2. 对某篮球运动员进行三分球投篮测试，结果如下表：
| 投篮次数 $n$ | 10 | 50 | 100 | 150 | 200 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 命中次数 $m$ | 4 | | 65 | 90 | 120 |
| 命中率 | 0.4 | 0.5 | 0.65 | | |
（1）计算并直接在表中填写投篮150次、200次相应的命中率；
（2）这个运动员投篮命中的概率约是；
（3）估计这个运动员三分球投篮15次能得多少分.

2. (1) 0.6，0.6；(2) 0.6；(3) 27分.

【分析】
解题思路如下：1. 第一问计算命中率，直接利用公式“命中率=命中次数÷投篮次数”，分别代入投篮150次、200次对应的命中次数计算即可。2. 第二问求投篮命中的概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，观察多次试验后命中率的稳定值即可得到概率估计值。3. 第三问计算投篮得分，先用投篮总次数乘估计的命中概率得到命中次数，再结合三分球每命中1次得3分的规则，即可算出总得分。
【解析】
（1）命中率计算公式为：$\mathrm{命中率}=\frac{\mathrm{命中次数}m}{\mathrm{投篮次数}n}$
当$n=150$，$m=90$时，命中率$=\frac{90}{150}=0.6$
当$n=200$，$m=120$时，命中率$=\frac{120}{200}=0.6$
（2）观察表格数据可知，随着投篮次数逐渐增加，命中率逐渐稳定在0.6附近，根据频率估计概率的规律，可得这个运动员投篮命中的概率约为0.6。
（3）估计投篮15次的命中次数为：$15×0.6=9$（次）
三分球每命中1次得3分，因此总得分约为：$9×3=27$（分）
【答案】
(1) 0.6，0.6；(2) 0.6；(3) 27分
【知识点】
频率的计算，频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题结合篮球投篮的生活场景考查统计与概率的基础应用，核心是理解频率和概率的关系，属于基础类题型，要求学生能熟练运用公式计算频率，且能利用频率估计概率解决简单的实际问题。
【难度系数】
0.8

3. 英文字母中，元音字母包含 a、e、i、o、u. 现用 25 张包含英文字母的卡片拼出英语短句“Work hard and you will succeed”. 比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列：
（1）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母；
（2）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母；
（3）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母是“l”.

用$P_1$、$P_2$、$P_3$分别表示事件(1)、(2)、(3)发生的可能性大小，则$P_3＜P_1＜P_2$.

【分析】
要比较三个事件的发生可能性大小，本题中从25张卡片中任意抽一张属于等可能事件，可能性大小等于符合条件的卡片数除以总卡片数。由于总卡片数固定为25，因此仅需统计各事件对应的符合条件的卡片数量，数量越小，对应的发生可能性越小。解题时先统计字母“l”的数量、元音字母的总数量，再计算非元音字母的数量，最后比较三者数量大小即可得出可能性的大小顺序。
【解析】
设事件（1）（2）（3）发生的可能性分别为$P_1$、$P_2$、$P_3$，总共有25张等可能抽取的卡片：
1. 统计字母“l”的数量：短句中仅“will”包含字母“l”，共2个，因此$P_3=\frac{2}{25}$；
2. 统计元音字母（a、e、i、o、u）的数量：逐一计数得元音字母共9个，因此$P_1=\frac{9}{25}$；
3. 计算非元音字母的数量：非元音字母数量=总卡片数-元音字母数=25-9=16，因此$P_2=\frac{16}{25}$；
4. 比较大小：因为$\frac{2}{25}＜\frac{9}{25}＜\frac{16}{25}$，所以$P_3＜P_1＜P_2$。
【答案】
用$P_1$、$P_2$、$P_3$分别表示事件(1)、(2)、(3)发生的可能性大小，则$P_3＜P_1＜P_2$。
【知识点】
等可能事件概率计算，可能性大小比较
【点评】
本题核心考查等可能事件的可能性判断，解题的关键是准确统计对应类别的字母数量，计数时注意避免漏数、多数，整体解题逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7

4. 某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
| 抽取的彩色弹力球数n | 500 | 1 000 | 1 500 | 2 000 | 2 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 优等品频数m | | 946 | 1 426 | 1 898 | 2 370 |
| 优等品频率 | 0.942 | 0.946 | 0.951 | 0.949 | 0.948 |
（1）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是；（精确到0.01）
（2）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率；
（3）现从第（2）问所说的袋子中拿出若干个黑球，又放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为$\frac{1}{4}$，求拿出了多少个黑球.

4. (1) 0.95；(2) $\frac{1}{8}$；(3) 拿出了5个黑球.

【分析】
（1）依据频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值。观察表格中优等品的频率，发现数值均在0.95上下波动，精确到0.01即可得到概率估计值。
（2）简单事件的概率计算，只需用符合条件的情况数（黄球的数量）除以所有等可能的情况数（袋子中球的总数量）即可求解。
（3）设拿出黑球的数量为x，可知放入黄球的数量也为x，先表示出变化后黄球的数量，由于拿出和放入的球数量相等，总球数保持不变，再结合摸出黄球的概率为$\frac{1}{4}$列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
（1）观察表格中的优等品频率：0.942、0.946、0.951、0.949、0.948，随着抽取弹力球的数量增加，频率稳定在0.95附近，精确到0.01，因此这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值为0.95。
（2）袋子中球的总数量为：$5+13+22=40$（个），其中黄球有5个，
因此从袋子中摸出一个球是黄球的概率$P=\frac{黄球的数量}{总球数}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
（3）设拿出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，
此时袋子中黄球的数量为$(5+x)$个，总球数仍为40个，
根据题意列方程：$\frac{5+x}{40}=\frac{1}{4}$，
方程两边同时乘40得：$5+x=10$，
解得：$x=5$，即拿出了5个黑球。
【答案】
（1）$\boxed{0.95}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{8}}$；（3）拿出了$\boxed{5}$个黑球。
【知识点】
频率估计概率；简单概率计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，综合考查了用频率估计概率的统计思想、简单概率的计算，以及结合方程解决概率变化的问题，注重对基础概念和基本方法的考查，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8