90°，O是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：OA=OB=OC=OD=½AB，
∴ A、B、C、D四点到点O的距离相等，因此这四个点在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
【答案】取AB的中点O，连接DO，CO。
∵△ABC，△ABD均为直角三角形，O为AB的中点，
∴OA=OB=OC=OD=½AB，
∴A，B，C，D四点在同一个圆上。
【知识点】四点共圆、直角三角形斜边中线定理
【点评】本题是四点共圆证明的基础题型，利用直角三角形斜边中线的性质构造共圆的条件，关键在于找到到四个点距离相等的定点，难度适中，属于基础几何证明题。
【难度系数】0.5

12 在$\odot O$中,直径$AB=6$,BC 是弦,$∠ ABC=30°$,点 P 在 BC 上,点 Q 在$\odot O$上,且$OP ⊥ PQ$.
(1) 如图①,当$PQ // AB$时,求 PQ 的长;
(2) 如图②,当点 P 在 BC 上移动时,求 PQ 长的最大值.

12. (1) 连接$OQ. \because PQ// AB,PQ⊥ OP,\therefore OP⊥ AB. \because AB=6,\therefore OB=3. \because ∠ ABC=30°,\therefore PB=2OP$. 设$OP=x$,则$PB=2x. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ PBO$中,$PB^2=OP^2+OB^2,\therefore (2x)^2=x^2+3^2$,解得$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去). $\therefore OP=\sqrt{3}$.
$\because OQ=OB=3,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ POQ$中,由勾股定理,得$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{6}$
(2) 连接$OQ$. 由勾股定理,得$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$.要使$PQ$的长取最大值,则$OP$的长取最小值,此时$OP⊥ BC. \because ∠ ABC=30°,\therefore$ 此时$OP=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{3}{2}. \therefore PQ$长的最大值为$\sqrt{9-(\dfrac{3}{2})^2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$

【分析】
要解决这道题，分两小问分析：
(1) 已知PQ//AB且OP⊥PQ，可推出OP⊥AB，结合AB是直径得OB=3，在Rt△PBO中，利用∠ABC=30°的直角三角形性质设未知数，用勾股定理算出OP；再在Rt△POQ中，OQ是圆的半径，用勾股定理计算PQ。
(2) 由OP⊥PQ可知△POQ是直角三角形，PQ=√(OQ² - OP²)，OQ固定为3，要PQ最大需OP最小，根据垂线段最短，当OP⊥BC时OP最小，此时利用30°角直角三角形性质算出OP，进而求出PQ最大值。
【解析】
(1) 连接OQ。
∵ PQ//AB，OP⊥PQ，
∴ OP⊥AB，即∠POB=90°。
∵ AB是⊙O的直径，AB=6，
∴ OB=3。
在Rt△PBO中，∠ABC=30°，
∴ PB=2OP。设OP=x，则PB=2x，由勾股定理：
PB² = OP² + OB² → (2x)² = x² + 3² → 4x² = x² + 9 → 3x²=9 → x²=3，解得x=√3（x=-√3舍去），故OP=√3。
在Rt△POQ中，OQ=OB=3，由勾股定理：
PQ=√(OQ² - OP²)=√(3² - (√3)²)=√(9-3)=√6。
(2) 连接OQ。
∵ OP⊥PQ，
∴ △POQ是直角三角形，由勾股定理得：
PQ=√(OQ² - OP²)=√(9 - OP²)。
∵ OQ=3（定值），
∴ 要使PQ最大，需OP最小。根据垂线段最短，当OP⊥BC时，OP取得最小值。
此时在Rt△PBO中，∠ABC=30°，OB=3，
∴ OP= (1/2)OB= 3/2。
代入得PQ最大值为√(9 - (3/2)²)=√(9 - 9/4)=√(27/4)= (3√3)/2。
【答案】
(1) √6；(2) (3√3)/2
【知识点】
圆的半径性质、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆与直角三角形的知识，解题核心是利用平行线性质、垂线段最短及勾股定理，结合30°角直角三角形的性质进行计算，需要学生掌握圆的基本性质和几何推理方法，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5