12. 如图,在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,有点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2026}$,它们的横坐标依次为$1,2,3,\dots,2026$.分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1,S_2,S_3,\dots,S_{2026}$,则$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2026}=$.

12.$\frac{4\ 052}{2\ 027}$ 解析 如图，
∵点 $P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2027}$ 的横坐标依次是 1,2,3,…,2 027,
∴每个阴影长方形的一边长都为 1,将除第一个阴影长方形外的所有阴影长方形向左平移至第一个阴影长方形下,可得 $S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2026}=S_{长方形ABP_1D}$,把$x=2\ 027$ 代入 $y=\frac{2}{x}$,得 $y=\frac{2}{2\ 027}$,即 $OA=\frac{2}{2\ 027}$,
∴$S_{长方形OABC}=1×\frac{2}{2\ 027}=\frac{2}{2\ 027}$.
∵$S_{长方形OCP_1D}=2$,
∴$S_{长方形ABP_1D}=2-\frac{2}{2\ 027}=\frac{4\ 052}{2\ 027}$,即 $S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2026}=\frac{4\ 052}{2\ 027}$.故答案为$\frac{4\ 052}{2\ 027}$.

13. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=mx+b$的图象交于$A(1,3),B(n,-1)$两点.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接回答：当$x$取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)在$y$轴上找一点$P$，使得点$A,O,P$构成以$AO$为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点$P$的坐标.

13.解 (1)将 $A(1,3)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $3=\frac{k}{1}$,解得 $k=3$,
所以反比例函数的表达式为 $y=\frac{3}{x}$.
将 $B(n,-1)$ 代入 $y=\frac{3}{x}$,得 $-1=\frac{3}{n}$,解得 $n=-3$,即 $B(-3,-1)$.
将 $A(1,3),B(-3,-1)$ 代入 $y=mx+b$,得$\begin{cases}3=m+b,\\-1=-3m+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\b=2,\end{cases}$所以一次函数的表达式为 $y=x+2$.
(2)由(1)得反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y=mx+b$ 的图象交于 $A(1,3)$,$B(-3,-1)$ 两点,结合题图得当$-3＜x＜0$ 或 $x＞1$ 时,一次函数的值大于反比例函数的值.
(3)因为 $A(1,3)$,$O(0,0)$,
所以 $OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,设 $P(0,y)$,
当 $OA=OP$ 时,则 $OP=|y|=\sqrt{10}$,
所以 $y=\sqrt{10}$ 或 $y=-\sqrt{10}$,对应点 $P$ 的坐标为 $(0,\sqrt{10})$ 或 $(0,-\sqrt{10})$.
当 $OA=PA$ 时,$PA=\sqrt{(1-0)^2+(3-y)^2}=\sqrt{10}$,则$\sqrt{1+(3-y)^2}=\sqrt{10}$,$1+(3-y)^2=10$,$(3-y)^2=9$,所以 $3-y=3$ 或 $3-y=-3$.
当 $3-y=3$ 时,$y=0$(与点 $O$ 重合,舍去);
当 $3-y=-3$ 时,$y=6$,对应点 $P$ 的坐标为 $(0,6)$.
综上,点 $P$ 的坐标为 $(0,\sqrt{10})$ 或 $(0,-\sqrt{10})$ 或 $(0,6)$.

教你一招
反比例函数中k的几何意义
[类型一]两个象限内运用k的几何意义
模型展示：

$S_{△ ABC}=|k|$ $S_{△ APP_1}=2|k|$
[类型二]双反比例函数中运用k的几何意义
模型展示：

$S_{矩形ABCD}=|k_1|-|k_2|$ $S_{△ ABO}=\frac{|k_1|-|k_2|}{2}$
【例1】如图,直线$y=mx$与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于A,B两点,过点A作$AM ⊥ x$轴,垂足为M,连结BM.若$S_{△ ABM}=4$,则k的值为.
答案:−4
解析:$\because S_{△ ABM}=4,\therefore |k|=4$.
$\because$反比例函数图象在第二、第四象限,$\therefore k＜0,\therefore k=-4$.

【例2】如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴上任意一点,BC平行于x轴,分别交$y=\frac{3}{x}(x＞0),y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象于B,C两点.若$△ ABC$的面积为2,则k的值为()
A.−1 B.1
C.$-\frac{1}{2}$ D.$\frac{1}{2}$
答案:A
解析:如图,连结OC,OB.$\because BC // x$轴,
$\therefore S_{△ ACB}=S_{△ OCB}$.
$\because S_{△ OCB}=\frac{1}{2}· |3|+\frac{1}{2}· |k|$,
$\therefore \frac{1}{2}· |3|+\frac{1}{2}· |k|=2$,
又$k＜0,\therefore k=-1$.故选A.

例1.-4
例2.A
解析:例1
∵$S_{△ ABM}=4$,
∴$|k|=4$.
∵反比例函数图象在第二、第四象限,
∴$k＜0$,
∴$k=-4$.
例2 如图,连结OC,OB.
∵$BC // x$轴,
∴$S_{△ ACB}=S_{△ OCB}$.
∵$S_{△ OCB}=\frac{1}{2}· |3|+\frac{1}{2}· |k|$,
∴$\frac{1}{2}· |3|+\frac{1}{2}· |k|=2$,
又$k＜0$,
∴$k=-1$.故选A.