8. (2025·天津期中)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE = 90°,∠DOF = 90°,OB平分∠DOG,给出下列结论:①当∠AOF=60°时,∠DOE=60°;②与∠BOD相等的角有三个;③OD为∠EOG的平分线;④∠COG=180°−2∠EOF.其中正确的结论有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

8.C 解析:∠AOF+∠EOF=∠DOE+∠EOF=90°,因此∠AOF=∠DOE,当∠AOF=60°时,∠DOE=60°,正确,故①符合题意;∠EOF+∠EOD=∠BOD+∠EOD=90°,因此∠EOF=∠BOD,由OB平分∠GOD得到∠GOB=∠BOD,又∠AOC=∠BOD,因此与∠BOD相等的角有三个,正确,故②符合题意;OB平分∠GOD,因此∠GOD=2∠BOD,而∠DOE=90°-∠BOD,所以∠DOE不一定等于∠GOD,因此OD不一定是∠EOG的平分线,故③不符合题意;∠COG=∠AOB-∠AOC-∠GOB=∠AOB-2∠EOF=180°-2∠EOF,正确,故④符合题意.其中正确的结论有3个.故选C.

9. (2025·南京期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC+∠DOE=45°,则∠COB=°.

9. 150 解析:因为OE平分∠BOD,∠AOC=∠BOD,所以∠DOE=1/2∠BOD=1/2∠AOC.因为∠AOC+∠DOE=45°,所以3/2∠BOD=45°,所以∠BOD=30°,所以∠COB=180°-30°=150°.

10. 观察下列各图，如图①，图中有2条直线相交于一点，则对顶角有2对；如图②，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有6对；如图③，图中有4条直线相交于一点，则对顶角有12对……依此规律，若有n条直线相交于一点，对顶角有72对，则n的值为。

10. 9 解析:如题图①,图中共有1×2=2(对)对顶角;如题图②,图中共有2×3=6(对)对顶角;如题图③,图中共有3×4=12(对)对顶角.研究题图①~题图③中直线条数与对顶角的对数之间的关系,可得若有n条直线相交于一点,则可形成n(n-1)对对顶角,而72=8×9,所以n=9.

11. 已知直线AB,CD相交于点O,∠BOD=70°.
(1) 如图①,若∠AOE=20°,求∠COE的度数.
(2) 如图②,若射线OE平分∠AOC,画OE的反向延长线OF,OF是否平分∠BOD? 试说明理由.
(3) 在(2)的条件下,以O为顶点,OD为一边画∠DOG=90°,求∠GOF的度数.

11.(1)因为∠AOC=∠BOD=70°,∠AOE=20°,所以∠COE=∠AOC-∠AOE=70°-20°=50°.
(2)画出OE的反向延长线OF,如图①,OF平分∠BOD.
理由如下:因为射线OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE.
因为∠AOE=∠BOF,∠COE=∠DOF,
所以∠BOF=∠DOF,所以OF平分∠BOD.

(3)如图①,OG在EF下方时,因为OF平分∠BOD,所以∠DOF=1/2∠BOD=1/2×70°=35°.因为∠DOG=90°,所以∠GOF=∠DOG+∠DOF=90°+35°=125°.如图②,OG在EF上方时,因为OF平分∠BOD,所以∠DOF=1/2∠BOD=1/2×70°=35°.因为∠DOG=90°,所以∠GOF=∠GOD-∠DOF=90°-35°=55°.综上所述,∠GOF的度数为55°或125°.

12. 如图①,点 O 为直线 AB 上一点,过点 O 作射线 OC,使∠BOC=120°.将一直角三角尺的直角顶点放在点 O 处,一边 OM 在射线 OB 上,另一边 ON 在直线 AB 的下方.
(1)将图①中的三角尺绕点 O 逆时针旋转至图②,使一边 OM 在∠BOC 的内部,且恰好平分∠BOC.问:此时直线 ON 是否平分∠AOC? 请说明理由.
(2)将图①中的三角尺绕点 O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t s时,直线 ON 恰好平分锐角∠AOC,求t的值.
(3)将图①中的三角尺绕点 O 顺时针旋转至图③,使 ON 在∠AOC 的内部,试探索:ON 在∠AOC 的内部旋转时,∠AOM 与∠NOC 的差是否发生变化? 若不变,请求出这个差值;若变化,请求出差的变化范围.

12.(1)直线ON平分∠AOC.理由如下:如图,设ON的反向延长线为OD.因为OM平分∠BOC,所以∠MOC=∠MOB.又因为∠MOD=∠MON=90°,所以∠COD=∠BON.又因为∠AOD=∠BON,所以∠COD=∠AOD,所以OD平分∠AOC,即直线ON平分∠AOC.

(2)如图,因为∠BOC=120°,所以∠AOC=180°-∠BOC=60°,所以∠BON=∠COD=30°,即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC.
由题意得6t=60或6t=240,解得t=10或t=40.
(3)不变.因为∠MON=90°,∠AOC=60°,所以∠AOM=90°-∠AON,∠NOC=60°-∠AON,所以∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°.故∠AOM与∠NOC的差不变,且∠AOM-∠NOC=30°.