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1. $-\sqrt{5}$不是 （
A.负数
B.无理数
C.有理数
D.实数
C
）A.负数
B.无理数
C.有理数
D.实数
答案
1.C
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确题目要求是选出“-√5不是”的选项，解题核心是回忆各类数的定义，依次判断-√5的所属类别即可。首先梳理相关定义：①负数指小于0的数；②有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；③无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等；④实数是有理数和无理数的统称。接下来逐一对应判断每个选项就能得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 因为-√5＜0，所以-√5是负数，不符合“不是”的要求，排除A；
B. √5是开方开不尽的数，属于无限不循环小数即无理数，因此-√5也是无理数，不符合“不是”的要求，排除B；
C. 有理数是整数和分数的统称，-√5是无理数，因此它不是有理数，符合题意；
D. 实数包含有理数和无理数，所以-√5是实数，不符合“不是”的要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
1.实数的分类
2.无理数的定义
3.有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟练掌握各类数的定义和分类标准，尤其要注意开方开不尽的数属于无理数这一常见考点。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先明确题目要求是选出“-√5不是”的选项，解题核心是回忆各类数的定义，依次判断-√5的所属类别即可。首先梳理相关定义：①负数指小于0的数；②有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；③无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等；④实数是有理数和无理数的统称。接下来逐一对应判断每个选项就能得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 因为-√5＜0，所以-√5是负数，不符合“不是”的要求，排除A；
B. √5是开方开不尽的数，属于无限不循环小数即无理数，因此-√5也是无理数，不符合“不是”的要求，排除B；
C. 有理数是整数和分数的统称，-√5是无理数，因此它不是有理数，符合题意；
D. 实数包含有理数和无理数，所以-√5是实数，不符合“不是”的要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
1.实数的分类
2.无理数的定义
3.有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟练掌握各类数的定义和分类标准，尤其要注意开方开不尽的数属于无理数这一常见考点。
【难度系数】
0.9
2. 若$ac^{2}＜bc^{2}$，则下列各不等式不成立的是 （
A.$a ＜ b$
B.$a - 1 ＜ b - 1$
C.$2a ＞ 2b$
D.$-a ＞ -b$
C
）A.$a ＜ b$
B.$a - 1 ＜ b - 1$
C.$2a ＞ 2b$
D.$-a ＞ -b$
答案
2.C
解析
【分析】
首先从已知条件$ac^2 ＜ bc^2$入手，先分析$c^2$的取值：若$c=0$，则$ac^2=bc^2=0$，与已知矛盾，因此$c^2＞0$。根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，可先推出$a ＜ b$，再逐一验证每个选项的不等式是否符合不等式的基本性质，找到不成立的选项即可。
【解析】
第一步：判断$c^2$的符号
已知$ac^2 ＜ bc^2$，若$c=0$，则$ac^2=bc^2=0$，不满足小于关系，因此$c ≠ 0$，可得$c^2 ＞ 0$。
第二步：推导$a$和$b$的大小关系
不等式$ac^2 ＜ bc^2$两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，得$a ＜ b$。
第三步：逐一判断选项
选项A：$a ＜ b$，与推导结果一致，成立；
选项B：不等式$a ＜ b$两边同时减去1，不等号方向不变，可得$a-1 ＜ b-1$，成立；
选项C：不等式$a ＜ b$两边同时乘正数2，不等号方向不变，可得$2a ＜ 2b$，与$2a＞2b$不符，不成立；
选项D：不等式$a ＜ b$两边同时乘负数-1，不等号方向改变，可得$-a ＞ -b$，成立。
因此不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质，平方的非负性
【点评】
本题核心是利用隐含条件$c^2＞0$先确定$a$、$b$的大小关系，再结合不等式的基本性质判断变形后的不等式是否正确，易错点是忽略不等式两边乘负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件$ac^2 ＜ bc^2$入手，先分析$c^2$的取值：若$c=0$，则$ac^2=bc^2=0$，与已知矛盾，因此$c^2＞0$。根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，可先推出$a ＜ b$，再逐一验证每个选项的不等式是否符合不等式的基本性质，找到不成立的选项即可。
【解析】
第一步：判断$c^2$的符号
已知$ac^2 ＜ bc^2$，若$c=0$，则$ac^2=bc^2=0$，不满足小于关系，因此$c ≠ 0$，可得$c^2 ＞ 0$。
第二步：推导$a$和$b$的大小关系
不等式$ac^2 ＜ bc^2$两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，得$a ＜ b$。
第三步：逐一判断选项
选项A：$a ＜ b$，与推导结果一致，成立；
选项B：不等式$a ＜ b$两边同时减去1，不等号方向不变，可得$a-1 ＜ b-1$，成立；
选项C：不等式$a ＜ b$两边同时乘正数2，不等号方向不变，可得$2a ＜ 2b$，与$2a＞2b$不符，不成立；
选项D：不等式$a ＜ b$两边同时乘负数-1，不等号方向改变，可得$-a ＞ -b$，成立。
因此不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质，平方的非负性
【点评】
本题核心是利用隐含条件$c^2＞0$先确定$a$、$b$的大小关系，再结合不等式的基本性质判断变形后的不等式是否正确，易错点是忽略不等式两边乘负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.8
3. 实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}$ 的结果是 （$\boldsymbol{}$）
A.0
B.$-2b$
C.$-2a$
D.$2(b - a)$
A.0
B.$-2b$
C.$-2a$
D.$2(b - a)$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定实数a、b的取值范围，判断a、b以及a-b的正负性；再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子；最后根据绝对值的性质去绝对值，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b ＜ 1$，因此$a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}=|a| - |b| - |a - b|$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值得：
$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$
代入式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-a - b - (b - a)\\&=-a - b - b + a\\&=-2b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题解题的核心是先结合数轴准确判断各代数式的正负性，再利用二次根式和绝对值的性质逐步化简，去绝对值时要注意符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴，确定实数a、b的取值范围，判断a、b以及a-b的正负性；再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子；最后根据绝对值的性质去绝对值，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b ＜ 1$，因此$a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}=|a| - |b| - |a - b|$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值得：
$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$
代入式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-a - b - (b - a)\\&=-a - b - b + a\\&=-2b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题解题的核心是先结合数轴准确判断各代数式的正负性，再利用二次根式和绝对值的性质逐步化简，去绝对值时要注意符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
4. 定义新运算“$\bigotimes$”，规定$a\bigotimes b = a - 2b$，则关于$x$的不等式$x\bigotimes -2 ＞ 3$的解集为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
4.$x＞-1$
解析
【分析】
解题首先要明确新运算“$\bigotimes$”的规则：两个数做该运算时，结果等于第一个数减去第二个数的2倍。第一步先把不等式里的$x\bigotimes -2$按规则转化为常规代数式，对应规则中$a=x$、$b=-2$，代入后就能得到常规的一元一次不等式；第二步按一元一次不等式的解法步骤求解，即可得到解集。
【解析】
根据新运算规则$a\bigotimes b = a - 2b$，可得：
$x\bigotimes (-2)=x - 2×(-2)=x + 4$
原不等式可转化为：
$x + 4 ＞ 3$
移项得：$x ＞ 3 - 4$
计算得：$x ＞ -1$
【答案】
$x＞-1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为常规的代数式运算，计算时要注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确新运算“$\bigotimes$”的规则：两个数做该运算时，结果等于第一个数减去第二个数的2倍。第一步先把不等式里的$x\bigotimes -2$按规则转化为常规代数式，对应规则中$a=x$、$b=-2$，代入后就能得到常规的一元一次不等式；第二步按一元一次不等式的解法步骤求解，即可得到解集。
【解析】
根据新运算规则$a\bigotimes b = a - 2b$，可得：
$x\bigotimes (-2)=x - 2×(-2)=x + 4$
原不等式可转化为：
$x + 4 ＞ 3$
移项得：$x ＞ 3 - 4$
计算得：$x ＞ -1$
【答案】
$x＞-1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为常规的代数式运算，计算时要注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 若大正方体的体积为$27\ \mathrm{cm}^3$，小正方体的体积为$1\ \mathrm{cm}^3$，将它们按如图所示的方式叠放在一起，并放在地面上，则这个物体的最高点离地面的距离是________ cm.
答案
5.4
解析
【分析】
要计算该物体最高点离地面的距离，首先明确该距离为大正方体棱长与小正方体棱长之和，因为小正方体竖直叠放在大正方体上方。我们可以借助正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长），通过求体积的立方根得到两个正方体的棱长，再相加即可得到最终结果。
【解析】
1. 求大正方体的棱长：
设大正方体的棱长为$a_1$，已知大正方体体积$V_1=27\ \mathrm{cm}^3$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得$a_1=\sqrt[3]{V_1}=\sqrt[3]{27}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 求小正方体的棱长：
设小正方体的棱长为$a_2$，已知小正方体体积$V_2=1\ \mathrm{cm}^3$，同理可得$a_2=\sqrt[3]{V_2}=\sqrt[3]{1}=1\ \mathrm{cm}$。
3. 计算最高点离地面的距离：
最高点离地面的高度等于两个正方体棱长之和，即$h=a_1+a_2=3+1=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
立方根的运算，正方体体积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是理解叠放物体的竖直总高度的构成，结合立方根的运算和正方体体积公式即可快速求解，考查学生的基础运算能力和空间认知能力。
【难度系数】
0.85
要计算该物体最高点离地面的距离，首先明确该距离为大正方体棱长与小正方体棱长之和，因为小正方体竖直叠放在大正方体上方。我们可以借助正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长），通过求体积的立方根得到两个正方体的棱长，再相加即可得到最终结果。
【解析】
1. 求大正方体的棱长：
设大正方体的棱长为$a_1$，已知大正方体体积$V_1=27\ \mathrm{cm}^3$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得$a_1=\sqrt[3]{V_1}=\sqrt[3]{27}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 求小正方体的棱长：
设小正方体的棱长为$a_2$，已知小正方体体积$V_2=1\ \mathrm{cm}^3$，同理可得$a_2=\sqrt[3]{V_2}=\sqrt[3]{1}=1\ \mathrm{cm}$。
3. 计算最高点离地面的距离：
最高点离地面的高度等于两个正方体棱长之和，即$h=a_1+a_2=3+1=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
立方根的运算，正方体体积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是理解叠放物体的竖直总高度的构成，结合立方根的运算和正方体体积公式即可快速求解，考查学生的基础运算能力和空间认知能力。
【难度系数】
0.85
6. [新课标·跨学科题]一辆客车在公路上匀速行驶,在其正前方有一面山壁,此时客车与山壁的距离不超过 925 m. 若此时客车鸣笛,经过 5 s 后听到了回声,则此时客车的速度最快约为
(声音在空气中的传播速度约为 340 m/s)
30
m/s.(声音在空气中的传播速度约为 340 m/s)
答案
6.30
解析
【分析】
解题时首先要明确回声场景下的路程关系：客车鸣笛后，声音向山壁传播，同时客车向山壁匀速行驶，5秒后听到回声时，声音传播的总路程与客车5秒行驶的路程之和，刚好等于鸣笛时客车到山壁距离的2倍。题目要求客车的最快速度，已知鸣笛时客车与山壁的距离不超过925m，我们可以设客车速度为未知数，结合距离的上限条件列不等式求解即可。
【解析】
解：设客车的行驶速度为$ v $ m/s。
由题意得，鸣笛时客车与山壁的距离$ s ≤ 925\ \mathrm{m} $，因此$ 2s ≤ 2×925 = 1850\ \mathrm{m} $。
5秒内声音传播的路程：$ s_{\mathrm{声}} = v_{\mathrm{声}}t = 340×5 = 1700\ \mathrm{m} $
5秒内客车行驶的路程：$ s_{\mathrm{车}} = vt = 5v\ \mathrm{m} $
根据回声路程关系可得：$ s_{\mathrm{声}} + s_{\mathrm{车}} = 2s $
代入不等关系得：$ 1700 + 5v ≤ 1850 $
解不等式：
$ 5v ≤ 1850 - 1700 $
$ 5v ≤ 150 $
$ v ≤ 30 $
因此客车的最快速度约为30m/s。
【答案】
30
【知识点】
一元一次不等式的应用，行程问题计算
【点评】
本题是跨学科融合题，结合了回声现象的常识和一元一次不等式的知识，解题的核心是理清声音、客车的路程关系，再结合限制条件列式求解，能有效考查学生跨学科知识运用和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确回声场景下的路程关系：客车鸣笛后，声音向山壁传播，同时客车向山壁匀速行驶，5秒后听到回声时，声音传播的总路程与客车5秒行驶的路程之和，刚好等于鸣笛时客车到山壁距离的2倍。题目要求客车的最快速度，已知鸣笛时客车与山壁的距离不超过925m，我们可以设客车速度为未知数，结合距离的上限条件列不等式求解即可。
【解析】
解：设客车的行驶速度为$ v $ m/s。
由题意得，鸣笛时客车与山壁的距离$ s ≤ 925\ \mathrm{m} $，因此$ 2s ≤ 2×925 = 1850\ \mathrm{m} $。
5秒内声音传播的路程：$ s_{\mathrm{声}} = v_{\mathrm{声}}t = 340×5 = 1700\ \mathrm{m} $
5秒内客车行驶的路程：$ s_{\mathrm{车}} = vt = 5v\ \mathrm{m} $
根据回声路程关系可得：$ s_{\mathrm{声}} + s_{\mathrm{车}} = 2s $
代入不等关系得：$ 1700 + 5v ≤ 1850 $
解不等式：
$ 5v ≤ 1850 - 1700 $
$ 5v ≤ 150 $
$ v ≤ 30 $
因此客车的最快速度约为30m/s。
【答案】
30
【知识点】
一元一次不等式的应用，行程问题计算
【点评】
本题是跨学科融合题，结合了回声现象的常识和一元一次不等式的知识，解题的核心是理清声音、客车的路程关系，再结合限制条件列式求解，能有效考查学生跨学科知识运用和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
7. 为了提高学生互助学习的能力，数学老师准备把班里的学生分成几个学习小组.已知班级学生人数为奇数.如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人.求班里共有多少名学生.
答案
7.解:设准备把学生分成$x$个小组,则班里共有$(5x+4)$名学生.根据题意,得$\begin{cases}(5x+4)-6(x-1)＞0,\\(5x+4)-6(x-1)＜3,\end{cases}$解得$7＜x＜10$.因为$x$为正整数,所以$x=8$或$x=9$.当$x=8$时,$5x+4=44$;当$x=9$时,$5x+4=49$.因为班级学生人数为奇数,所以班里共有49名学生.
解析
【分析】
这是一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设小组数量为未知数，根据第一种分组方案用含未知数的代数式表示总人数；第二步，抓住“每组6人时最后一组有人但不足3人”的条件，明确最后一组人数的范围是大于0且小于3，据此列出一元一次不等式组；第三步，解不等式组得到小组数量的取值范围，结合小组数为正整数、总人数为奇数的限定条件，筛选出符合要求的总人数即可。
【解析】
解：设准备把学生分成$x$个小组，则班里共有$(5x+4)$名学生。
根据题意，最后一组的人数为总人数减去前$(x-1)$组的总人数，其范围大于0且小于3，因此列不等式组：
$\begin{cases}(5x+4)-6(x-1)＞0\\(5x+4)-6(x-1)＜3\end{cases}$
解第一个不等式：$5x+4-6x+6＞0$，化简得$-x+10＞0$，解得$x＜10$；
解第二个不等式：$5x+4-6x+6＜3$，化简得$-x+10＜3$，解得$x＞7$。
因此不等式组的解集为$7＜x＜10$。
因为$x$为正整数，所以$x$的取值为8或9。
当$x=8$时，总人数$5x+4=5×8+4=44$，为偶数，不符合“学生人数为奇数”的条件；
当$x=9$时，总人数$5x+4=5×9+4=49$，为奇数，符合题意。
【答案】
班里共有49名学生
【知识点】
不等式组实际应用；不等式组解法；整数解求解
【点评】
本题是不等式组实际应用的典型题型，解题的关键是将“最后一个小组有人但分到的人数不足3人”这类生活化描述准确转化为数学不等关系，同时要注意结合题目给出的附加限制条件筛选结果，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设小组数量为未知数，根据第一种分组方案用含未知数的代数式表示总人数；第二步，抓住“每组6人时最后一组有人但不足3人”的条件，明确最后一组人数的范围是大于0且小于3，据此列出一元一次不等式组；第三步，解不等式组得到小组数量的取值范围，结合小组数为正整数、总人数为奇数的限定条件，筛选出符合要求的总人数即可。
【解析】
解：设准备把学生分成$x$个小组，则班里共有$(5x+4)$名学生。
根据题意，最后一组的人数为总人数减去前$(x-1)$组的总人数，其范围大于0且小于3，因此列不等式组：
$\begin{cases}(5x+4)-6(x-1)＞0\\(5x+4)-6(x-1)＜3\end{cases}$
解第一个不等式：$5x+4-6x+6＞0$，化简得$-x+10＞0$，解得$x＜10$；
解第二个不等式：$5x+4-6x+6＜3$，化简得$-x+10＜3$，解得$x＞7$。
因此不等式组的解集为$7＜x＜10$。
因为$x$为正整数，所以$x$的取值为8或9。
当$x=8$时，总人数$5x+4=5×8+4=44$，为偶数，不符合“学生人数为奇数”的条件；
当$x=9$时，总人数$5x+4=5×9+4=49$，为奇数，符合题意。
【答案】
班里共有49名学生
【知识点】
不等式组实际应用；不等式组解法；整数解求解
【点评】
本题是不等式组实际应用的典型题型，解题的关键是将“最后一个小组有人但分到的人数不足3人”这类生活化描述准确转化为数学不等关系，同时要注意结合题目给出的附加限制条件筛选结果，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
