6. 已知一列数：4，7，10，13，16，19，…，若将这列数的第一个数记为$a_1$，第二个数记为$a_2$……第$n$个数记为$a_n$，则有$a_1=3+1$，$a_2=3×2+1$，$a_3=3×3+1$。根据上述等式反映的规律，请写出第四个等式$a_4=$，第$n$个等式$a_n=$。

$3×4+1$；$3n+1$

观察已知给出的前三个数的对应等式：$a_1=3×1+1$，$a_2=3×2+1$，$a_3=3×3+1$，可总结规律：第k个数的表达式为3乘k再加1。将k=4代入规律，可得第四个等式$a_4=3×4+1$；将k替换为n推广到第n个数，可得第n个等式$a_n=3n+1$，代入数列给出的数值验证，完全匹配数列4，7，10，13，16，19…的特征。

1. PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025 m的颗粒物，数0.0000025可以用科学记数法表示为（）。

A.$0.25×10^{-5}$
B.$0.25×10^{-6}$
C.$2.5×10^{-5}$
D.$2.5×10^{-6}$

D

绝对值小于1的数的科学记数法形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n是正整数，n的值等于原数左侧第一个非零数字前所有0的个数。0.0000025的第一个非零数字是2，其前面共有6个0，因此$0.0000025=2.5×10^{-6}$。

2. 下列代数式能用平方差公式计算的是（）。

A.$(x+1)(1+x)$
B.$(\dfrac{1}{2}a+b)(b-\dfrac{1}{2}a)$
C.$(-a+b)(a-b)$
D.$(x^2-y)(x+y^2)$

B

平方差公式的结构特征为：两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数。逐一判断：
A选项两个因式的两项都完全相同，不符合特征，不能用平方差公式计算；
B选项变形为$(b+\dfrac{1}{2}a)(b-\dfrac{1}{2}a)$，相同项是$b$，互为相反数的项是$\dfrac{1}{2}a$和$-\dfrac{1}{2}a$，符合特征，可以用平方差公式计算；
C选项两个因式的两项都互为相反数，不符合特征，不能用平方差公式计算；
D选项不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的项，不符合特征，不能用平方差公式计算。

3. 设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，则$A$等于（ ）。

A.$30ab$
B.$60ab$
C.$15ab$
D.$12ab$

B

根据完全平方公式将等式两边展开：
左边$(5a+3b)^2=25a^2 + 30ab + 9b^2$，
右边$(5a-3b)^2=25a^2 - 30ab + 9b^2$，
代入原式得：$25a^2 + 30ab + 9b^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2 + A$，
移项计算得$A=30ab + 30ab=60ab$。

4. 设$4x^2 + mx + 121$是一个完全平方式，则$m=$______。

$\pm44$

根据完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知$4x^2+mx+121$是完全平方式，可变形为$(2x)^2 + mx + 11^2$，对应公式可得$a=2x$，$b=11$，因此中间项满足$mx=\pm2·2x·11=\pm44x$，对比系数即可得到m的取值。

5. 计算：
(1)$10^{0}+10^{-1}+10^{-2}$。
(2)$(6m^{2}n-6m^{2}n^{2}-3m^{2}) ÷ (-3m^{2})$。
(3)$3a(3a+2b)-(3a+b)^{2}$。
(4)$(x-\dfrac{1}{2})(\dfrac{1}{2}+x)-(x-1)(x+\dfrac{1}{4})$。

(1) $\frac{111}{100}$（或1.11）；(2) $2n^2-2n+1$；(3) $-b^2$；(4) $\frac{3}{4}x$

我们按照七年级整式运算、指数幂的相关运算法则逐小题计算：
(1) 利用零指数幂性质$a^0=1(a≠0)$、负整数指数幂性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算：
原式$=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}=\frac{100+10+1}{100}=\frac{111}{100}$
(2) 利用多项式除以单项式法则，将多项式每一项分别除以$-3m^2$：
原式$=6m^2n÷(-3m^2)-6m^2n^2÷(-3m^2)-3m^2÷(-3m^2)=-2n+2n^2+1=2n^2-2n+1$
(3) 先通过单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再合并同类项：
原式$=9a^2+6ab-(9a^2+6ab+b^2)=9a^2+6ab-9a^2-6ab-b^2=-b^2$
(4) 先用平方差公式计算第一个乘积，再展开第二个多项式乘积，最后去括号合并同类项：
原式$=x^2-(\frac{1}{2})^2-(x^2+\frac{1}{4}x-x-\frac{1}{4})=x^2-\frac{1}{4}-x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}x$

6. 已知$(a-b)^2=16$，$ab=24$，求$\frac{1}{2}(a^2+b^2)$的值。

32

本题利用完全平方差公式的变形求解，步骤如下：
1. 根据完全平方差公式可得：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，变形得到$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
2. 将已知条件$(a-b)^2=16$，$ab=24$代入变形后的式子：
$a^2 + b^2 = 16 + 2×24 = 64$
3. 计算目标式子的值：$\frac{1}{2}(a^2+b^2) = \frac{1}{2} × 64 = 32$

7. 已知$a+b=6$，$ab=5$，求$(a-b)^2$的值。

16

本题可利用完全平方公式的变形代入求解，步骤如下：
1. 根据完全平方公式展开可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. 对所求式子做恒等变形：
$(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-4ab=(a+b)^2-4ab$
3. 将已知条件$a+b=6$，$ab=5$代入上式计算：
$(a-b)^2=6^2 - 4×5=36-20=16$