12.(20分)(2024·亭湖区期末)问题提出:某校要举办足球赛,若有5支球队进行单循环比赛(即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场),则该校一共要安排多少场比赛?
【构建模型】
生活中的许多实际问题,往往需要构建相应的数学模型,利用模型的思想来解决问题.为解决上述问题,我们构建如下数学模型:
(1)如图,我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上),其中每个点各代表一支足球队,两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来.由于每支球队都要与其他各队比赛一场,即每个点与另外4个点都可连成一条线段,这样一共连成$5×4$条线段,而每两个点之间的线段都重复计算了一次,实际只有条线段,所以该校一共要安排场比赛.
(2)根据以上规律,若学校有$n$支足球队进行单循环比赛,则该校一共要安排场比赛.
【类比迁移】
(3)从同一个顶点引出6条射线,共可以组成个角.
【实际应用】
(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车,途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站(每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称),那么在这段线路上往返行车,要准备多少种车票?

12.(1)$\dfrac{5×4}{2}$ 10 (2)$\dfrac{n(n-1)}{2}$ (3)15
(4)解:$\dfrac{5×4}{2}×2=20$(种).
答:要准备 20 种车票.

【分析】
这道题是将实际问题转化为组合计数问题，核心是理解“每两个对象之间仅算一次”的计数逻辑：对于n个对象，两两组合的数量需避免重复计算，因此用n(n-1)除以2。解题时，先把球队、射线、车站转化为点，再根据两两组合的规律计算，注意车票问题是往返，需额外考虑方向。
【解析】
(1) 5支球队对应平面内5个点，每两个点连一条线段表示一场比赛。每个点可连4条线段，总线段数为5×4，但每两个点之间的线段被重复计算1次，因此实际线段数为$\frac{5×4}{2}=10$，即比赛场数为10。
(2) 同理，n支球队时，两两比赛的总场数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 从同一点引出6条射线，组成角的个数等价于6个点中选2个点的组合数，即$\frac{6×5}{2}=15$。
(4) 线路上共有5个车站，单程车票种类为$\frac{5×4}{2}=10$种，往返车票需考虑上下行方向，因此总车票数为$10×2=20$种。
【答案】
(1)$\dfrac{5×4}{2}$；10 (2)$\dfrac{n(n-1)}{2}$ (3)15 (4)20种
【知识点】
组合计数、线段计数、角的计数
【点评】
本题通过实际问题构建组合计数模型，将比赛场次、角的个数、车票种类等问题转化为两点连线的组合问题，考查学生的数学建模能力和对组合计数规律的理解，是典型的应用型计数题目。
【难度系数】
0.6