19.某次数学竞赛前60名获奖.原定一等奖5人,二等奖15人,三等奖40人;现调整为一等奖10人,二等奖20人,三等奖30人.调整后一等奖平均分数降低3分,二等奖平均分数降低2分,三等奖平均分数降低1分,总分数不变.如果原定二等奖比三等奖平均分数多7分,调整后一等奖比二等奖平均分数多多少分？

解：设原定一等奖平均分为x分，原定二等奖平均分为y分，原定三等奖平均分为z分。
根据题意列方程：
$\begin{cases}y - z = 7 \quad ①\\5x + 15y + 40z = 10(x-3) + 20(y-2) + 30(z-1) \quad ②\end{cases}$
化简方程②：
$\begin{aligned}5x + 15y + 40z &= 10x - 30 + 20y - 40 + 30z - 30\\5x + 5y - 10z &= 100\\x + y - 2z &= 20 \quad ③\end{aligned}$
由①得 $z = y - 7$，代入③：
$\begin{aligned}x + y - 2(y-7) &= 20\\x - y + 14 &= 20\\x - y &= 6\end{aligned}$
调整后一等奖比二等奖平均分多的分数为：
$(x-3)-(y-2) = x - y -1 = 6 - 1 = 5$
答：调整后一等奖比二等奖平均分数多5分。

【分析】
这是一道结合平均数的方程应用题，解题核心是抓住两个关键等量关系：一是原定二等奖比三等奖平均分数多7分，二是调整前后获奖总分数不变。我们可先设原定一、二、三等奖的平均分为未知数，虽然设了3个未知数，但最终要求的是调整后一、二等奖的平均分差值，不需要求出每个未知数的具体值，通过消元法求出所需的差值关系即可。
【解析】
设原定一等奖平均分为$x$分，原定二等奖平均分为$y$分，原定三等奖平均分为$z$分。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y - z = 7 \quad ①\\5x + 15y + 40z = 10(x-3) + 20(y-2) + 30(z-1) \quad ②\end{cases}$
化简方程②：
$\begin{aligned}5x + 15y + 40z &= 10x - 30 + 20y - 40 + 30z - 30\\5x + 5y - 10z &= 100\\x + y - 2z &= 20 \quad ③\end{aligned}$
由①得 $z = y - 7$，代入③：
$\begin{aligned}x + y - 2(y-7) &= 20\\x - y + 14 &= 20\\x - y &= 6\end{aligned}$
调整后一等奖比二等奖平均分多的分数为：
$(x-3)-(y-2) = x - y -1 = 6 - 1 = 5$
【答案】
调整后一等奖比二等奖平均分数多5分。
【知识点】
平均数计算、方程组应用、消元法
【点评】
本题结合竞赛评分场景考察方程应用能力，解题关键是准确提取总分数不变的核心等量关系，无需求解所有未知数，利用消元和整体思想即可得到结果，能够有效锻炼学生的等量关系提取能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.6