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6. 某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如表. 则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）
A.40，41
B.41，42
C.42，43
D.41，41
A.40，41
B.41，42
C.42，43
D.41，41
答案
D
解析
根据众数定义，出现次数最多的数为众数，尺码41的购买数量为4，是所有尺码中数量最多的，因此众数是41。
总共有11个数据，将数据从小到大排序后，中位数是第$\frac{11+1}{2}=6$个数据：前2个数据为40，接下来4个数据为41，累计到第6个数据为41，因此中位数是41。
总共有11个数据，将数据从小到大排序后，中位数是第$\frac{11+1}{2}=6$个数据：前2个数据为40，接下来4个数据为41，累计到第6个数据为41，因此中位数是41。
7. 甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是$s^2_{甲}=1.2$，$s^2_{乙}=0.6$，$s^2_{丙}=2$，$s^2_{丁}=0.9$，则射击成绩最稳定的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
根据方差的性质：平均成绩相同时，方差越小，数据的波动越小，射击成绩越稳定。将四人的方差比较大小可得：$s^2_{乙}=0.6 ＜ s^2_{丁}=0.9 ＜ s^2_{甲}=1.2 ＜ s^2_{丙}=2$，乙的方差最小，因此射击成绩最稳定的是乙。
8. 小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：$s^2 = \frac{(5-\bar{x})^2 + (2-\bar{x})^2 + (5-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2}{4}$。关于这组数据，下列说法正确的是（）
①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④方差是2。
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④方差是2。
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案
B
解析
由方差算式可知这组数据为5、2、5、4。
①计算平均数：$\bar{x}=\frac{5+2+5+4}{4}=4$，①正确；
②将数据从小到大排序为2、4、5、5，中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$，②错误；
③数据中5出现2次，出现次数最多，众数是5，③正确；
④代入$\bar{x}=4$计算方差：$s^2=\frac{(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2}{4}=\frac{6}{4}=1.5$，④错误。
因此正确的是①③。
①计算平均数：$\bar{x}=\frac{5+2+5+4}{4}=4$，①正确；
②将数据从小到大排序为2、4、5、5，中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$，②错误；
③数据中5出现2次，出现次数最多，众数是5，③正确；
④代入$\bar{x}=4$计算方差：$s^2=\frac{(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2}{4}=\frac{6}{4}=1.5$，④错误。
因此正确的是①③。
9. 为迎接学期末的体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，下表记录了他某一周每天做引体向上的个数，其中有三天的个数被墨汁覆盖了，如果这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的中位数是。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：
∵ 这组数据的平均数是12，共7个数据，
∴ 7个数据的总和为 $12×7=84$。
已知的4个数据之和为 $11+12+13+12=48$，
∴ 被墨汁覆盖的三个数的和为 $84-48=36$。
∵ 这组数据的唯一众数是13，现有数据中12已经出现2次，
∴ 13至少要出现3次，即被覆盖的三个数中至少包含2个13。
可得第三个被覆盖的数为 $36-13-13=10$，
将全部7个数据从小到大排列为：10，11，12，12，13，13，13。
7个数据的中位数是排序后第4个数据，即12。
∵ 这组数据的平均数是12，共7个数据，
∴ 7个数据的总和为 $12×7=84$。
已知的4个数据之和为 $11+12+13+12=48$，
∴ 被墨汁覆盖的三个数的和为 $84-48=36$。
∵ 这组数据的唯一众数是13，现有数据中12已经出现2次，
∴ 13至少要出现3次，即被覆盖的三个数中至少包含2个13。
可得第三个被覆盖的数为 $36-13-13=10$，
将全部7个数据从小到大排列为：10，11，12，12，13，13，13。
7个数据的中位数是排序后第4个数据，即12。
10. 某小组8名学生的数学考试成绩(单位：分)分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布. 若按照以下分组方式：第一组{87，88，90，91，92，92}，第二组{96，98}，则组内离差平方和为.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
解：
计算第一组的平均数：
$\overline{x}_1 = \frac{87+88+90+91+92+92}{6} = 90$
第一组的离差平方和：
$S_1^2 = (87-90)^2 + (88-90)^2 + (90-90)^2 + (91-90)^2 + (92-90)^2 + (92-90)^2$
$= 9 + 4 + 0 + 1 + 4 + 4 = 22$
计算第二组的平均数：
$\overline{x}_2 = \frac{96+98}{2} = 97$
第二组的离差平方和：
$S_2^2 = (96-97)^2 + (98-97)^2 = 1 + 1 = 2$
总的组内离差平方和为 $S_1^2 + S_2^2 = 22 + 2 = 24$
最终
计算第一组的平均数：
$\overline{x}_1 = \frac{87+88+90+91+92+92}{6} = 90$
第一组的离差平方和：
$S_1^2 = (87-90)^2 + (88-90)^2 + (90-90)^2 + (91-90)^2 + (92-90)^2 + (92-90)^2$
$= 9 + 4 + 0 + 1 + 4 + 4 = 22$
计算第二组的平均数：
$\overline{x}_2 = \frac{96+98}{2} = 97$
第二组的离差平方和：
$S_2^2 = (96-97)^2 + (98-97)^2 = 1 + 1 = 2$
总的组内离差平方和为 $S_1^2 + S_2^2 = 22 + 2 = 24$
最终
11. 若数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是 ()
A.4
B.-1
C.0
D.9
A.4
B.-1
C.0
D.9
答案
C
解析
这组数据的平均数为$\frac{2+6+3+5+x}{5}=\frac{16+x}{5}$，共5个数据，中位数是排序后第3位的数，逐个验证选项：
1. 当$x=4$时，数据排序为2,3,4,5,6，中位数为4，平均数为$\frac{16+4}{5}=4$，二者相等，符合条件；
2. 当$x=-1$时，数据排序为-1,2,3,5,6，中位数为3，平均数为$\frac{16-1}{5}=3$，二者相等，符合条件；
3. 当$x=0$时，数据排序为0,2,3,5,6，中位数为3，平均数为$\frac{16+0}{5}=3.2$，二者不相等，不符合条件；
4. 当$x=9$时，数据排序为2,3,5,6,9，中位数为5，平均数为$\frac{16+9}{5}=5$，二者相等，符合条件。
因此实数x的值不可能是0。
1. 当$x=4$时，数据排序为2,3,4,5,6，中位数为4，平均数为$\frac{16+4}{5}=4$，二者相等，符合条件；
2. 当$x=-1$时，数据排序为-1,2,3,5,6，中位数为3，平均数为$\frac{16-1}{5}=3$，二者相等，符合条件；
3. 当$x=0$时，数据排序为0,2,3,5,6，中位数为3，平均数为$\frac{16+0}{5}=3.2$，二者不相等，不符合条件；
4. 当$x=9$时，数据排序为2,3,5,6,9，中位数为5，平均数为$\frac{16+9}{5}=5$，二者相等，符合条件。
因此实数x的值不可能是0。
12. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12. 要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是 ()
A.{7}和{9，12，13，15}
B.{7，9}和{12，13，15}
C.{7，9，12}和{13，15}
D.{7，9，12，13}和{15}
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是 ()
A.{7}和{9，12，13，15}
B.{7，9}和{12，13，15}
C.{7，9，12}和{13，15}
D.{7，9，12，13}和{15}
答案
B
解析
先将5名同学的引体向上个数排序为7，9，12，13，15。根据表格中4种分法的组内离差平方和，数值分别为18.8、6.7、14.7、22.8，其中最小的组内离差平方和为6.7。验证对应分组：{7,9}的平均数为8，离差平方和为$(7-8)^2+(9-8)^2=2$；{12,13,15}的平均数为$\frac{40}{3}$，离差平方和约为4.7，二者总和为6.7，符合组内离差平方和最小原则，对应选项B。
