三、解答题(共60分)
9.(15分)如图,C 为线段 AB 上一点,D 为线段 CB 的中点,且 $AB=10,BD=2$.
(1)求 AC 的长；
(2)若点 E 在直线 AD 上,且 $EA=4$,求 CE 的长.

9.解:(1)因为 D 为CB 的中点,所以 CB=2BD=4.
因为 AB=10,所以 AC=AB-CB=10-4=6.
(2)当点 E 在点 A 右侧时,CE=AC-EA=6-4=2;
当点 E 在点 A 左侧时,CE=AC+EA=6+4=10.
综上,CE 的长为 2 或 10.

【分析】
要解决这道题，首先利用线段中点的性质求出CB的长度，再结合AB的长计算AC；对于第二问，需注意点E在直线AD上，直线是无限延伸的，因此要分点E在点A的右侧和左侧两种情况，结合线段和差计算CE的长度。
【解析】
(1) 因为D为线段CB的中点，根据线段中点的性质，中点将线段分为相等的两段，所以 $ CB = 2BD $。已知 $ BD = 2 $，则 $ CB = 2×2 = 4 $。又因为 $ AB = 10 $，且 $ AC + CB = AB $，所以 $ AC = AB - CB = 10 - 4 = 6 $。
(2) 点E在直线AD上，需分两种情况讨论：
① 当点E在点A的右侧时，$ CE = AC - EA $，已知 $ AC = 6 $，$ EA = 4 $，则 $ CE = 6 - 4 = 2 $；
② 当点E在点A的左侧时，$ CE = AC + EA $，则 $ CE = 6 + 4 = 10 $。
综上，CE的长为2或10。
【答案】
(1) AC的长为6；(2) CE的长为2或10。
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算
【点评】
本题考查线段中点的性质及线段和差的应用，第二问需注意“直线AD”的隐含条件，要全面考虑点的位置，避免漏解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

10. (10分) 如图，$AB// CD$，$EF$，$CG$ 分别是$∠ AEC$，$∠ ECD$ 的平分线. 试说明：$EF// CG$.

10.解:因为 AB//CD,所以∠AEC=∠DCE.
又因为 EF 平分∠AEC,所以∠1=$\frac{1}{2}$∠AEC.
同理∠2=$\frac{1}{2}$∠ECD,所以∠1=∠2,
所以 EF//CG.

【分析】要证明$EF//CG$，需找到内错角$∠1$和$∠2$相等。首先利用$AB//CD$的平行线性质，得到内错角$∠AEC=∠ECD$；再结合角平分线的定义，推出$∠1=\frac{1}{2}∠AEC$、$∠2=\frac{1}{2}∠ECD$，进而得到$∠1=∠2$；最后根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ $AB//CD$（已知），
∴ $∠AEC = ∠ECD$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $EF$平分$∠AEC$（已知），
∴ $∠1 = \frac{1}{2}∠AEC$（角平分线的定义）。
∵ $CG$平分$∠ECD$（已知），
∴ $∠2 = \frac{1}{2}∠ECD$（角平分线的定义）。
∴ $∠1 = ∠2$（等量代换）。
∴ $EF//CG$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$EF//CG$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是初中几何基础证明题，结合平行线的性质、角平分线定义和平行线判定定理解题，逻辑清晰，考查学生对几何核心定理的理解与应用，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.6

11.(15分)如图,点O在直线AB上,$OC⊥ OD$,OE平分$∠ BOC$.
(1)如图①,若$∠ AOC=20°$,求$∠ DOE$的度数;
(2)如图②,若$∠ DOE=α$,求$∠ AOC$的度数.(用含$α$的代数式表示)

11.解:(1)因为∠AOC=20°,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-∠AOC=160°.
因为 OE 平分∠BOC,
所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=80°.
因为 OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=10°.
(2)设∠COE=x,
因为 OE 平分∠BOC,所以∠BOE=∠COE=x.
又因为 CO⊥DO,所以∠DOC=90°,
所以x+α=90°,所以x=90°-α,
所以∠BOC=2∠COE=2x=180°-2α,
所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-180°+2α=2α.

【分析】
第(1)问，先利用平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线性质得到∠COE，最后结合OC⊥OD的直角关系，通过角的和差计算∠DOE；第(2)问，设∠COE为未知数，利用角平分线表示∠BOC，结合直角∠COD的关系求出∠COE，再通过平角的定义计算∠AOC。
【解析】
(1) 因为点O在直线AB上，所以∠AOB=180°，即∠AOC + ∠BOC=180°。
已知∠AOC=20°，则∠BOC=180° - ∠AOC=180° - 20°=160°。
因为OE平分∠BOC，所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×160°=80°。
又因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，因此∠DOE=∠COD - ∠COE=90° - 80°=10°。
(2) 设∠COE=x，
因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE=x，故∠BOC=2x。
因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，又∠COD=∠COE + ∠DOE，已知∠DOE=α，所以x + α=90°，解得x=90° - α。
因此∠BOC=2x=2×(90° - α)=180° - 2α。
又因为∠AOC + ∠BOC=180°，所以∠AOC=180° - ∠BOC=180° - (180° - 2α)=2α。
【答案】
(1) 10°；(2) 2α
【知识点】
角的计算；角平分线；垂直的性质
【点评】
本题考查角的和差、角平分线及垂直的性质，解题核心是利用平角、直角的度数关系，结合角平分线建立角的联系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6