登录
一、选择题(每小题5分,共20分)
1. 下列说法正确的是（
A.不相交的两条直线叫作平行线
B.同一平面内,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C.平角是一条直线
D.过同一平面内三点中任意两点,只能画出3条直线
1. 下列说法正确的是（
B
）A.不相交的两条直线叫作平行线
B.同一平面内,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C.平角是一条直线
D.过同一平面内三点中任意两点,只能画出3条直线
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查平面几何的基础概念，需逐一分析每个选项的正确性：首先回忆平行线的定义，必须限定“同一平面内”；垂线的性质需注意“同一平面内”的前提；平角是角而非直线，有顶点和两条边；过平面内三点画直线时，若三点共线只能画1条，并非一定3条。据此判断各选项对错。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：平行线的定义是“同一平面内，不相交的两条直线”，该选项未限定“同一平面”，若两条直线不在同一平面，不相交也不一定平行，故A错误。
2. 选项B：根据垂线的基本性质，同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，该表述符合性质，故B正确。
3. 选项C：平角是由具有公共端点的两条射线组成的角，其两边在同一直线上，但平角有顶点，与直线是不同的几何概念，故C错误。
4. 选项D：若三点共线，过这三点中任意两点只能画出1条直线，并非一定3条，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线的定义、垂线的性质、平角的概念
【点评】
本题考查平面几何的核心基础概念，属于直接考查知识点的基础题型，需要学生准确记忆各概念的定义和性质，难度较低。
【难度系数】
0.7
这道题考查平面几何的基础概念，需逐一分析每个选项的正确性：首先回忆平行线的定义，必须限定“同一平面内”；垂线的性质需注意“同一平面内”的前提；平角是角而非直线，有顶点和两条边；过平面内三点画直线时，若三点共线只能画1条，并非一定3条。据此判断各选项对错。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：平行线的定义是“同一平面内，不相交的两条直线”，该选项未限定“同一平面”，若两条直线不在同一平面，不相交也不一定平行，故A错误。
2. 选项B：根据垂线的基本性质，同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，该表述符合性质，故B正确。
3. 选项C：平角是由具有公共端点的两条射线组成的角，其两边在同一直线上，但平角有顶点，与直线是不同的几何概念，故C错误。
4. 选项D：若三点共线，过这三点中任意两点只能画出1条直线，并非一定3条，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线的定义、垂线的性质、平角的概念
【点评】
本题考查平面几何的核心基础概念，属于直接考查知识点的基础题型，需要学生准确记忆各概念的定义和性质，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图,斑马线的作用是引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直于马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是（
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
）A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合实际场景与数学概念对应：行人沿垂直马路的方向走斑马线，本质是选择最短路径，需判断哪个数学原理能解释“垂直方向走更合理”。
【解析】
逐一分析选项：
选项A：垂线段最短，指直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短。行人沿垂直马路方向走，走的就是垂线段，路径最短，符合“更合理”的要求。
选项B：两点确定一条直线，仅说明两点可确定一条直线，与路径长短无关，不符合。
选项C：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，强调垂直的唯一性，不涉及路径最短，不符合。
选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行的性质，与本题无关。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际考查数学原理的应用，难度较低，需学生将垂线段的性质与生活场景结合理解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合实际场景与数学概念对应：行人沿垂直马路的方向走斑马线，本质是选择最短路径，需判断哪个数学原理能解释“垂直方向走更合理”。
【解析】
逐一分析选项：
选项A：垂线段最短，指直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短。行人沿垂直马路方向走，走的就是垂线段，路径最短，符合“更合理”的要求。
选项B：两点确定一条直线，仅说明两点可确定一条直线，与路径长短无关，不符合。
选项C：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，强调垂直的唯一性，不涉及路径最短，不符合。
选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行的性质，与本题无关。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际考查数学原理的应用，难度较低，需学生将垂线段的性质与生活场景结合理解。
【难度系数】
0.8
3. 当时间是9:20时钟面上的时针与分针的夹角是 （
A.$150^{\circ }$
B.$160^{\circ }$
C.$162^{\circ }$
D.$165^{\circ }$
B
）A.$150^{\circ }$
B.$160^{\circ }$
C.$162^{\circ }$
D.$165^{\circ }$
答案
3.B
解析
【分析】
要计算9:20时钟面上时针与分针的夹角，需先明确时针和分针的转动速度：时钟一圈为360°，分针60分钟转一圈，故每分钟转6°；时针12小时转一圈，每小时转30°，每分钟转0.5°。再分别计算9:20时分针和时针从12点位置转过的角度，最后求两者的角度差即可得到夹角。
【解析】
1. 分针每分钟转动角度：$ 360° ÷ 60 = 6° $；
2. 时针每分钟转动角度：$ 30° ÷ 60 = 0.5° $；
3. 9:20时，分针转过的角度：$ 20 × 6° = 120° $；
4. 9:20时，时针转过的角度：$ 9 × 30° + 20 × 0.5° = 270° + 10° = 280° $；
5. 时针与分针的夹角：$ |280° - 120°| = 160° $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
钟面角计算
【点评】
本题考查钟面角的计算，核心是掌握时针和分针的转动速度，计算时针角度时需包含分钟对应的转动量，避免仅按整点计算导致错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要计算9:20时钟面上时针与分针的夹角，需先明确时针和分针的转动速度：时钟一圈为360°，分针60分钟转一圈，故每分钟转6°；时针12小时转一圈，每小时转30°，每分钟转0.5°。再分别计算9:20时分针和时针从12点位置转过的角度，最后求两者的角度差即可得到夹角。
【解析】
1. 分针每分钟转动角度：$ 360° ÷ 60 = 6° $；
2. 时针每分钟转动角度：$ 30° ÷ 60 = 0.5° $；
3. 9:20时，分针转过的角度：$ 20 × 6° = 120° $；
4. 9:20时，时针转过的角度：$ 9 × 30° + 20 × 0.5° = 270° + 10° = 280° $；
5. 时针与分针的夹角：$ |280° - 120°| = 160° $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
钟面角计算
【点评】
本题考查钟面角的计算，核心是掌握时针和分针的转动速度，计算时针角度时需包含分钟对应的转动量，避免仅按整点计算导致错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
4. 已知$∠ α$和$∠ β$互补，且$∠ α ＞ ∠ β$. 有下列表示$∠ β$的余角的式子：①$90°-∠ β$；②$∠ α -90°$；③$\dfrac{1}{2}(∠ α +∠ β )$；④$\dfrac{1}{2}(∠ α -∠ β )$. 其中正确的是（
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
B
）A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确：两个角互补则和为180°，两个角互余则和为90°，因此∠β的余角可表示为90°−∠β。已知∠α与∠β互补，故∠α+∠β=180°，即∠α=180°−∠β，据此逐一分析各表示式是否等于90°−∠β即可。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互补，
∴∠α + ∠β = 180°，即∠α = 180°−∠β。
∠β的余角为90°−∠β，逐一判断：
①90°−∠β，直接是∠β的余角，正确；
②∠α−90° = (180°−∠β)−90° = 90°−∠β，正确；
③$\dfrac{1}{2}(∠α + ∠β) = \dfrac{1}{2}×180° = 90°$，不是∠β的余角，错误；
④$\dfrac{1}{2}(∠α − ∠β) = \dfrac{1}{2}(180°−∠β −∠β) = \dfrac{1}{2}(180°−2∠β) = 90°−∠β$，正确。
故正确的是①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角、补角的定义
【点评】
本题考查余角与补角的概念，核心是利用互补关系转换角的表达式，结合余角定义逐一验证，属于基础概念应用题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确：两个角互补则和为180°，两个角互余则和为90°，因此∠β的余角可表示为90°−∠β。已知∠α与∠β互补，故∠α+∠β=180°，即∠α=180°−∠β，据此逐一分析各表示式是否等于90°−∠β即可。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互补，
∴∠α + ∠β = 180°，即∠α = 180°−∠β。
∠β的余角为90°−∠β，逐一判断：
①90°−∠β，直接是∠β的余角，正确；
②∠α−90° = (180°−∠β)−90° = 90°−∠β，正确；
③$\dfrac{1}{2}(∠α + ∠β) = \dfrac{1}{2}×180° = 90°$，不是∠β的余角，错误；
④$\dfrac{1}{2}(∠α − ∠β) = \dfrac{1}{2}(180°−∠β −∠β) = \dfrac{1}{2}(180°−2∠β) = 90°−∠β$，正确。
故正确的是①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角、补角的定义
【点评】
本题考查余角与补角的概念，核心是利用互补关系转换角的表达式，结合余角定义逐一验证，属于基础概念应用题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 已知$∠ α =36^{ \circ }14'25''$，则$∠ α$的余角的度数是
53°45′35″
.答案
5.53°45′35″
解析
【分析】首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠α的余角，只需用90°减去∠α的度数即可。计算时需注意度、分、秒为60进制，要将90°转化为便于计算的形式，再对应相减。
【解析】根据余角的定义，∠α的余角为：90° - 36°14′25″。因为1°=60′，1′=60″，所以将90°改写为89°59′60″，则计算得：89°59′60″ - 36°14′25″ = (89°-36°)+(59′-14′)+(60″-25″)=53°45′35″。
【答案】53°45′35″
【知识点】余角的定义、度分秒的换算
【点评】本题考查余角的概念和度分秒的运算，核心是掌握余角的定义以及度分秒的60进制换算，计算时需注意借位处理，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据余角的定义，∠α的余角为：90° - 36°14′25″。因为1°=60′，1′=60″，所以将90°改写为89°59′60″，则计算得：89°59′60″ - 36°14′25″ = (89°-36°)+(59′-14′)+(60″-25″)=53°45′35″。
【答案】53°45′35″
【知识点】余角的定义、度分秒的换算
【点评】本题考查余角的概念和度分秒的运算，核心是掌握余角的定义以及度分秒的60进制换算，计算时需注意借位处理，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
6. 如图,线段 $AB=10\ \mathrm{cm}$,$C$ 是线段 $AB$ 上一点,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$D,E$ 分别是 $AB,BC$ 的中点,则线段
$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
6.3
解析
【分析】首先根据已知线段AB和AC的长度，计算出BC的长度；再利用线段中点的性质，分别求出相关线段的长度，最后通过线段的和差关系求出DE的长度。
【解析】已知AB=10cm，AC=6cm，因此BC=AB - AC=10 - 6=4cm。
因为D是AB的中点，所以DB=AB÷2=10÷2=5cm；
因为E是BC的中点，所以BE=BC÷2=4÷2=2cm；
则DE=DB - BE=5 - 2=3cm。
【答案】3
【知识点】线段中点、线段和差计算
【点评】本题考查线段中点的性质与线段长度的计算，属于基础题型，需掌握中点将线段分为等长两段的特点，结合线段的和差关系即可求解。
【难度系数】0.7
【解析】已知AB=10cm，AC=6cm，因此BC=AB - AC=10 - 6=4cm。
因为D是AB的中点，所以DB=AB÷2=10÷2=5cm；
因为E是BC的中点，所以BE=BC÷2=4÷2=2cm；
则DE=DB - BE=5 - 2=3cm。
【答案】3
【知识点】线段中点、线段和差计算
【点评】本题考查线段中点的性质与线段长度的计算，属于基础题型，需掌握中点将线段分为等长两段的特点，结合线段的和差关系即可求解。
【难度系数】0.7
7.一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是
45°
。答案
7.45°
解析
【分析】首先明确补角和余角的定义：若两个角的和为$180°$，则这两个角互为补角；若两个角的和为$90°$，则这两个角互为余角。设这个角的度数为$x$，根据题目中“补角是这个角的余角的3倍”的等量关系，列出方程求解即可。
【解析】设这个角的度数为$x$，根据补角和余角的定义，该角的补角为$180° - x$，余角为$90° - x$。
由题意得：$180 - x = 3(90 - x)$
展开方程：$180 - x = 270 - 3x$
移项得：$-x + 3x = 270 - 180$
合并同类项：$2x = 90$
解得：$x = 45°$
【答案】45°
【知识点】余角、补角及其性质
【点评】本题考查余角和补角的基本性质，通过设未知数列方程求解是这类题的常规方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】设这个角的度数为$x$，根据补角和余角的定义，该角的补角为$180° - x$，余角为$90° - x$。
由题意得：$180 - x = 3(90 - x)$
展开方程：$180 - x = 270 - 3x$
移项得：$-x + 3x = 270 - 180$
合并同类项：$2x = 90$
解得：$x = 45°$
【答案】45°
【知识点】余角、补角及其性质
【点评】本题考查余角和补角的基本性质，通过设未知数列方程求解是这类题的常规方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
8. 如图,点$O$在直线$AB$上,过点$O$作射线$OC$,$∠ BOC=100°$,一块直角三角尺的直角顶点与点$O$重合,边$OM$与$OB$重合,边$ON$在直线$AB$的下方.若三角尺绕点$O$按每秒$10°$的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第$t$秒时,直线$ON$恰好平分锐角$∠ AOC$,则$t$的值为
5或23
.答案
8.5或23
解析
【分析】
首先根据平角定义求出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质确定∠AON的度数，最后分两种情况讨论三角尺旋转时直线ON平分∠AOC的位置，结合旋转速度计算时间t。
【解析】
∵ 点O在直线AB上，∠BOC=100°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 80°。
∵ 直线ON平分锐角∠AOC，
∴ ∠AON = ½∠AOC = 40°。
三角尺绕点O逆时针旋转，速度为10°/秒，分两种情况：
1. 当ON在AB上方，平分∠AOC时：
初始时，ON在AB下方，∠MON=90°且OM与OB重合，故初始∠AON=180° - 90°=90°，
此时旋转的角度为：90° - 40°=50°，
∴ t = 50° ÷ 10°/秒 = 5秒。
2. 当ON旋转后，直线ON再次平分∠AOC时（此时ON在AB下方，其反向延长线平分∠AOC）：
旋转的总角度为：50° + 180°=230°，
∴ t = 230° ÷ 10°/秒 = 23秒。
综上，t的值为5或23。
【答案】
5或23
【知识点】
角平分线、旋转的性质、平角定义
【点评】
本题结合旋转与角平分线知识，需分类讨论直线ON平分角的不同位置，考查分类思想与角度计算能力，是基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
首先根据平角定义求出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质确定∠AON的度数，最后分两种情况讨论三角尺旋转时直线ON平分∠AOC的位置，结合旋转速度计算时间t。
【解析】
∵ 点O在直线AB上，∠BOC=100°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 80°。
∵ 直线ON平分锐角∠AOC，
∴ ∠AON = ½∠AOC = 40°。
三角尺绕点O逆时针旋转，速度为10°/秒，分两种情况：
1. 当ON在AB上方，平分∠AOC时：
初始时，ON在AB下方，∠MON=90°且OM与OB重合，故初始∠AON=180° - 90°=90°，
此时旋转的角度为：90° - 40°=50°，
∴ t = 50° ÷ 10°/秒 = 5秒。
2. 当ON旋转后，直线ON再次平分∠AOC时（此时ON在AB下方，其反向延长线平分∠AOC）：
旋转的总角度为：50° + 180°=230°，
∴ t = 230° ÷ 10°/秒 = 23秒。
综上，t的值为5或23。
【答案】
5或23
【知识点】
角平分线、旋转的性质、平角定义
【点评】
本题结合旋转与角平分线知识，需分类讨论直线ON平分角的不同位置，考查分类思想与角度计算能力，是基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
