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9. 解下列不等式并把解集表示在数轴上。
(1)$1-2x＜3(1-x)$；(2)$\frac{x+2}{3}≥\frac{1-x}{6}$。
(1)$1-2x＜3(1-x)$；(2)$\frac{x+2}{3}≥\frac{1-x}{6}$。
答案
解：
(1) 去括号，得：
$1 - 2x ＜ 3 - 3x$
移项，得：
$-2x + 3x ＜ 3 - 1$
合并同类项，得：
$x ＜ 2$
数轴表示：在数轴上标记数字2的位置处画空心圆圈，从该点向左绘制射线。
(2) 去分母，两边同乘6，得：
$2(x + 2) ≥ 1 - x$
去括号，得：
$2x + 4 ≥ 1 - x$
移项，得：
$2x + x ≥ 1 - 4$
合并同类项，得：
$3x ≥ -3$
系数化为1，得：
$x ≥ -1$
数轴表示：在数轴上标记数字-1的位置处画实心圆点，从该点向右绘制射线。
(1) 去括号，得：
$1 - 2x ＜ 3 - 3x$
移项，得：
$-2x + 3x ＜ 3 - 1$
合并同类项，得：
$x ＜ 2$
数轴表示：在数轴上标记数字2的位置处画空心圆圈，从该点向左绘制射线。
(2) 去分母，两边同乘6，得：
$2(x + 2) ≥ 1 - x$
去括号，得：
$2x + 4 ≥ 1 - x$
移项，得：
$2x + x ≥ 1 - 4$
合并同类项，得：
$3x ≥ -3$
系数化为1，得：
$x ≥ -1$
数轴表示：在数轴上标记数字-1的位置处画实心圆点，从该点向右绘制射线。
10.若不等式$4x - 1 ＜ -2x + $
$$的解集表示在数轴上
，则被墨迹污染的数字是（）
A.1
B.3
C.5
D.7
$$的解集表示在数轴上，则被墨迹污染的数字是（）A.1
B.3
C.5
D.7
答案
C
解析
设被墨迹污染的数字为a，先解不等式：
移项得：$4x + 2x ＜ a + 1$，
合并同类项得：$6x ＜ a + 1$，
系数化为1得：$x ＜ \frac{a+1}{6}$。
由数轴可知该不等式的解集为$x＜1$，因此$\frac{a+1}{6}=1$，解得$a=5$。
移项得：$4x + 2x ＜ a + 1$，
合并同类项得：$6x ＜ a + 1$，
系数化为1得：$x ＜ \frac{a+1}{6}$。
由数轴可知该不等式的解集为$x＜1$，因此$\frac{a+1}{6}=1$，解得$a=5$。
11.用不等式表示“2与m的3倍的和是正数”：。
答案
解：
m的3倍表示为$3m$，2与$m$的3倍的和为$2+3m$，正数是大于0的数，因此所列不等式为：
$2+3m＞0$
m的3倍表示为$3m$，2与$m$的3倍的和为$2+3m$，正数是大于0的数，因此所列不等式为：
$2+3m＞0$
12.若关于x的不等式$3x - a ≤ -1$的解集在数轴上表示
，则a的值是。
，则a的值是。答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：
解不等式 $3x - a ≤ -1$，
移项得：$3x ≤ a - 1$，
系数化为1得：$x ≤ \frac{a-1}{3}$。
由数轴可知该不等式的解集为 $x ≤ -1$，
因此列方程得：$\frac{a-1}{3} = -1$，
解得：$a = -2$。
解不等式 $3x - a ≤ -1$，
移项得：$3x ≤ a - 1$，
系数化为1得：$x ≤ \frac{a-1}{3}$。
由数轴可知该不等式的解集为 $x ≤ -1$，
因此列方程得：$\frac{a-1}{3} = -1$，
解得：$a = -2$。
13.若关于x的方程$x - 5 = -3a$的解为负数，则实数a的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{a＞\dfrac{5}{3}}$
解析
解：
解方程$x - 5 = -3a$，移项得：
$x = 5 - 3a$
因为方程的解为负数，所以$x＜0$，即：
$5 - 3a ＜ 0$
移项得：$-3a ＜ -5$
系数化为1，得：
$a ＞ \frac{5}{3}$
解方程$x - 5 = -3a$，移项得：
$x = 5 - 3a$
因为方程的解为负数，所以$x＜0$，即：
$5 - 3a ＜ 0$
移项得：$-3a ＜ -5$
系数化为1，得：
$a ＞ \frac{5}{3}$
14.对于两个实数$a$,$b$,规定$a\oplus b=a+b-ab$,则不等式$2\oplus (2x-1)＜1$的解集为。
答案
解：
根据运算规则$a\oplus b=a+b-ab$，将$a=2$，$b=2x-1$代入得：
$2\oplus(2x-1)=2+(2x-1)-2(2x-1)$
化简得：
$2\oplus(2x-1)=2+2x-1-4x+2=3-2x$
因此原不等式可化为：
$3-2x ＜ 1$
移项，得：$-2x ＜ 1-3$
合并同类项，得：$-2x ＜ -2$
系数化为1，得：$x＞1$
故不等式的解集为$\boldsymbol{x＞1}$。
根据运算规则$a\oplus b=a+b-ab$，将$a=2$，$b=2x-1$代入得：
$2\oplus(2x-1)=2+(2x-1)-2(2x-1)$
化简得：
$2\oplus(2x-1)=2+2x-1-4x+2=3-2x$
因此原不等式可化为：
$3-2x ＜ 1$
移项，得：$-2x ＜ 1-3$
合并同类项，得：$-2x ＜ -2$
系数化为1，得：$x＞1$
故不等式的解集为$\boldsymbol{x＞1}$。
15.若关于x的不等式$(2a - b)x + a - 5b ＞ 0$的解集是$x ＜ \frac{5}{2}$，则关于x的不等式$(a - b)x ＞ \frac{1}{3}b$的解集是。
答案
解：
对不等式$(2a - b)x + a - 5b ＞ 0$移项，得：
$(2a - b)x ＞ 5b - a$
∵该不等式的解集为$x ＜ \frac{5}{2}$，不等号方向发生改变，
∴$2a - b ＜ 0$，且$\frac{5b - a}{2a - b} = \frac{5}{2}$。
交叉相乘得：
$2(5b - a) = 5(2a - b)$
展开整理：
$10b - 2a = 10a - 5b$
$15b = 12a$
即$b = \frac{4}{5}a$。
将$b = \frac{4}{5}a$代入$2a - b ＜ 0$：
$2a - \frac{4}{5}a ＜ 0$
$\frac{6a}{5} ＜ 0$
得$a ＜ 0$。
计算$a - b$：
$a - b = a - \frac{4}{5}a = \frac{a}{5}$
∵$a ＜ 0$，∴$a - b = \frac{a}{5} ＜ 0$。
解不等式$(a - b)x ＞ \frac{1}{3}b$，两边同时除以负数$a - b$，不等号方向改变：
$x ＜ \frac{\frac{1}{3}b}{a - b}$
将$b = \frac{4}{5}a$代入右侧：
$\frac{\frac{1}{3} × \frac{4}{5}a}{\frac{a}{5}} = \frac{4}{3}$
∴所求不等式的解集为$x ＜ \frac{4}{3}$。
对不等式$(2a - b)x + a - 5b ＞ 0$移项，得：
$(2a - b)x ＞ 5b - a$
∵该不等式的解集为$x ＜ \frac{5}{2}$，不等号方向发生改变，
∴$2a - b ＜ 0$，且$\frac{5b - a}{2a - b} = \frac{5}{2}$。
交叉相乘得：
$2(5b - a) = 5(2a - b)$
展开整理：
$10b - 2a = 10a - 5b$
$15b = 12a$
即$b = \frac{4}{5}a$。
将$b = \frac{4}{5}a$代入$2a - b ＜ 0$：
$2a - \frac{4}{5}a ＜ 0$
$\frac{6a}{5} ＜ 0$
得$a ＜ 0$。
计算$a - b$：
$a - b = a - \frac{4}{5}a = \frac{a}{5}$
∵$a ＜ 0$，∴$a - b = \frac{a}{5} ＜ 0$。
解不等式$(a - b)x ＞ \frac{1}{3}b$，两边同时除以负数$a - b$，不等号方向改变：
$x ＜ \frac{\frac{1}{3}b}{a - b}$
将$b = \frac{4}{5}a$代入右侧：
$\frac{\frac{1}{3} × \frac{4}{5}a}{\frac{a}{5}} = \frac{4}{3}$
∴所求不等式的解集为$x ＜ \frac{4}{3}$。
16. 下面是小明同学解一元一次不等式$1-\dfrac{5x+4}{6}＞\dfrac{x-2}{2}$的过程,请认真阅读并完成相应的题目。
(1)去分母的依据是________；
(2)解答过程中,从前一步到后一步的变形,共出现________处错误,其中最后一处错误在第________步,错误的原因是________；
(3)请写出不等式$1-\dfrac{5x+4}{6}＞\dfrac{x-2}{2}$的正确解答过程,并把解集表示在数轴上。
(4)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的建议。
(1)去分母的依据是________；
(2)解答过程中,从前一步到后一步的变形,共出现________处错误,其中最后一处错误在第________步,错误的原因是________；
(3)请写出不等式$1-\dfrac{5x+4}{6}＞\dfrac{x-2}{2}$的正确解答过程,并把解集表示在数轴上。
(4)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的建议。
答案
解：
(1) 不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变（或不等式的基本性质2）
(2) $2$；四；不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向没有改变
(3) 正确解答过程如下：
去分母，得 $6-(5x+4) ＞ 3(x-2)$
去括号，得 $6-5x-4 ＞ 3x-6$
移项，得 $-5x-3x ＞ -6-6+4$
合并同类项，得 $-8x ＞ -8$
两边同时除以$-8$，得 $x ＜ 1$
解集在数轴上表示：在数轴上数$1$的位置画空心圆圈，从该点向左画出射线，覆盖所有小于1的数。
(4) 建议：去分母时不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要添加括号；去括号时若括号前为负号，括号内所有项都要变号；移项时注意移动的项要变号；系数化为1时，若未知数的系数是负数，必须同步改变不等号的方向，避免出错。
(1) 不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变（或不等式的基本性质2）
(2) $2$；四；不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向没有改变
(3) 正确解答过程如下：
去分母，得 $6-(5x+4) ＞ 3(x-2)$
去括号，得 $6-5x-4 ＞ 3x-6$
移项，得 $-5x-3x ＞ -6-6+4$
合并同类项，得 $-8x ＞ -8$
两边同时除以$-8$，得 $x ＜ 1$
解集在数轴上表示：在数轴上数$1$的位置画空心圆圈，从该点向左画出射线，覆盖所有小于1的数。
(4) 建议：去分母时不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要添加括号；去括号时若括号前为负号，括号内所有项都要变号；移项时注意移动的项要变号；系数化为1时，若未知数的系数是负数，必须同步改变不等号的方向，避免出错。
