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9. 新趋势 开放性试题 (2025·武汉中考) 在平面直角坐标系中,某反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象分别位于第一、第三象限.写出一个满足条件的$k$的值是
1(答案不唯一)
.答案
9. 1(答案不唯一) 解析:$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象分别位于第一、第三象限,$\therefore k＞0$ 即可,$\therefore k$ 可取 1.(答案不唯一)
解析
【分析】要解决这个问题，需回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，函数图象位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、第四象限。题目要求图象在第一、第三象限，因此只需取一个大于0的数作为$k$即可，选择简单的正整数即可。
【解析】因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象分别位于第一、第三象限，根据反比例函数的性质，可知$k＞0$，所以$k$可取任意正数，例如$k=1$（答案不唯一）。
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题为开放性试题，考查反比例函数图象与系数$k$的关系，属于基础题，只要掌握反比例函数的基本性质就能轻松作答。
【难度系数】0.9
【解析】因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象分别位于第一、第三象限，根据反比例函数的性质，可知$k＞0$，所以$k$可取任意正数，例如$k=1$（答案不唯一）。
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题为开放性试题，考查反比例函数图象与系数$k$的关系，属于基础题，只要掌握反比例函数的基本性质就能轻松作答。
【难度系数】0.9
10. (2026·济南期中)一定质量的氧气,它的密度$\rho(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)$是它的体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数,当$V=100\ \mathrm{m}^3$时,$\rho=1.4\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$;那么当$V=2\ \mathrm{m}^3$时,氧气的密度为
70
$\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$.答案
10. 70 解析:$\because$ 氧气的质量一定,$\therefore$ 设氧气的质量为 $m$,即 $m=\rho V$,且当 $V=100\ \mathrm{m}^3$ 时,$\rho=1.4\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$,$\therefore m=100×1.4=140(\mathrm{kg})$,$\therefore 140=\rho V$,$\therefore \rho=\dfrac{140}{V}$.当 $V=2\ \mathrm{m}^3$ 时,$\rho=\dfrac{140}{2}=70(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路为：氧气质量一定时，密度ρ与体积V成反比例关系，先设反比例函数表达式，利用已知的体积和密度求出比例系数（即氧气质量），再代入目标体积计算对应的密度。
【解析】
解：因为氧气的质量m一定，密度ρ与体积V成反比例函数关系，设表达式为$\rho=\frac{k}{V}$（k为常数，k≠0），则$k=\rho V$。
将$V=100\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.4\ \mathrm{kg/m}^3$代入得：$k=100×1.4=140$，因此反比例函数表达式为$\rho=\frac{140}{V}$。
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，$\rho=\frac{140}{2}=70\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
70
【知识点】
反比例函数应用，密度与体积的关系
【点评】
本题是反比例函数在物理实际问题中的基础应用，核心是利用反比例关系确定函数表达式，再代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路为：氧气质量一定时，密度ρ与体积V成反比例关系，先设反比例函数表达式，利用已知的体积和密度求出比例系数（即氧气质量），再代入目标体积计算对应的密度。
【解析】
解：因为氧气的质量m一定，密度ρ与体积V成反比例函数关系，设表达式为$\rho=\frac{k}{V}$（k为常数，k≠0），则$k=\rho V$。
将$V=100\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.4\ \mathrm{kg/m}^3$代入得：$k=100×1.4=140$，因此反比例函数表达式为$\rho=\frac{140}{V}$。
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，$\rho=\frac{140}{2}=70\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
70
【知识点】
反比例函数应用，密度与体积的关系
【点评】
本题是反比例函数在物理实际问题中的基础应用，核心是利用反比例关系确定函数表达式，再代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3
11. (2024·陕西中考) 已知点 $A(-2,y_1)$ 和点$B(m,y_2)$ 均在反比例函数 $y=-\dfrac{5}{x}$ 的图象上，若 $0＜m＜1$，则 $y_1+y_2$
＜
$0$（填“$＜$”“$＞$”或“$=$”）.答案
11. ＜ 解析:$\because$ 点 $A(-2,y_1)$ 和点 $B(m,y_2)$ 均在反比例函数 $y=-\dfrac{5}{x}$ 的图象上,$\therefore y_1=\dfrac{5}{2}$,$y_2=-\dfrac{5}{m}$.$\because 0＜m＜1$,$\therefore y_2＜-5$,$\therefore y_1+y_2＜0$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，先求出$y_1$和$y_2$的表达式，再结合$m$的取值范围分析$y_2$的范围，最后计算$y_1+y_2$并与0比较大小。
【解析】
解：
∵点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将$A(-2,y_1)$代入函数得：$y_1 = -\dfrac{5}{-2} = \dfrac{5}{2}$；
将$B(m,y_2)$代入函数得：$y_2 = -\dfrac{5}{m}$；
又
∵$0＜m＜1$，
∴$\dfrac{1}{m}＞1$，两边同乘$-5$（不等号方向改变），得$-\dfrac{5}{m}＜-5$，即$y_2＜-5$；
则$y_1+y_2 = \dfrac{5}{2} + y_2$，因为$y_2＜-5$，所以$\dfrac{5}{2} + y_2 ＜\dfrac{5}{2} -5 = -\dfrac{5}{2}＜0$，
故$y_1+y_2＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数、函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题，解题关键是利用点与函数解析式的关系求出函数值，再结合不等式分析函数值范围，难度适中，是中考常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用“点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，先求出$y_1$和$y_2$的表达式，再结合$m$的取值范围分析$y_2$的范围，最后计算$y_1+y_2$并与0比较大小。
【解析】
解：
∵点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将$A(-2,y_1)$代入函数得：$y_1 = -\dfrac{5}{-2} = \dfrac{5}{2}$；
将$B(m,y_2)$代入函数得：$y_2 = -\dfrac{5}{m}$；
又
∵$0＜m＜1$，
∴$\dfrac{1}{m}＞1$，两边同乘$-5$（不等号方向改变），得$-\dfrac{5}{m}＜-5$，即$y_2＜-5$；
则$y_1+y_2 = \dfrac{5}{2} + y_2$，因为$y_2＜-5$，所以$\dfrac{5}{2} + y_2 ＜\dfrac{5}{2} -5 = -\dfrac{5}{2}＜0$，
故$y_1+y_2＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数、函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题，解题关键是利用点与函数解析式的关系求出函数值，再结合不等式分析函数值范围，难度适中，是中考常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
12. (2025·扬州期中)在平面直角坐标系中,函数 $y=x-1$ 与 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $P(a,$$b)$, 则代数式 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ 的值为
$-\dfrac{1}{4}$
.答案
12. $-\dfrac{1}{4}$ 解析:$\because$ 函数 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 与 $y=x-1$ 的图象交于点 $P(a,b)$,$\therefore b=\dfrac{4}{a}$,$b=a-1$,即 $ab=4$,$b-a=-1$,$\therefore \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b-a}{ab} = -\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，由此得到关于$a$、$b$的关系式；再将所求代数式通分，通过整体代入法计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
因为点$P(a,b)$是函数$y=x-1$与$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的交点，所以将$x=a$、$y=b$代入两个函数解析式：
1. 代入$y=x-1$得：$b = a - 1$，移项得$b - a = -1$；
2. 代入$y=\dfrac{4}{x}$得：$b = \dfrac{4}{a}$，两边同乘$a$（$a＞0$）得$ab = 4$。
对代数式$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}$通分变形：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}$，
将$b - a = -1$、$ab = 4$代入得：
$\dfrac{-1}{4} = -\dfrac{1}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
反比例函数与一次函数的交点，分式化简求值
【点评】
本题结合函数交点性质与分式运算，核心是利用整体代入简化计算，是初中函数与分式结合的基础题型，重点考查对交点性质和分式通分的掌握。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，由此得到关于$a$、$b$的关系式；再将所求代数式通分，通过整体代入法计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
因为点$P(a,b)$是函数$y=x-1$与$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的交点，所以将$x=a$、$y=b$代入两个函数解析式：
1. 代入$y=x-1$得：$b = a - 1$，移项得$b - a = -1$；
2. 代入$y=\dfrac{4}{x}$得：$b = \dfrac{4}{a}$，两边同乘$a$（$a＞0$）得$ab = 4$。
对代数式$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}$通分变形：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}$，
将$b - a = -1$、$ab = 4$代入得：
$\dfrac{-1}{4} = -\dfrac{1}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
反比例函数与一次函数的交点，分式化简求值
【点评】
本题结合函数交点性质与分式运算，核心是利用整体代入简化计算，是初中函数与分式结合的基础题型，重点考查对交点性质和分式通分的掌握。
【难度系数】
0.6
13. (2025·广西中考改编)如
图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG 的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足$BC=DE=FG=1$,点 A,C,E,G 均在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$的一支上.若点 A 的坐标为$(4,\dfrac{3}{2})$,则第三级阶梯的高$EF=$
图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG 的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足$BC=DE=FG=1$,点 A,C,E,G 均在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$的一支上.若点 A 的坐标为$(4,\dfrac{3}{2})$,则第三级阶梯的高$EF=$3
.答案
13. 3 解析:$\because$ 点 $A(4,\dfrac{3}{2})$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上,$\therefore k=4×\dfrac{3}{2}=6$,$\therefore$ 双曲线 $y=\dfrac{6}{x}$.$\because$ "双曲线阶梯"ABCDEFG 的所有线段均与x轴平行或垂直,且 $BC=DE=FG=1$,$\therefore$ 点 $E$ 的横坐标为 $4-1-1=2$,点 $G$ 的横坐标为 $2-1=1$,$\therefore$ 点 $E$ 的纵坐标为 $\dfrac{6}{2}=3$,点 $G$ 的纵坐标为 $\dfrac{6}{1}=6$,$\therefore EF=6-3=3$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用已知点A在双曲线上求出反比例函数的解析式；再根据“所有线段与x轴平行或垂直，且BC=DE=FG=1”，依次确定点E、G的横坐标；最后结合反比例函数解析式求出E、G的纵坐标，两者的差即为EF的长度。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点A$(4,\frac{3}{2})$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将A代入得：$k = 4 × \frac{3}{2} = 6$，因此双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 确定点E、G的横坐标：
因为“双曲线阶梯”的线段均与x轴平行或垂直，且$BC=DE=FG=1$，所以点C的横坐标为$4 - 1 = 3$，点E的横坐标为$3 - 1 = 2$，点G的横坐标为$2 - 1 = 1$。
3. 计算EF的长度：
点E、G在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，因此E的纵坐标为$\frac{6}{2}=3$，G的纵坐标为$\frac{6}{1}=6$。由于EF是垂直于x轴的线段，长度为G与E的纵坐标之差，故$EF = 6 - 3 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数、坐标与图形性质
【点评】
本题结合反比例函数与平面直角坐标系的坐标特征，考查学生对反比例函数解析式的求解及坐标与线段长度的关系，核心是根据阶梯边长确定各点横坐标，再利用反比例函数求纵坐标，属于函数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用已知点A在双曲线上求出反比例函数的解析式；再根据“所有线段与x轴平行或垂直，且BC=DE=FG=1”，依次确定点E、G的横坐标；最后结合反比例函数解析式求出E、G的纵坐标，两者的差即为EF的长度。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点A$(4,\frac{3}{2})$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将A代入得：$k = 4 × \frac{3}{2} = 6$，因此双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 确定点E、G的横坐标：
因为“双曲线阶梯”的线段均与x轴平行或垂直，且$BC=DE=FG=1$，所以点C的横坐标为$4 - 1 = 3$，点E的横坐标为$3 - 1 = 2$，点G的横坐标为$2 - 1 = 1$。
3. 计算EF的长度：
点E、G在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，因此E的纵坐标为$\frac{6}{2}=3$，G的纵坐标为$\frac{6}{1}=6$。由于EF是垂直于x轴的线段，长度为G与E的纵坐标之差，故$EF = 6 - 3 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数、坐标与图形性质
【点评】
本题结合反比例函数与平面直角坐标系的坐标特征，考查学生对反比例函数解析式的求解及坐标与线段长度的关系，核心是根据阶梯边长确定各点横坐标，再利用反比例函数求纵坐标，属于函数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
14. 已知 $a＞-\dfrac{3}{2}$, 若当 $1 ≤ x ≤ 2$ 时, 函数 $y=\dfrac{a}{x}$$(a ≠ 0)$ 的最大值与最小值之差是 1 , 则 $a$ 的值为
2
.答案
14. 2 解析:当 $-\dfrac{3}{2}＜a＜0$ 时,函数 $y=\dfrac{a}{x}(a≠0)$ 在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\because$ 当 $1≤ x≤2$ 时,函数 $y=\dfrac{a}{x}(a≠0)$ 的最大值与最小值之差是 1,$\therefore \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{1} =1$,得 $a=-2$(舍去);当 $a＞0$ 时,函数 $y=\dfrac{a}{x}(a≠0)$ 在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\because$ 当 $1≤ x≤2$ 时,函数 $y=\dfrac{a}{x}(a≠0)$ 的最大值与最小值之差是 1,$\therefore \dfrac{a}{1} - \dfrac{a}{2} =1$,得 $a=2$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合反比例函数的单调性，分a的正负情况讨论函数在区间[1,2]上的最值，再根据“最大值与最小值之差为1”列方程求解，同时要验证解是否满足a＞-3/2的条件。首先明确：反比例函数y=a/x（a≠0）在x＞0时，a＞0则y随x增大而减小，a＜0则y随x增大而增大，因此分两种情况讨论：①-3/2＜a＜0；②a＞0，分别计算最值后列方程，再筛选符合范围的解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当-3/2＜a＜0时，函数y=a/x在1≤x≤2时，y随x增大而增大，因此最大值为x=2时的y值，即y_max=a/2；最小值为x=1时的y值，即y_min=a。
根据题意，最大值与最小值之差为1，可得：
$\frac{a}{2} - a = 1$
化简得：$-\frac{a}{2}=1$，解得a=-2。但a=-2不满足a＞-3/2，故舍去该解。
2. 当a＞0时，函数y=a/x在1≤x≤2时，y随x增大而减小，因此最大值为x=1时的y值，即y_max=a；最小值为x=2时的y值，即y_min=a/2。
根据题意，最大值与最小值之差为1，可得：
$a - \frac{a}{2}=1$
化简得：$\frac{a}{2}=1$，解得a=2。a=2满足a＞-3/2，符合条件。
综上，a的值为2。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质；分类讨论思想；一元一次方程求解
【点评】
本题考查反比例函数的单调性与分类讨论思想，核心是根据a的正负确定区间内的最值，需注意结合给定的a的范围对解进行验证，避免出现不符合条件的结果，属于中等难度的函数应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合反比例函数的单调性，分a的正负情况讨论函数在区间[1,2]上的最值，再根据“最大值与最小值之差为1”列方程求解，同时要验证解是否满足a＞-3/2的条件。首先明确：反比例函数y=a/x（a≠0）在x＞0时，a＞0则y随x增大而减小，a＜0则y随x增大而增大，因此分两种情况讨论：①-3/2＜a＜0；②a＞0，分别计算最值后列方程，再筛选符合范围的解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当-3/2＜a＜0时，函数y=a/x在1≤x≤2时，y随x增大而增大，因此最大值为x=2时的y值，即y_max=a/2；最小值为x=1时的y值，即y_min=a。
根据题意，最大值与最小值之差为1，可得：
$\frac{a}{2} - a = 1$
化简得：$-\frac{a}{2}=1$，解得a=-2。但a=-2不满足a＞-3/2，故舍去该解。
2. 当a＞0时，函数y=a/x在1≤x≤2时，y随x增大而减小，因此最大值为x=1时的y值，即y_max=a；最小值为x=2时的y值，即y_min=a/2。
根据题意，最大值与最小值之差为1，可得：
$a - \frac{a}{2}=1$
化简得：$\frac{a}{2}=1$，解得a=2。a=2满足a＞-3/2，符合条件。
综上，a的值为2。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质；分类讨论思想；一元一次方程求解
【点评】
本题考查反比例函数的单调性与分类讨论思想，核心是根据a的正负确定区间内的最值，需注意结合给定的a的范围对解进行验证，避免出现不符合条件的结果，属于中等难度的函数应用题型。
【难度系数】
0.5
15. (2025·成都期中) 如图，$P$是函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上一点，直线$y=-\dfrac{3}{4}x+b$分别交$x$轴、$y$轴于点$A,B$，过点$P$作$PM⊥ x$轴于点$M$，交$AB$于点$E$，作$PN⊥ y$轴于点$N$，交$AB$于点$F$，当$AF· BE=\dfrac{5}{2}$时，$k$的值为
$\dfrac{6}{5}$
.答案
15. $\dfrac{6}{5}$ 解析:$\because$ 直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+b$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A,B$,则令 $x=0$,得 $y=b$,令 $y=0$,得 $x=\dfrac{4}{3}b$,$\therefore A( \dfrac{4}{3}b,0)$,$B(0,b)$.设点 $P$ 坐标为 $( t,\dfrac{k}{t})$,$\because$ 点 $E,F$ 分别是直线 $AB$ 与 $PM,PN$ 的交点,当 $x=t$ 时,$y=-\dfrac{3}{4}t +b$,$\therefore E( t,-\dfrac{3}{4}t +b)$,当 $y=\dfrac{k}{t}$ 时,$\dfrac{k}{t} = -\dfrac{3}{4}x +b$, $\therefore x=\dfrac{4}{3}b - \dfrac{4k}{3t}$,$\therefore F( \dfrac{4}{3}b - \dfrac{4k}{3t},\dfrac{k}{t})$.$\because AF · BE = \dfrac{5}{2}$,$\therefore AF^2 · BE^2 = \dfrac{25}{4}$,即 $( \dfrac{16k^2}{9t^2}+\dfrac{k^2}{t^2})( t^2 + \dfrac{9}{16}t^2) = \dfrac{25}{4}$,解得 $k=\pm\dfrac{6}{5}$.$\because k＞0$,$\therefore k=\dfrac{6}{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先确定直线与坐标轴交点A、B的坐标，再设出反比例函数上点P的坐标，进而求出E、F的坐标，利用两点间距离公式表示出AF和BE的长度，结合已知条件AF·BE=5/2建立方程，求解k的值，注意反比例函数图象在第一象限，k为正。
【解析】
1. 求直线与坐标轴交点：对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+b$，令$x=0$得$y=b$，故$B(0,b)$；令$y=0$，解得$x=\dfrac{4}{3}b$，故$A(\dfrac{4}{3}b,0)$。
2. 设点P坐标：设$P(t,\dfrac{k}{t})(t＞0,k＞0)$，因$PM⊥ x$轴，E点横坐标为$t$，代入直线得$E(t,-\dfrac{3}{4}t +b)$；因$PN⊥ y$轴，F点纵坐标为$\dfrac{k}{t}$，代入直线方程$\dfrac{k}{t}=-\dfrac{3}{4}x +b$，解得$x=\dfrac{4b}{3}-\dfrac{4k}{3t}$，故$F(\dfrac{4b}{3}-\dfrac{4k}{3t},\dfrac{k}{t})$。
3. 计算线段长度：
$AF$：点$A(\dfrac{4}{3}b,0)$到$F(\dfrac{4b}{3}-\dfrac{4k}{3t},\dfrac{k}{t})$的距离，横坐标差为$\dfrac{4k}{3t}$，纵坐标差为$-\dfrac{k}{t}$，故$AF=\sqrt{(\dfrac{4k}{3t})^2+(-\dfrac{k}{t})^2}=\dfrac{5k}{3t}$；
$BE$：点$B(0,b)$到$E(t,-\dfrac{3}{4}t +b)$的距离，横坐标差为$t$，纵坐标差为$-\dfrac{3}{4}t$，故$BE=\sqrt{t^2+(-\dfrac{3}{4}t)^2}=\dfrac{5t}{4}$。
4. 求解k：由$AF· BE=\dfrac{5}{2}$，代入得$\dfrac{5k}{3t}·\dfrac{5t}{4}=\dfrac{5}{2}$，化简得$\dfrac{25k}{12}=\dfrac{5}{2}$，解得$k=\dfrac{6}{5}$（因反比例函数在第一象限，k＞0）。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、两点间距离公式
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的性质，通过坐标表示线段长度，利用已知乘积条件建立方程求解，关键在于准确计算各点坐标及线段长度，需注意反比例函数中k的符号。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先确定直线与坐标轴交点A、B的坐标，再设出反比例函数上点P的坐标，进而求出E、F的坐标，利用两点间距离公式表示出AF和BE的长度，结合已知条件AF·BE=5/2建立方程，求解k的值，注意反比例函数图象在第一象限，k为正。
【解析】
1. 求直线与坐标轴交点：对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+b$，令$x=0$得$y=b$，故$B(0,b)$；令$y=0$，解得$x=\dfrac{4}{3}b$，故$A(\dfrac{4}{3}b,0)$。
2. 设点P坐标：设$P(t,\dfrac{k}{t})(t＞0,k＞0)$，因$PM⊥ x$轴，E点横坐标为$t$，代入直线得$E(t,-\dfrac{3}{4}t +b)$；因$PN⊥ y$轴，F点纵坐标为$\dfrac{k}{t}$，代入直线方程$\dfrac{k}{t}=-\dfrac{3}{4}x +b$，解得$x=\dfrac{4b}{3}-\dfrac{4k}{3t}$，故$F(\dfrac{4b}{3}-\dfrac{4k}{3t},\dfrac{k}{t})$。
3. 计算线段长度：
$AF$：点$A(\dfrac{4}{3}b,0)$到$F(\dfrac{4b}{3}-\dfrac{4k}{3t},\dfrac{k}{t})$的距离，横坐标差为$\dfrac{4k}{3t}$，纵坐标差为$-\dfrac{k}{t}$，故$AF=\sqrt{(\dfrac{4k}{3t})^2+(-\dfrac{k}{t})^2}=\dfrac{5k}{3t}$；
$BE$：点$B(0,b)$到$E(t,-\dfrac{3}{4}t +b)$的距离，横坐标差为$t$，纵坐标差为$-\dfrac{3}{4}t$，故$BE=\sqrt{t^2+(-\dfrac{3}{4}t)^2}=\dfrac{5t}{4}$。
4. 求解k：由$AF· BE=\dfrac{5}{2}$，代入得$\dfrac{5k}{3t}·\dfrac{5t}{4}=\dfrac{5}{2}$，化简得$\dfrac{25k}{12}=\dfrac{5}{2}$，解得$k=\dfrac{6}{5}$（因反比例函数在第一象限，k＞0）。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、两点间距离公式
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的性质，通过坐标表示线段长度，利用已知乘积条件建立方程求解，关键在于准确计算各点坐标及线段长度，需注意反比例函数中k的符号。
【难度系数】
0.5
16. (2025·北京中考改编)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$A,B$分别是横、纵轴正半轴上的动点,四边形$OACB$是矩形,函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$的图象与边$AC$交于点$M$,与边$BC$交于点$N$($M,N$不重合).给出下面四个结论:①$△ COM$与$△ CON$的面积一定相等;②$△ MON$与$△ MCN$的面积可能相等;③$△ MON$一定是锐角三角形;④$△ MON$可能是等边三角形.上述结论中,所有正确结论的序号是
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①④
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答案
16. ①④ 解析:$\because$ 四边形 $OACB$ 是矩形,$\therefore S_{△ OBC} = S_{△ AOC}$.又$\because M,N$ 是反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$ 图象上的动点,$BN ⊥ y$轴,$MA ⊥ x$轴,$\therefore S_{△ OBN} = S_{△ OAM} = \dfrac{1}{2}$,$\therefore S_{△ OBC} - S_{△ OBN} = S_{△ AOC} - S_{△ AOM}$,即 $△ COM$ 与 $△ CON$ 的面积一定相等,故①正确;由①可得 $S_{△ OBN} = S_{△ OAM} = \dfrac{1}{2}$,当 $△ MON$ 与 $△ MCN$ 的面积相等时,连接 $AB,BM$,如图①,$\therefore S_{△ NCM} + S_{△ OAM} = S_{△ MON} + S_{△ OBN} = \dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}OACB} = S_{△ ABO} = S_{△ BOM}$,$\therefore N$ 在直线 $BM$ 上,则 $M,N$ 重合,又 $M,N$ 不重合,$\therefore △ MON$ 与 $△ MCN$ 的面积不可能相等,故②不正确;
$\because$ 等边三角形和反比例函数图象都是轴对称图形,当 $∠ NOM=60°$ 且对称轴为直线 $y=x$ 时,$△ MON$ 是等边三角形,如图②,故④正确;如图③,当 $M,N$ 在 $y=x$ 的同侧时,$△ MON$ 是钝角三角形,故③错误.综上,①④正确,②③错误.
解析
【分析】
要判断四个结论的正确性，需结合反比例函数的性质（反比例函数上的点向坐标轴作垂线形成的三角形面积为定值$\frac{1}{2}$）、矩形的性质，逐一分析：
1. 结论①：利用矩形面积与反比例函数相关三角形面积的关系，推导$△ COM$和$△ CON$的面积是否相等；
2. 结论②：假设面积相等，推导是否会导致$M$、$N$重合，与题设矛盾；
3. 结论③：通过几何分析，判断$△ MON$是否一定为锐角三角形；
4. 结论④：利用反比例函数的对称性，判断是否存在$△ MON$为等边三角形的情况。
【解析】
设矩形$OACB$中，$A(a,0)$，$B(0,b)$，则$AC$边为$x=a$，代入$y=\frac{1}{x}$得$M(a,\frac{1}{a})$；$BC$边为$y=b$，代入$y=\frac{1}{x}$得$N(\frac{1}{b},b)$。
1. 结论①验证：
由反比例函数性质，$S_{△ OAM}=\frac{1}{2} · OA · AM=\frac{1}{2} · a · \frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，同理$S_{△ OBN}=\frac{1}{2}$。
矩形中$S_{△ AOC}=S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ab$，因此：
$S_{△ COM}=S_{△ AOC}-S_{△ OAM}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，
$S_{△ CON}=S_{△ OBC}-S_{△ OBN}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，
故$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，①正确。
2. 结论②验证：
若$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，则$S_{△ MON}+S_{△ OAM}=S_{△ MCN}+S_{△ OAM}$，结合$S_{△ OAM}=S_{△ OBN}=\frac{1}{2}$，可推得$N$在直线$BM$上，即$M$、$N$重合，与题设“$M$、$N$不重合”矛盾，故②错误。
3. 结论③验证：
当$M$、$N$的位置使得$∠ MON$为钝角时，$△ MON$为钝角三角形，因此“$△ MON$一定是锐角三角形”不成立，③错误。
4. 结论④验证：
反比例函数图象关于直线$y=x$对称，当$M$、$N$关于$y=x$对称且$∠ MON=60°$时，$△ MON$满足等边三角形的三边相等、内角为$60°$的条件，故存在这样的等边三角形，④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与矩形的性质，需结合几何面积计算、三角形形状判断，对逻辑推理能力要求较高，是一道综合性较强的中考题，需学生熟练掌握反比例函数的核心性质。
【难度系数】
0.4
要判断四个结论的正确性，需结合反比例函数的性质（反比例函数上的点向坐标轴作垂线形成的三角形面积为定值$\frac{1}{2}$）、矩形的性质，逐一分析：
1. 结论①：利用矩形面积与反比例函数相关三角形面积的关系，推导$△ COM$和$△ CON$的面积是否相等；
2. 结论②：假设面积相等，推导是否会导致$M$、$N$重合，与题设矛盾；
3. 结论③：通过几何分析，判断$△ MON$是否一定为锐角三角形；
4. 结论④：利用反比例函数的对称性，判断是否存在$△ MON$为等边三角形的情况。
【解析】
设矩形$OACB$中，$A(a,0)$，$B(0,b)$，则$AC$边为$x=a$，代入$y=\frac{1}{x}$得$M(a,\frac{1}{a})$；$BC$边为$y=b$，代入$y=\frac{1}{x}$得$N(\frac{1}{b},b)$。
1. 结论①验证：
由反比例函数性质，$S_{△ OAM}=\frac{1}{2} · OA · AM=\frac{1}{2} · a · \frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，同理$S_{△ OBN}=\frac{1}{2}$。
矩形中$S_{△ AOC}=S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ab$，因此：
$S_{△ COM}=S_{△ AOC}-S_{△ OAM}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，
$S_{△ CON}=S_{△ OBC}-S_{△ OBN}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，
故$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，①正确。
2. 结论②验证：
若$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，则$S_{△ MON}+S_{△ OAM}=S_{△ MCN}+S_{△ OAM}$，结合$S_{△ OAM}=S_{△ OBN}=\frac{1}{2}$，可推得$N$在直线$BM$上，即$M$、$N$重合，与题设“$M$、$N$不重合”矛盾，故②错误。
3. 结论③验证：
当$M$、$N$的位置使得$∠ MON$为钝角时，$△ MON$为钝角三角形，因此“$△ MON$一定是锐角三角形”不成立，③错误。
4. 结论④验证：
反比例函数图象关于直线$y=x$对称，当$M$、$N$关于$y=x$对称且$∠ MON=60°$时，$△ MON$满足等边三角形的三边相等、内角为$60°$的条件，故存在这样的等边三角形，④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与矩形的性质，需结合几何面积计算、三角形形状判断，对逻辑推理能力要求较高，是一道综合性较强的中考题，需学生熟练掌握反比例函数的核心性质。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共44分)
17.(8分)(2024·常州中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n)$,$B(2,1)$.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式;
(2)连接$OA$,$OB$,求$△ OAB$的面积.
17.(8分)(2024·常州中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n)$,$B(2,1)$.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式;
(2)连接$OA$,$OB$,求$△ OAB$的面积.
答案
17. (1)$\because$ 一次函数 $y=kx+b$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象相交于点 $A(-1,n)$,$B(2,1)$,$\therefore m=2×1=-1· n$,$\therefore m=2$,$n=-2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{2}{x}$,$A(-1,-2)$,$\therefore \begin{cases}-k+b=-2,\\2k+b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x-1$.
(2)设直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,$\because y=x-1$,$\therefore$ 当 $x=0$ 时,$y=-1$,$\therefore C(0,-1)$,$\therefore △ OAB$ 的面积 $=\dfrac{1}{2} OC · |x_B -x_A| =\dfrac{1}{2}×1×(2+1)=\dfrac{3}{2}$.
(2)设直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,$\because y=x-1$,$\therefore$ 当 $x=0$ 时,$y=-1$,$\therefore C(0,-1)$,$\therefore △ OAB$ 的面积 $=\dfrac{1}{2} OC · |x_B -x_A| =\dfrac{1}{2}×1×(2+1)=\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
第(1)问，先利用反比例函数图象上的点满足解析式，由点B的坐标求出反比例函数的参数m，再代入点A的坐标求出A点的纵坐标，得到A点坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解方程组得到一次函数的参数k、b，从而确定两个函数表达式。第(2)问，通过求直线AB与y轴的交点，将△OAB分割为两个以该交点到原点的距离为公共底的三角形，利用两个三角形的高之和计算面积。
【解析】
(1) 因为点$B(2,1)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上，将$B(2,1)$代入得：$1=\dfrac{m}{2}$，解得$m=2$，所以反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
又因为点$A(-1,n)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，将$A(-1,n)$代入得：$n=\dfrac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
将$A(-1,-2)$、$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=-2 \\2k+b=1 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=-2$，得$b=-1$，所以一次函数表达式为$y=x-1$。
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$C$，对于一次函数$y=x-1$，当$x=0$时，$y=-1$，所以$C(0,-1)$，则$OC=1$。
$△ OAB$的面积可看作$△ OAC$与$△ OBC$的面积之和，两个三角形的公共底为$OC$，高分别为$A$、$B$横坐标的绝对值，因此：
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× OC×(|x_A|+|x_B|)=\dfrac{1}{2}×1×(1+2)=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=x-1$；
(2) $△ OAB$的面积为$\dfrac{3}{2}$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心是利用函数图象上点的坐标特征求函数解析式，通过分割法计算三角形面积，属于中考常规题型，需掌握函数与坐标的对应关系。
【难度系数】
0.5
第(1)问，先利用反比例函数图象上的点满足解析式，由点B的坐标求出反比例函数的参数m，再代入点A的坐标求出A点的纵坐标，得到A点坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解方程组得到一次函数的参数k、b，从而确定两个函数表达式。第(2)问，通过求直线AB与y轴的交点，将△OAB分割为两个以该交点到原点的距离为公共底的三角形，利用两个三角形的高之和计算面积。
【解析】
(1) 因为点$B(2,1)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上，将$B(2,1)$代入得：$1=\dfrac{m}{2}$，解得$m=2$，所以反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
又因为点$A(-1,n)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，将$A(-1,n)$代入得：$n=\dfrac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
将$A(-1,-2)$、$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=-2 \\2k+b=1 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=-2$，得$b=-1$，所以一次函数表达式为$y=x-1$。
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$C$，对于一次函数$y=x-1$，当$x=0$时，$y=-1$，所以$C(0,-1)$，则$OC=1$。
$△ OAB$的面积可看作$△ OAC$与$△ OBC$的面积之和，两个三角形的公共底为$OC$，高分别为$A$、$B$横坐标的绝对值，因此：
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× OC×(|x_A|+|x_B|)=\dfrac{1}{2}×1×(1+2)=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=x-1$；
(2) $△ OAB$的面积为$\dfrac{3}{2}$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心是利用函数图象上点的坐标特征求函数解析式，通过分割法计算三角形面积，属于中考常规题型，需掌握函数与坐标的对应关系。
【难度系数】
0.5
