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三、解答题
11. 已知函数$y=(2m+1)x+m-3.$
（1）若该函数的图象是经过原点的直线，求$m$的值；
（2）若这个函数是一次函数，且$y$随着$x$的增大而减小，求$m$的取值范围.
11. 已知函数$y=(2m+1)x+m-3.$
（1）若该函数的图象是经过原点的直线，求$m$的值；
（2）若这个函数是一次函数，且$y$随着$x$的增大而减小，求$m$的取值范围.
答案
11. (1) $m=3$ (2) $m＜-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题围绕一次函数的基础性质设置问题，可按小问逐个突破：
（1）函数图象是过原点的直线，说明原点$(0,0)$满足函数解析式，同时该函数为一次函数（直线对应一次函数，一次项系数不能为0），将原点坐标代入解析式求解，再验证一次项系数即可得到m的值；
（2）一次函数$y=kx+b(k≠0)$的增减性由一次项系数$k$决定：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，本题中一次项系数为$2m+1$，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）已知函数$y=(2m+1)x+m-3$的图象是经过原点的直线，因此原点$(0,0)$在函数图象上，且一次项系数$2m+1≠0$。
将$x=0$，$y=0$代入函数解析式得：
$0=(2m+1)×0 + m-3$
解得$m=3$。
此时$2m+1=2×3+1=7≠0$，符合一次函数的要求，因此$m=3$。
（2）已知该函数是一次函数，且$y$随$x$的增大而减小，因此一次项系数小于0，即：
$2m+1＜0$
移项得$2m＜-1$，
两边同时除以2得$m＜-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
（1）$m=3$；（2）$m＜-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的性质；正比例函数的特征；解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，核心是掌握一次项系数和函数增减性的对应关系、过原点的一次函数的特征，计算难度较低，熟练记忆相关性质即可得分。
【难度系数】
0.8
本题围绕一次函数的基础性质设置问题，可按小问逐个突破：
（1）函数图象是过原点的直线，说明原点$(0,0)$满足函数解析式，同时该函数为一次函数（直线对应一次函数，一次项系数不能为0），将原点坐标代入解析式求解，再验证一次项系数即可得到m的值；
（2）一次函数$y=kx+b(k≠0)$的增减性由一次项系数$k$决定：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，本题中一次项系数为$2m+1$，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）已知函数$y=(2m+1)x+m-3$的图象是经过原点的直线，因此原点$(0,0)$在函数图象上，且一次项系数$2m+1≠0$。
将$x=0$，$y=0$代入函数解析式得：
$0=(2m+1)×0 + m-3$
解得$m=3$。
此时$2m+1=2×3+1=7≠0$，符合一次函数的要求，因此$m=3$。
（2）已知该函数是一次函数，且$y$随$x$的增大而减小，因此一次项系数小于0，即：
$2m+1＜0$
移项得$2m＜-1$，
两边同时除以2得$m＜-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
（1）$m=3$；（2）$m＜-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的性质；正比例函数的特征；解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，核心是掌握一次项系数和函数增减性的对应关系、过原点的一次函数的特征，计算难度较低，熟练记忆相关性质即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 已知一次函数$y=kx+3$的图象经过点$(1,4)$.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求关于$x$的不等式$kx+3≤6$的解集.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求关于$x$的不等式$kx+3≤6$的解集.
答案
12. (1) $y=x+3$ (2) $x≤3$
解析
【分析】
（1）求一次函数解析式时，已知解析式中只有系数k未知，根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点(1,4)代入y=kx+3，可得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值即可确定解析式。
（2）将第（1）问求出的k值代入不等式kx+3≤6，按照解一元一次不等式的步骤，移项、化简后即可求出解集，本题k为正数，不等号方向无需改变。
【解析】
（1）把点(1,4)代入一次函数解析式$y=kx+3$，得：
$4 = k×1 + 3$
解得$k=1$
因此这个一次函数的解析式为$y=x+3$。
（2）把$k=1$代入不等式$kx+3≤6$，得：
$x+3≤6$
移项计算得$x≤6-3$
解得$x≤3$
即不等式的解集为$x≤3$。
【答案】
(1) $y=x+3$；(2) $x≤3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的基础应用与一元一次不等式的解法，熟练掌握待定系数法和不等式求解步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
（1）求一次函数解析式时，已知解析式中只有系数k未知，根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点(1,4)代入y=kx+3，可得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值即可确定解析式。
（2）将第（1）问求出的k值代入不等式kx+3≤6，按照解一元一次不等式的步骤，移项、化简后即可求出解集，本题k为正数，不等号方向无需改变。
【解析】
（1）把点(1,4)代入一次函数解析式$y=kx+3$，得：
$4 = k×1 + 3$
解得$k=1$
因此这个一次函数的解析式为$y=x+3$。
（2）把$k=1$代入不等式$kx+3≤6$，得：
$x+3≤6$
移项计算得$x≤6-3$
解得$x≤3$
即不等式的解集为$x≤3$。
【答案】
(1) $y=x+3$；(2) $x≤3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的基础应用与一元一次不等式的解法，熟练掌握待定系数法和不等式求解步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
13. 某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2 000～5 000 kg(含2 000 kg和5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：
方案 A：每千克5.8元，由基地免费送货.
方案 B：每千克5元，客户需支付运费2 000元.
(1)请分别写出按方案 A、方案 B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；
(2)求购买量x在什么范围时，选用方案 A比方案 B付款少；
(3)某水果批发商计划用20 000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案.
方案 A：每千克5.8元，由基地免费送货.
方案 B：每千克5元，客户需支付运费2 000元.
(1)请分别写出按方案 A、方案 B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；
(2)求购买量x在什么范围时，选用方案 A比方案 B付款少；
(3)某水果批发商计划用20 000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案.
答案
13. 解：(1) 方案A：函数表达式为$y=5.8x$；方案B：函数表达式为$y=5x+2000$.
(2) 由题意得：$5.8x＜5x+2000$，解得：$x＜2500$，则当购买量$x$的范围是$2000≤x＜2500$时，选用方案A比方案B付款少.
(3) 他应选择方案B. 理由为：方案A的苹果数量为$20000÷5.8≈3448$(kg)；方案B的苹果数量为$(20000-2000)÷5=3600$(kg)，$\because 3600＞3448$，$\therefore$方案B买的苹果多.
(2) 由题意得：$5.8x＜5x+2000$，解得：$x＜2500$，则当购买量$x$的范围是$2000≤x＜2500$时，选用方案A比方案B付款少.
(3) 他应选择方案B. 理由为：方案A的苹果数量为$20000÷5.8≈3448$(kg)；方案B的苹果数量为$(20000-2000)÷5=3600$(kg)，$\because 3600＞3448$，$\therefore$方案B买的苹果多.
解析
【分析】
(1) 写函数表达式需紧扣两个方案的收费规则：方案A无额外运费，应付款=苹果单价×购买量，直接代入数值即可；方案B需额外支付固定运费2000元，应付款=苹果单价×购买量+固定运费，结合题目限定的购买量范围$2000≤x≤5000$就能列出对应函数式。
(2) 要找方案A比方案B付款少的范围，本质是让方案A的应付款小于方案B的应付款，据此列一元一次不等式求解，再结合购买量的有效区间调整结果即可。
(3) 已知总付款为20000元，分别把$y=20000$代入两个方案的函数表达式，求出对应的购买量，选择购买量更大的方案即可。
【解析】
(1) 方案A：每千克售价5.8元，无送货费用，因此应付款与购买量的函数表达式为：
$y=5.8x$（$2000≤x≤5000$）
方案B：每千克售价5元，需额外支付运费2000元，因此应付款与购买量的函数表达式为：
$y=5x+2000$（$2000≤x≤5000$）
(2) 由题意，方案A比方案B付款少，可列不等式：
$5.8x ＜ 5x + 2000$
移项合并同类项得：$0.8x ＜ 2000$
解得：$x ＜ 2500$
结合购买量的范围$2000≤x≤5000$，最终得$2000≤x＜2500$。
(3) 分别计算20000元可购买的苹果重量：
方案A：令$y=20000$，得$x=20000÷5.8≈3448\ \mathrm{kg}$
方案B：令$y=20000$，得$5x+2000=20000$，解得$x=(20000-2000)÷5=3600\ \mathrm{kg}$
$\because 3600＞3448$，$\therefore$方案B可购买的苹果更多。
【答案】
(1) 方案A：$y=5.8x$（$2000≤x≤5000$）；方案B：$y=5x+2000$（$2000≤x≤5000$）
(2) $2000≤x＜2500$
(3) 方案B
【知识点】
一次函数应用，一元一次不等式应用，最优方案选择
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与不等式的应用，解题时要紧扣收费规则列式，同时不能忽略题目给出的自变量取值范围，避免因遗漏限制条件出错，计算时需细心保证结果准确。
【难度系数】
0.7
(1) 写函数表达式需紧扣两个方案的收费规则：方案A无额外运费，应付款=苹果单价×购买量，直接代入数值即可；方案B需额外支付固定运费2000元，应付款=苹果单价×购买量+固定运费，结合题目限定的购买量范围$2000≤x≤5000$就能列出对应函数式。
(2) 要找方案A比方案B付款少的范围，本质是让方案A的应付款小于方案B的应付款，据此列一元一次不等式求解，再结合购买量的有效区间调整结果即可。
(3) 已知总付款为20000元，分别把$y=20000$代入两个方案的函数表达式，求出对应的购买量，选择购买量更大的方案即可。
【解析】
(1) 方案A：每千克售价5.8元，无送货费用，因此应付款与购买量的函数表达式为：
$y=5.8x$（$2000≤x≤5000$）
方案B：每千克售价5元，需额外支付运费2000元，因此应付款与购买量的函数表达式为：
$y=5x+2000$（$2000≤x≤5000$）
(2) 由题意，方案A比方案B付款少，可列不等式：
$5.8x ＜ 5x + 2000$
移项合并同类项得：$0.8x ＜ 2000$
解得：$x ＜ 2500$
结合购买量的范围$2000≤x≤5000$，最终得$2000≤x＜2500$。
(3) 分别计算20000元可购买的苹果重量：
方案A：令$y=20000$，得$x=20000÷5.8≈3448\ \mathrm{kg}$
方案B：令$y=20000$，得$5x+2000=20000$，解得$x=(20000-2000)÷5=3600\ \mathrm{kg}$
$\because 3600＞3448$，$\therefore$方案B可购买的苹果更多。
【答案】
(1) 方案A：$y=5.8x$（$2000≤x≤5000$）；方案B：$y=5x+2000$（$2000≤x≤5000$）
(2) $2000≤x＜2500$
(3) 方案B
【知识点】
一次函数应用，一元一次不等式应用，最优方案选择
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与不等式的应用，解题时要紧扣收费规则列式，同时不能忽略题目给出的自变量取值范围，避免因遗漏限制条件出错，计算时需细心保证结果准确。
【难度系数】
0.7
