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1. (2025 苏州市期末)若一个等腰三角形的一条边是另一条边的$k$倍,我们把这样的等腰三角形叫作“$k$倍边等腰三角形”.若一个等腰三角形是“4 倍边等腰三角形”,且周长为18 cm,则该等腰三角形的底边长为 （
A.12 cm
B.12 cm 或 2 cm
C.2 cm
D.4 cm 或 12 cm
C
）A.12 cm
B.12 cm 或 2 cm
C.2 cm
D.4 cm 或 12 cm
答案
C
2. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的,则$∠ BAC$的度数为 （
A.$28°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$72°$
B
）A.$28°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$72°$
答案
B 提示:如图,五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形,所以$∠EAB=∠ACD=\frac{180°×(5-2)}{5}=108°$,所以$∠EAC=∠ACB=180°-∠ACD=72°$,所以$∠BAC=∠EAB-∠EAC=108°-72°=36°$.
3. 如图,等腰三角形$ABC$的底边$BC$的长为4 cm,其面积为$16\ \mathrm{cm}^{2}$,腰$AC$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$E$,交$AB$于点$F$,$D$为$BC$的中点,$M$为直线$EF$上的动点,则$△ CDM$周长的最小值为（
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
D
）A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
D 提示:连接$AD$,$AM$. 因为$△ABC$是等腰三角形,$D$是底边$BC$的中点,所以$AD⊥BC$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$,即$16=\frac{1}{2}×4·AD$,所以$AD=8\ \mathrm{cm}$. 因为$EF$是线段$AC$的垂直平分线,所以$AM=CM$,所以$CM+DM=AM+DM≥AD$,所以$AD$的长为$CM+DM$的最小值,所以$△CDM$周长的最小值为$AD+\frac{1}{2}BC=10\ \mathrm{cm}$.
4. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $40^{\circ }$，则该等腰三角形的底角度数是
$65°或25°$
。答案
$65°或25°$ 提示:如图1,若三角形为锐角三角形,则$∠ACD=40°$,所以$∠A=90°-∠ACD=50°$,所以$∠B=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠A)=65°$;如图2,若三角形为钝角三角形,则$∠DCA=40°$,所以$∠DAC=90°-∠DCA=50°$. 又因为$∠DAC=∠B+∠ACB$,所以$∠B=∠ACB=25°$. 综上所述,该等腰三角形的底角度数是$65°$或$25°$.
5. (2025 扬州市仪征市期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC, AD ⊥ BC$, 延长 $BC$ 到点 $E$, 使得 $CE=AB$, 延长 $CB$ 到点 $F$, 使得 $BF+AB=AE$, 则 $\dfrac{AE+FC-CE}{DF}$ 的值为
2
.答案
2 提示:因为$AB=AC$,$AD⊥BC$,所以$BD=CD$. 所以$BC=2BD$. 因为$CE=AB$,所以$AB=AC=CE$. 因为$BF+AB=AE$,所以$AE+FC-CE=BF+AB+BF+2BD-AB=2BF+2BD=2(BF+BD)=2DF$. 所以$\frac{AE+FC-CE}{DF}=\frac{2DF}{DF}=2$.
6. (2025 南京市期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=$$AC$,直线$m,n$分别是$AB,AC$的垂直平分线,$m,n$交于点$P$,连接$CP$.若$∠ 1=21^{ \circ }$,则$∠ B$的度数为
$67°$
.答案
$67°$
7. 某数学兴趣小组开展了一次数学活动，过程如下：设$∠ BAC=θ(0°＜θ＜90°)$. 现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线$AB,AC$上.
活动一：如图1，从点$A_1$开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，$A_1A_2$为第1根小棒.
数学思考：
（1）小棒
（2）设$AA_1=A_1A_2=A_2A_3$，则$θ=$
活动二：如图2，从点$A_1$开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中$A_1A_2$为第1根小棒，且$A_1A_2=AA_1$.
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，试用含$θ$的式子表示$θ_3$.
（4）若只能摆放4根小棒，求$θ$的取值范围.
活动一：如图1，从点$A_1$开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，$A_1A_2$为第1根小棒.
数学思考：
（1）小棒
能
（填“能”或“不能”）无限摆下去.（2）设$AA_1=A_1A_2=A_2A_3$，则$θ=$
$22.5$
$°$.活动二：如图2，从点$A_1$开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中$A_1A_2$为第1根小棒，且$A_1A_2=AA_1$.
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，试用含$θ$的式子表示$θ_3$.
（4）若只能摆放4根小棒，求$θ$的取值范围.
答案
(1) 能
(2) 22.5
(3) 因为$A_1A_2=AA_1$,所以$∠AA_2A_1=∠A=θ$,所以$∠A_2A_1A_3=∠A+∠AA_2A_1$,即$θ_1=2θ$. 同理可得$θ_2=3θ$,$θ_3=4θ$.
(4) 由题意,得$\begin{cases}4θ＜90°,\\5θ≥90°,\end{cases}$ 解得 $18°≤θ＜22.5°$.
(2) 22.5
(3) 因为$A_1A_2=AA_1$,所以$∠AA_2A_1=∠A=θ$,所以$∠A_2A_1A_3=∠A+∠AA_2A_1$,即$θ_1=2θ$. 同理可得$θ_2=3θ$,$θ_3=4θ$.
(4) 由题意,得$\begin{cases}4θ＜90°,\\5θ≥90°,\end{cases}$ 解得 $18°≤θ＜22.5°$.
