3. 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元。若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了________张。

20

我们用七年级所学的一元一次方程求解，步骤如下：
1. 设未知数：设甲种电影票买了x张，已知两种票共40张，因此乙种电影票买了$(40-x)$张。
2. 根据总花费的等量关系列方程：甲票总费用为$20x$元，乙票总费用为$15(40-x)$元，结合总花费700元可得：
$20x + 15(40-x) = 700$
3. 解方程：
展开括号：$20x + 600 - 15x = 700$
合并同类项：$5x + 600 = 700$
移项计算：$5x = 100$，解得$x=20$

4. 用一根绳子环绕一个圆柱形油桶。若环绕油桶3周，则绳子还多4尺（1尺$=\frac{1}{3}$米）；若环绕油桶4周，则绳子少3尺。这根绳子有多长？环绕油桶一周需要多少尺？

这根绳子长25尺，环绕油桶一周需要7尺。

本题利用绳子总长度不变的等量关系，用一元一次方程求解，步骤如下：
1. 设环绕油桶一周需要$ x $尺。
2. 环绕油桶3周还多4尺时，绳长可表示为$ 3x+4 $尺；环绕油桶4周少3尺时，绳长可表示为$ 4x-3 $尺，据此列方程：
$ 3x + 4 = 4x - 3 $
3. 解方程：移项可得$ x = 7 $。
4. 代入计算绳长：将$ x=7 $代入$ 3x+4 $，得绳长为$ 3×7 + 4 = 25 $尺，验证结果符合题意。

5. 已知某电脑公司有甲、乙、丙三种型号的电脑，其价格分别为甲型每台6000元，乙型每台4000元，丙型每台2500元。某中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台。请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。

共有2种不同的购买方案：
方案一：购进甲型电脑3台，丙型电脑33台；
方案二：购进乙型电脑7台，丙型电脑29台。

本题属于一元一次方程的方案类实际应用题，由于要求购进其中两种不同型号的电脑，因此分三种组合情况逐一验证：
1. 情况1：购进甲、乙两种型号电脑
设购进甲型电脑x台，则购进乙型电脑(36-x)台，根据总费用列方程：
6000x + 4000(36 - x) = 100500
化简得：2000x = -43500，解得x=-21.75，台数不能为负数，该方案不符合实际，舍去。
2. 情况2：购进甲、丙两种型号电脑
设购进甲型电脑y台，则购进丙型电脑(36-y)台，根据总费用列方程：
6000y + 2500(36 - y) = 100500
化简得：3500y = 10500，解得y=3，此时丙型电脑数量为36-3=33台，均为正整数，符合实际要求。
3. 情况3：购进乙、丙两种型号电脑
设购进乙型电脑z台，则购进丙型电脑(36-z)台，根据总费用列方程：
4000z + 2500(36 - z) = 100500
化简得：1500z = 10500，解得z=7，此时丙型电脑数量为36-7=29台，均为正整数，符合实际要求。
综上共有2种可行的购买方案。

1. 下列计算正确的是（）。

A.$ a^{3}· a^{2}=a^{6} $
B.$ a^{2}+a^{4}=2a^{2} $
C.$ (a^{3})^{2}=a^{6} $
D.$ 3a^{2}=a^{6} $

C

我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据同底数幂乘法法则，$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5≠a^6$，计算错误。
2. 选项B：$a^2$和$a^4$不是同类项，不能合并，计算错误。
3. 选项C：根据幂的乘方法则，$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$，计算正确。
4. 选项D：$3a^2$表示$3×a^2$，和$a^6$不相等，等式不成立。
综上只有C选项计算正确。

2. 下列式子计算正确的是（）。

A.$(-x)^{3}(xy)^{2}=-x^{4}y^{2}$
B.$(a-b)^{2}(b-a)=-(b-a)^{3}$
C.$(x+2)(3x-2)=3x^{2}-4$
D.$(x-1)(x+3)=x^{2}+2x-3$

D

逐个验证选项：
1. 计算A选项：$(-x)^3(xy)^2 = (-x^3)(x^2y^2) = -x^{5}y^2$，与给出结果不符，A错误。
2. 计算B选项：$(a-b)^2=(b-a)^2$，因此原式$=(b-a)^2 · (b-a)=(b-a)^3$，与给出结果不符，B错误。
3. 计算C选项：按多项式乘多项式法则展开，$(x+2)(3x-2)=3x^2+4x-4$，与给出结果不符，C错误。
4. 计算D选项：展开得$(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$，结果正确。

3. 若$(x+t)(x-6)$的乘积中不含关于$x$的一次项，则$t$的值为（）。

A.0
B.6
C.$-6$
D.$-6$或0

B

先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子：
$(x+t)(x-6)=x^2 -6x + tx -6t = x^2 + (t-6)x -6t$
因为乘积中不含关于$x$的一次项，说明一次项的系数为0，即$t-6=0$，解得$t=6$。

4. 一个多项式与$-8m^2$相乘，积是$16m^3 - 24m^2$。这个多项式是$\underline{\hspace{8cm}}$。

$-2m+3$

根据乘法与除法的互逆关系，所求多项式等于积除以已知因式$-8m^2$，结合多项式除以单项式的运算法则，将被除式的每一项分别除以$-8m^2$，再把所得的商相加计算：
$\begin{aligned}(16m^3 - 24m^2)÷(-8m^2)&=16m^3÷(-8m^2) + (-24m^2)÷(-8m^2)\\&=-2m + 3\end{aligned}$

5. 计算:
(1)$(-x)^{2}(-x)^{3}$。
(2)$(x-2)(x+3)$。
(3)$(-\dfrac{1}{2}ab)(\dfrac{2}{3}ab^{2}-2ab+\dfrac{4}{3}b)$。
(4)$(-0.125)^{10}× 8^{11}$。

(1) $-x^5$；(2) $x^2+x-6$；(3) $-\frac{1}{3}a^2b^3 +a^2b^2 -\frac{2}{3}ab^2$；(4) $8$

我们根据整式相关运算法则逐一计算：
(1) 利用同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
原式$=(-x)^{2+3}=(-x)^5=-x^5$
(2) 利用多项式乘多项式的运算法则，展开后合并同类项：
原式$=x· x + 3· x -2· x -2×3 = x^2 +3x -2x -6 = x^2 +x -6$
(3) 利用单项式乘多项式的运算法则，用单项式乘多项式的每一项后再相加：
原式$=(-\frac{1}{2}ab)· \frac{2}{3}ab^2 + (-\frac{1}{2}ab)· (-2ab) + (-\frac{1}{2}ab)· \frac{4}{3}b$
$= -\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(4) 利用积的乘方的逆运算$a^n b^n=(ab)^n$简化计算：
原式$=(-0.125)^{10} × 8^{10} × 8 = (-0.125×8)^{10} ×8 = (-1)^{10}×8 = 8$