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6.(2024·东台月考)如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 （
A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三条角平分线的交点处
C.$△ ABC$三条高线的交点处
D.$△ ABC$三条边的垂直平分线的交点处
D
）A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三条角平分线的交点处
C.$△ ABC$三条高线的交点处
D.$△ ABC$三条边的垂直平分线的交点处
答案
6.D
7. 如图,$D,E$是$△ ABC$的$BC$边上的两点,$DM,EN$分别垂直平分$AB,AC$,垂足分别为$M,N$.若$∠ DAE=60^{ \circ }$,则$∠ BAC$的度数为
120°
.答案
7.120°
8. 如图,在$△ ABC$中,$BC$边上的垂直平分线$DE$交边$BC$于点$D$,交边$AB$于点$E$. 若$△ EDC$的周长为24,$△ ABC$与四边形$AEDC$的周长之差为12,则线段$DE$的长为
6
.答案
8.6
9. 如图,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE,DF$分别是$△ ABD$和$△ ACD$的高.
求证:$AD$垂直平分$EF$.
求证:$AD$垂直平分$EF$.
答案
9. 证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.
又
∵AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,DE=DF,
∴AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.
又
∵AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,DE=DF,
∴AD垂直平分EF.
10. 如图,$AB=CD$,线段$AC$的垂直平分线与线段$BD$的垂直平分线相交于点$E$.
求证:$∠ ABE=∠ CDE$.
求证:$∠ ABE=∠ CDE$.
答案
10. 证明:如答图,连接AE,CE.
∵AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,{AB=CD,
AE=CE,
BE=DE,
∴△ABE≌△CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE.
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$BC$的垂直平分线$DF$交$△ ABC$的外角平分线$AD$于点$D$,$DE ⊥ AB$于点$E$.求证:$BE-AC=AE$.
答案
11. 证明:如答图,过点D作DG⊥CA于点G,连接DC,DB.
∵AD是△ABC的外角平分线,DE⊥AB,DG⊥CA,
∴∠DAE=∠DAG,∠AED=∠AGD,又AD=AD,
∴△ADE≌△ADG(AAS),
∴DE=DG,AE=AG.
∵DF垂直平分BC,
∴DC=DB,
∴Rt△CDG≌Rt△BDE(HL),
∴BE=CG,
∴BE-AC=CG-AC=AG=AE.
