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7. (2024·湖南) 如图,在锐角三角形 $ABC$ 中, $AD$ 是边 $BC$ 上的高,在 $BA,BC$ 上分别截取线段$BE,BF$,使 $BE=BF$; 分别以点 $E,F$ 为圆心,大于 $\dfrac{1}{2}EF$ 的长为半径画弧,在 $∠ ABC$ 内,两弧交于点 $P$,作射线 $BP$,交 $AD$ 于点 $M$,过点 $M$ 作$MN ⊥ AB$ 于点 $N$. 若 $MN=2,AD=4MD$,则 $AM=$
6
.答案
7.6
8. (2024·东海县期中)如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$.
(1)求作$CD$的垂直平分线$l$;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)中的直线$l$上求作一点$P$,使得$S_{△ ADP}=S_{△ ABP}$;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(3)在(1)(2)的作图条件下,连接$PB,PC,PD$.求证:$PB=PC$.
(1)求作$CD$的垂直平分线$l$;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)中的直线$l$上求作一点$P$,使得$S_{△ ADP}=S_{△ ABP}$;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(3)在(1)(2)的作图条件下,连接$PB,PC,PD$.求证:$PB=PC$.
答案
8.解:(1)如答图,直线$l$即为所求作.
(2)如答图,点$P$即为所求作
(3)由(2)可知$AP$平分$∠BAD$,$\therefore ∠BAP=∠DAP$.
在$△ BAP$和$△ DAP$中,$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠BAP=∠DAP,\\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore △ BAP≌△ DAP(\mathrm{SAS}),\therefore PB=PD$.
又$\because$点$P$在线段$CD$的垂直平分线上,$\therefore PC=PD$.
$\therefore PB=PC$.
9. 如图,$OE,OF$分别是$△ ABC$中$AB,AC$边的垂直平分线,$∠ OBC,∠ OCB$的平分线相交于点$I$,试判定$OI$与$BC$的位置关系,并给出证明.
答案
9.解:$OI⊥BC$.证明如下:
如答图,连接$OA$,过点$I$作$IM⊥OB$于点$M$,$IN⊥OC$于点$N$,$IG⊥BC$于点$G$.
$\because OE,OF$分别是$AB,AC$边的垂直平分线,
$\therefore OA=OB,OA=OC,\therefore OB=OC$.
$\because ∠OBC,∠OCB$的平分线相交于点$I$,
$\therefore IM=IG,IN=IG,\therefore IM=IN$,
$\therefore$点$I$在$∠BOC$的平分线上.
在$△ BOI$和$△ COI$中,$\begin{cases} OB=OC,\\ ∠BOI=∠COI,\\ OI=OI, \end{cases}$
$\therefore △ BOI≌△ COI(\mathrm{SAS}),\therefore BI=CI$,
$\therefore OI$是$BC$的垂直平分线,$\therefore OI⊥BC$.
模型积累
[模型1]作单垂线
[模型2]作双垂线
[条件]$AD$平分$∠ BAC$,$∠ C=90°$,作$DE⊥ AB$
[结论](1)$DE=DC$;
(2)$△ ADE≌△ ADC$
[条件]$AD$平分$∠ BAC$,作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$
[结论](1)$DE=DF$;
(2)$△ ADE≌△ ADF$;
(3)$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$
[模型1]作单垂线
[模型2]作双垂线
[条件]$AD$平分$∠ BAC$,$∠ C=90°$,作$DE⊥ AB$
[结论](1)$DE=DC$;
(2)$△ ADE≌△ ADC$
[条件]$AD$平分$∠ BAC$,作$DE⊥ AB,DF⊥ AC$
[结论](1)$DE=DF$;
(2)$△ ADE≌△ ADF$;
(3)$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$
答案
证明：
模型1推导
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD，
∵ DE⊥AB，∠C=90°，
∴ ∠AED = ∠C = 90°，
在△ADE和△ADC中：
$\begin{cases}∠AED = ∠C \\∠EAD = ∠CAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADC（AAS），
∴ DE = DC。
---
模型2推导
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠FAD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°，
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases}∠AED = ∠AFD \\∠EAD = ∠FAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADF（AAS），
∴ DE = DF。
∵ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AC · DF$，且DE=DF，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC}$，
∵ △ABD与△ACD同以点A向BC作的垂线段为高，等高三角形面积比等于对应底边长的比，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{BD}{DC}$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$。
模型1推导
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD，
∵ DE⊥AB，∠C=90°，
∴ ∠AED = ∠C = 90°，
在△ADE和△ADC中：
$\begin{cases}∠AED = ∠C \\∠EAD = ∠CAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADC（AAS），
∴ DE = DC。
---
模型2推导
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠FAD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°，
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases}∠AED = ∠AFD \\∠EAD = ∠FAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADF（AAS），
∴ DE = DF。
∵ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AC · DF$，且DE=DF，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC}$，
∵ △ABD与△ACD同以点A向BC作的垂线段为高，等高三角形面积比等于对应底边长的比，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{BD}{DC}$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$。
