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18. (10分)(百色中考)如图,已知菱形$ABCD$的对称中心是坐标原点$O$,四个顶点都在坐标轴上,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象与$AD$边交于$E(-4,\dfrac{1}{2})$,$F(m,2)$两点.
(1)求$k$,$m$的值;
(2)写出函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在菱形$ABCD$内$x$的取值范围.
(1)求$k$,$m$的值;
(2)写出函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在菱形$ABCD$内$x$的取值范围.
答案
18. (1)$\because$ 点 $E(-4,\dfrac{1}{2})$ 在 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上,$\therefore k=-2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{2}{x}$.$\because F(m,2)$ 在 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象上,$\therefore m=-1$.
(2)由图象可得函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象在菱形 $ABCD$ 内 $x$ 的取值范围是 $-4＜x＜-1$ 或 $1＜x＜4$.
(2)由图象可得函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象在菱形 $ABCD$ 内 $x$ 的取值范围是 $-4＜x＜-1$ 或 $1＜x＜4$.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用反比例函数图象上点的坐标特征求k和m的值：反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于k，将已知点E的坐标代入解析式可算出k，再将F点代入已得的解析式就能求出m。对于第二问，利用菱形和反比例函数都关于原点对称的性质，找到反比例函数与菱形交点的对称点，进而确定图象在菱形内的x取值范围。
【解析】
(1) 因为点$E(-4,\dfrac{1}{2})$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，可得：
$k = x · y = (-4) × \dfrac{1}{2} = -2$，
因此反比例函数的表达式为$y = -\dfrac{2}{x}$。
又因为点$F(m,2)$在该反比例函数图象上，代入得：
$2 = \dfrac{-2}{m}$，
解得$m = -1$。
(2) 由于菱形$ABCD$的对称中心是原点$O$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象也关于原点对称，结合图象可知，反比例函数与菱形的交点为$E(-4,\dfrac{1}{2})$、$F(-1,2)$，以及对应的对称点$(1,-2)$、$(4,-\dfrac{1}{2})$，因此函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在菱形$ABCD$内时，$x$的取值范围是$-4 ＜ x ＜ -1$或$1 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
(1) $k=-2$，$m=-1$；(2) $-4 ＜ x ＜ -1$或$1 ＜ x ＜ 4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，菱形的性质
【点评】
本题结合反比例函数与菱形的性质，考查了反比例函数解析式的确定、利用对称性确定取值范围，解题关键是掌握反比例函数上点的坐标特征和中心对称图形的性质，属于中等难度的中考题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用反比例函数图象上点的坐标特征求k和m的值：反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于k，将已知点E的坐标代入解析式可算出k，再将F点代入已得的解析式就能求出m。对于第二问，利用菱形和反比例函数都关于原点对称的性质，找到反比例函数与菱形交点的对称点，进而确定图象在菱形内的x取值范围。
【解析】
(1) 因为点$E(-4,\dfrac{1}{2})$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，可得：
$k = x · y = (-4) × \dfrac{1}{2} = -2$，
因此反比例函数的表达式为$y = -\dfrac{2}{x}$。
又因为点$F(m,2)$在该反比例函数图象上，代入得：
$2 = \dfrac{-2}{m}$，
解得$m = -1$。
(2) 由于菱形$ABCD$的对称中心是原点$O$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象也关于原点对称，结合图象可知，反比例函数与菱形的交点为$E(-4,\dfrac{1}{2})$、$F(-1,2)$，以及对应的对称点$(1,-2)$、$(4,-\dfrac{1}{2})$，因此函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在菱形$ABCD$内时，$x$的取值范围是$-4 ＜ x ＜ -1$或$1 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
(1) $k=-2$，$m=-1$；(2) $-4 ＜ x ＜ -1$或$1 ＜ x ＜ 4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，菱形的性质
【点评】
本题结合反比例函数与菱形的性质，考查了反比例函数解析式的确定、利用对称性确定取值范围，解题关键是掌握反比例函数上点的坐标特征和中心对称图形的性质，属于中等难度的中考题。
【难度系数】
0.5
19. (12 分) 第十五届全国运动会于 2025 年11 月 9 日在广州开幕. 据某电商平台统计,某款吉祥物公仔从全运会开幕前 10 天开始,其日销售量呈直线上升趋势,全运会期间热度增大,全运会结束后,日销售量与时间成反比例关系. 日销售量 $y$(万件)随时间$x$(天)变化的函数图象如图所示,全运会前为线段 $OA$,全运会期间为线段 $AB$,全运会后为曲线 $BC$.
(1)求线段 $AB$ 和反比例函数的表达式,并写出自变量的取值范围;
(2)已知日销售量不低于 4 万件时为畅销期,则畅销期持续的天数为
(1)求线段 $AB$ 和反比例函数的表达式,并写出自变量的取值范围;
(2)已知日销售量不低于 4 万件时为畅销期,则畅销期持续的天数为
18
天.答案
19. (1)设线段 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,把 $A(10,2)$,$B(22,6)$ 代入,得 $\begin{cases}10k+b=2,\\22k+b=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\b=-\dfrac{4}{3},\end{cases}$ $\therefore$ 线段 $AB$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}(10≤ x≤22)$.设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k'}{x}(k'≠0)$,把 $B(22,6)$ 代入,得 $6=\dfrac{k'}{22}$,解得 $k'=132$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{132}{x}(x＞22)$.
(2)18 解析:把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}$,得 $4=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}$,解得 $x=16$;把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{132}{x}$,得 $\dfrac{132}{x}=4$,解得 $x=33$.由图象可知,当 $y≥4$ 时,$16≤ x≤33$,$\therefore$ 畅销期持续的天数是 18 天.
(2)18 解析:把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}$,得 $4=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}$,解得 $x=16$;把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{132}{x}$,得 $\dfrac{132}{x}=4$,解得 $x=33$.由图象可知,当 $y≥4$ 时,$16≤ x≤33$,$\therefore$ 畅销期持续的天数是 18 天.
解析
【分析】
要解决该问题，首先需利用待定系数法，结合图象上的已知点分别求出线段AB对应的一次函数表达式和曲线BC对应的反比例函数表达式；其次，根据畅销期的条件（日销售量不低于4万件），分别在两段函数中找到y=4对应的x值，通过计算两个x值的差得到畅销期的天数。
【解析】
(1) 求线段AB的表达式：
设线段AB的函数表达式为 $ y = kx + b \ (k ≠ 0) $，
将点 $ A(10,2) $、$ B(22,6) $ 代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}10k + b = 2 \\22k + b = 6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，解得 $ k = \frac{1}{3} $，将 $ k = \frac{1}{3} $ 代入 $ 10k + b = 2 $，解得 $ b = -\frac{4}{3} $，
因此线段AB的表达式为 $ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} $，自变量x的取值范围是 $ 10 ≤ x ≤ 22 $。
求反比例函数的表达式：
设反比例函数的表达式为 $ y = \frac{k'}{x} \ (k' ≠ 0) $，
将点 $ B(22,6) $ 代入，得 $ 6 = \frac{k'}{22} $，解得 $ k' = 132 $，
因此反比例函数的表达式为 $ y = \frac{132}{x} $，自变量x的取值范围是 $ x ＞ 22 $。
(2) 计算畅销期天数：
畅销期要求 $ y ≥ 4 $，分别代入两段函数：
① 在线段AB段，令 $ y = 4 $，代入 $ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} $，得 $ 4 = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} $，解得 $ x = 16 $；
② 在反比例函数段，令 $ y = 4 $，代入 $ y = \frac{132}{x} $，得 $ 4 = \frac{132}{x} $，解得 $ x = 33 $；
由图象可知，当 $ y ≥ 4 $ 时，x的范围是 $ 16 ≤ x ≤ 33 $，因此畅销期持续的天数为 $ 33 - 16 = 18 $ 天。
【答案】
(1) 线段AB的表达式为 $ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} \ (10 ≤ x ≤ 22) $，反比例函数表达式为 $ y = \frac{132}{x} \ (x ＞ 22) $；
(2) 18
【知识点】
一次函数表达式、反比例函数表达式、函数的应用
【点评】
本题结合实际问题考查一次函数与反比例函数的应用，核心是运用待定系数法求函数表达式，再结合函数值求解自变量范围，属于基础应用题，注重对函数基础知识的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，首先需利用待定系数法，结合图象上的已知点分别求出线段AB对应的一次函数表达式和曲线BC对应的反比例函数表达式；其次，根据畅销期的条件（日销售量不低于4万件），分别在两段函数中找到y=4对应的x值，通过计算两个x值的差得到畅销期的天数。
【解析】
(1) 求线段AB的表达式：
设线段AB的函数表达式为 $ y = kx + b \ (k ≠ 0) $，
将点 $ A(10,2) $、$ B(22,6) $ 代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}10k + b = 2 \\22k + b = 6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，解得 $ k = \frac{1}{3} $，将 $ k = \frac{1}{3} $ 代入 $ 10k + b = 2 $，解得 $ b = -\frac{4}{3} $，
因此线段AB的表达式为 $ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} $，自变量x的取值范围是 $ 10 ≤ x ≤ 22 $。
求反比例函数的表达式：
设反比例函数的表达式为 $ y = \frac{k'}{x} \ (k' ≠ 0) $，
将点 $ B(22,6) $ 代入，得 $ 6 = \frac{k'}{22} $，解得 $ k' = 132 $，
因此反比例函数的表达式为 $ y = \frac{132}{x} $，自变量x的取值范围是 $ x ＞ 22 $。
(2) 计算畅销期天数：
畅销期要求 $ y ≥ 4 $，分别代入两段函数：
① 在线段AB段，令 $ y = 4 $，代入 $ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} $，得 $ 4 = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} $，解得 $ x = 16 $；
② 在反比例函数段，令 $ y = 4 $，代入 $ y = \frac{132}{x} $，得 $ 4 = \frac{132}{x} $，解得 $ x = 33 $；
由图象可知，当 $ y ≥ 4 $ 时，x的范围是 $ 16 ≤ x ≤ 33 $，因此畅销期持续的天数为 $ 33 - 16 = 18 $ 天。
【答案】
(1) 线段AB的表达式为 $ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} \ (10 ≤ x ≤ 22) $，反比例函数表达式为 $ y = \frac{132}{x} \ (x ＞ 22) $；
(2) 18
【知识点】
一次函数表达式、反比例函数表达式、函数的应用
【点评】
本题结合实际问题考查一次函数与反比例函数的应用，核心是运用待定系数法求函数表达式，再结合函数值求解自变量范围，属于基础应用题，注重对函数基础知识的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
20. 新考法 (14分)(2025·南京月考)如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试.
(1)填一填.
性质:反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象是中心对称图形,对称中心是原点.
证明:在函数$y=\dfrac{3}{x}$上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$,
则点$A$关于原点对称的点$B$坐标为$( \_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_)$.
$\because\_\_\_\_\_\_$,
$\therefore$ 点$B$也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.
$\because$ 点$A$是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上的任意一点,它关于原点对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,
$\therefore$ 反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象是中心对称图形,对称中心是原点.
(2)性质:反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线$y=x$对称,关于直线$y=-x$对称.
请运用代数推理进行证明.
(3)证明:对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$,当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
[二维码] 视频讲题
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试.
(1)填一填.
性质:反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象是中心对称图形,对称中心是原点.
证明:在函数$y=\dfrac{3}{x}$上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$,
则点$A$关于原点对称的点$B$坐标为$( \_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_)$.
$\because\_\_\_\_\_\_$,
$\therefore$ 点$B$也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.
$\because$ 点$A$是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上的任意一点,它关于原点对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,
$\therefore$ 反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象是中心对称图形,对称中心是原点.
(2)性质:反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线$y=x$对称,关于直线$y=-x$对称.
请运用代数推理进行证明.
(3)证明:对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$,当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
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答案
20. (1)$(-x,-\dfrac{3}{x})$ $y=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac{3}{x}$
(2)在 $y=\dfrac{3}{x}$ 上任取一点 $A(x,\dfrac{3}{x})$,则点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称的点 $B$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{x},x)$.$\because y=\dfrac{3}{\dfrac{3}{x}}=x$,$\therefore$ 点 $B$ 也在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上.$\because$ 点 $A$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上的任意一点,它关于直线 $y=x$ 对称的点都在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称.
在 $y=\dfrac{3}{x}$ 上任取一点 $A(x,\dfrac{3}{x})$,则点 $A$ 关于直线 $y=-x$ 对称的点 $C$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{x},-x)$.$\because y=\dfrac{3}{-\dfrac{3}{x}}=-x$,$\therefore$ 点 $C$ 也在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上.$\because$ 点 $A$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上的任意一点,它关于直线 $y=-x$ 对称的点都在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称.
(3)在 $y=\dfrac{3}{x}$ 上任取两点 $A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$,$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$,$\because \dfrac{3}{x_2}-\dfrac{3}{x_1} = \dfrac{3(x_1-x_2)}{x_1x_2} ＜0$,$\therefore$ 当 $x＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
(2)在 $y=\dfrac{3}{x}$ 上任取一点 $A(x,\dfrac{3}{x})$,则点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称的点 $B$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{x},x)$.$\because y=\dfrac{3}{\dfrac{3}{x}}=x$,$\therefore$ 点 $B$ 也在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上.$\because$ 点 $A$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上的任意一点,它关于直线 $y=x$ 对称的点都在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称.
在 $y=\dfrac{3}{x}$ 上任取一点 $A(x,\dfrac{3}{x})$,则点 $A$ 关于直线 $y=-x$ 对称的点 $C$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{x},-x)$.$\because y=\dfrac{3}{-\dfrac{3}{x}}=-x$,$\therefore$ 点 $C$ 也在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上.$\because$ 点 $A$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上的任意一点,它关于直线 $y=-x$ 对称的点都在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称.
(3)在 $y=\dfrac{3}{x}$ 上任取两点 $A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$,$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$,$\because \dfrac{3}{x_2}-\dfrac{3}{x_1} = \dfrac{3(x_1-x_2)}{x_1x_2} ＜0$,$\therefore$ 当 $x＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
解析
【分析】
本题通过代数推理证明反比例函数的性质，核心逻辑是：证明函数对称性时，任取函数上一点，求出其关于对称中心或对称轴的对称点坐标，验证该点是否满足原函数解析式，若满足则性质成立；证明函数增减性时，在自变量范围内取两个不同点，计算对应函数值的差，根据差的正负判断函数变化趋势。分三小问逐步推导：
(1) 利用关于原点对称的点的坐标特征，写出对称点坐标，再代入原函数验证是否成立；
(2) 分别利用关于直线y=x、y=-x对称的点的坐标特征，求出对称点，代入原函数验证；
(3) 在x＞0范围内任取两个自变量值，计算对应函数值的差，结合自变量大小关系判断差的符号，进而得出结论。
【解析】
(1) 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，因此点A(x, $\frac{3}{x}$)的对称点B坐标为(-x, $-\frac{3}{x}$)；将B的横坐标代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{-x}=-\frac{3}{x}$，与B的纵坐标相等，故点B在函数图象上。
(2) ① 关于直线y=x对称的点，横、纵坐标互换，故点A(x, $\frac{3}{x}$)的对称点B坐标为($\frac{3}{x}$, x)；代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x$，与B的纵坐标相等，故B在图象上，因此图象关于直线y=x对称；
② 关于直线y=-x对称的点，横、纵坐标互换后均取相反数，故点A(x, $\frac{3}{x}$)的对称点C坐标为($-\frac{3}{x}$, -x)；代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=-x$，与C的纵坐标相等，故C在图象上，因此图象关于直线y=-x对称。
(3) 取x＞0时的两点A(x₁, $\frac{3}{x₁}$)、B(x₂, $\frac{3}{x₂}$)，且0＜x₁＜x₂；计算函数值差：$\frac{3}{x₂}-\frac{3}{x₁}=\frac{3(x₁-x₂)}{x₁x₂}$；因0＜x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以差为负，即$\frac{3}{x₂}＜\frac{3}{x₁}$，故当x＞0时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1) (-x, $-\frac{3}{x}$)；$y=\frac{3}{-x}=-\frac{3}{x}$
(2) 证明：任取$y=\frac{3}{x}$上一点A(x, $\frac{3}{x}$)，其关于y=x对称点为($\frac{3}{x}$, x)，代入得$y=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x$，满足解析式，故图象关于y=x对称；其关于y=-x对称点为($-\frac{3}{x}$, -x)，代入得$y=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=-x$，满足解析式，故图象关于y=-x对称。
(3) 证明：取0＜x₁＜x₂，计算得$\frac{3}{x₂}-\frac{3}{x₁}=\frac{3(x₁-x₂)}{x₁x₂}＜0$，故当x＞0时，y随x的增大而减小。
【知识点】
反比例函数性质、中心对称、轴对称
【点评】
本题为新考法题型，要求用代数推理证明反比例函数的对称性与增减性，既考查反比例函数核心性质，又强化代数逻辑推理能力，体现数学严谨性，是对函数性质的深度应用。
【难度系数】
0.5
本题通过代数推理证明反比例函数的性质，核心逻辑是：证明函数对称性时，任取函数上一点，求出其关于对称中心或对称轴的对称点坐标，验证该点是否满足原函数解析式，若满足则性质成立；证明函数增减性时，在自变量范围内取两个不同点，计算对应函数值的差，根据差的正负判断函数变化趋势。分三小问逐步推导：
(1) 利用关于原点对称的点的坐标特征，写出对称点坐标，再代入原函数验证是否成立；
(2) 分别利用关于直线y=x、y=-x对称的点的坐标特征，求出对称点，代入原函数验证；
(3) 在x＞0范围内任取两个自变量值，计算对应函数值的差，结合自变量大小关系判断差的符号，进而得出结论。
【解析】
(1) 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，因此点A(x, $\frac{3}{x}$)的对称点B坐标为(-x, $-\frac{3}{x}$)；将B的横坐标代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{-x}=-\frac{3}{x}$，与B的纵坐标相等，故点B在函数图象上。
(2) ① 关于直线y=x对称的点，横、纵坐标互换，故点A(x, $\frac{3}{x}$)的对称点B坐标为($\frac{3}{x}$, x)；代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x$，与B的纵坐标相等，故B在图象上，因此图象关于直线y=x对称；
② 关于直线y=-x对称的点，横、纵坐标互换后均取相反数，故点A(x, $\frac{3}{x}$)的对称点C坐标为($-\frac{3}{x}$, -x)；代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=-x$，与C的纵坐标相等，故C在图象上，因此图象关于直线y=-x对称。
(3) 取x＞0时的两点A(x₁, $\frac{3}{x₁}$)、B(x₂, $\frac{3}{x₂}$)，且0＜x₁＜x₂；计算函数值差：$\frac{3}{x₂}-\frac{3}{x₁}=\frac{3(x₁-x₂)}{x₁x₂}$；因0＜x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以差为负，即$\frac{3}{x₂}＜\frac{3}{x₁}$，故当x＞0时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1) (-x, $-\frac{3}{x}$)；$y=\frac{3}{-x}=-\frac{3}{x}$
(2) 证明：任取$y=\frac{3}{x}$上一点A(x, $\frac{3}{x}$)，其关于y=x对称点为($\frac{3}{x}$, x)，代入得$y=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x$，满足解析式，故图象关于y=x对称；其关于y=-x对称点为($-\frac{3}{x}$, -x)，代入得$y=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=-x$，满足解析式，故图象关于y=-x对称。
(3) 证明：取0＜x₁＜x₂，计算得$\frac{3}{x₂}-\frac{3}{x₁}=\frac{3(x₁-x₂)}{x₁x₂}＜0$，故当x＞0时，y随x的增大而减小。
【知识点】
反比例函数性质、中心对称、轴对称
【点评】
本题为新考法题型，要求用代数推理证明反比例函数的对称性与增减性，既考查反比例函数核心性质，又强化代数逻辑推理能力，体现数学严谨性，是对函数性质的深度应用。
【难度系数】
0.5
