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1. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口与折痕的角度为（
A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
C
）。A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题时，我们可以结合折叠的性质和正方形的特征来思考：首先，正方形对折两次后会形成两条互相垂直的折痕，折痕夹角为90°；要剪出正方形，意味着展开后得到的四边形需要满足四条边相等、四个角都是90°的特点。由于经过两次折叠，剪口处的角度展开后会变为原来的2倍，因此我们只需要让展开后对应正方形内角的2倍角度等于90°，就能得到正方形，也可以通过实际动手折叠操作验证结论。
【解析】
解：将正方形纸片对折两次后，两条折痕互相垂直，夹角为90°。
若剪下一个角后展开得到正方形，需满足展开后的四边形四个角均为90°，且四条边长度相等。
设剪口与折痕的夹角为α，由于经过两次折叠，剪口处的角度展开后对应正方形的内角，即$2α=90°$，解得$α=45°$。
因此剪口与折痕的角度为45°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，正方形的判定，角度计算
【点评】
本题结合动手操作考查几何知识，既可以通过逻辑推导得出答案，也可以通过实际折叠剪纸验证结论，能有效锻炼学生的空间想象能力和动手实践能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题时，我们可以结合折叠的性质和正方形的特征来思考：首先，正方形对折两次后会形成两条互相垂直的折痕，折痕夹角为90°；要剪出正方形，意味着展开后得到的四边形需要满足四条边相等、四个角都是90°的特点。由于经过两次折叠，剪口处的角度展开后会变为原来的2倍，因此我们只需要让展开后对应正方形内角的2倍角度等于90°，就能得到正方形，也可以通过实际动手折叠操作验证结论。
【解析】
解：将正方形纸片对折两次后，两条折痕互相垂直，夹角为90°。
若剪下一个角后展开得到正方形，需满足展开后的四边形四个角均为90°，且四条边长度相等。
设剪口与折痕的夹角为α，由于经过两次折叠，剪口处的角度展开后对应正方形的内角，即$2α=90°$，解得$α=45°$。
因此剪口与折痕的角度为45°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，正方形的判定，角度计算
【点评】
本题结合动手操作考查几何知识，既可以通过逻辑推导得出答案，也可以通过实际折叠剪纸验证结论，能有效锻炼学生的空间想象能力和动手实践能力。
【难度系数】
0.7
2. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图2所示的关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（
A.①有一组对角相等
B.②对角线互相垂直
C.③有一组邻边相等
D.④对角线相等
A
）。A.①有一组对角相等
B.②对角线互相垂直
C.③有一组邻边相等
D.④对角线相等
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要明确各类特殊平行四边形的转化逻辑和判定规则：平行四边形本身具备对角相等、对边相等、对角线互相平分的性质，若要转化为更特殊的矩形或菱形，需要添加平行四边形不具备的专属性质；矩形、菱形要转化为正方形，需要添加对方的专属性质。接下来逐个核对每个箭头的添加条件是否符合判定规则即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 平行四边形本身的性质就包含“对角相等”，添加“有一组对角相等”后依然是平行四边形，无法转化为矩形，因此①的条件填写错误，该选项符合题意；
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此②填写“对角线互相垂直”可实现平行四边形到菱形的转化，条件正确，该选项不符合题意；
C. 有一组邻边相等的矩形是正方形，因此③填写“有一组邻边相等”可实现矩形到正方形的转化，条件正确，该选项不符合题意；
D. 对角线相等的菱形是正方形，因此④填写“对角线相等”可实现菱形到正方形的转化，条件正确，该选项不符合题意。
综上，填写错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
特殊平行四边形判定；平行四边形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形之间的转化条件，核心是区分各类图形的性质差异，注意不要把原有图形已经具备的性质当成转化需要添加的条件，理清判定规则即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确各类特殊平行四边形的转化逻辑和判定规则：平行四边形本身具备对角相等、对边相等、对角线互相平分的性质，若要转化为更特殊的矩形或菱形，需要添加平行四边形不具备的专属性质；矩形、菱形要转化为正方形，需要添加对方的专属性质。接下来逐个核对每个箭头的添加条件是否符合判定规则即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 平行四边形本身的性质就包含“对角相等”，添加“有一组对角相等”后依然是平行四边形，无法转化为矩形，因此①的条件填写错误，该选项符合题意；
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此②填写“对角线互相垂直”可实现平行四边形到菱形的转化，条件正确，该选项不符合题意；
C. 有一组邻边相等的矩形是正方形，因此③填写“有一组邻边相等”可实现矩形到正方形的转化，条件正确，该选项不符合题意；
D. 对角线相等的菱形是正方形，因此④填写“对角线相等”可实现菱形到正方形的转化，条件正确，该选项不符合题意。
综上，填写错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
特殊平行四边形判定；平行四边形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形之间的转化条件，核心是区分各类图形的性质差异，注意不要把原有图形已经具备的性质当成转化需要添加的条件，理清判定规则即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
3. 如图3，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则$∠1+∠2+∠3$的度数为（
A.$120°$
B.$135°$
C.$145°$
D.$150°$
B
）.A.$120°$
B.$135°$
C.$145°$
D.$150°$
答案
3.B
解析
【分析】
要计算∠1+∠2+∠3的度数，可结合网格边长相等的特征解题：首先观察∠1和∠3所在的直角三角形，通过证明两三角形全等得到∠1与∠3的和；再判断∠2所在三角形的形状，求出∠2的度数，最后将三个角度相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 观察∠1和∠3所在的两个直角三角形：它们的两条直角边长度分别对应相等，根据全等三角形判定的SAS定理，可证这两个直角三角形全等，因此∠1与∠3互余，即$∠ 1 + ∠ 3 = 90°$。
2. 观察∠2所在的三角形：该三角形是两条直角边相等的等腰直角三角形，因此锐角$∠ 2 = 45°$。
3. 综上，$∠ 1+∠ 2+∠ 3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的常见题型，核心解题思路是利用网格的边长特征构造全等三角形，将分散的角度转化为可直接计算的关系，很好地考察了数形结合和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算∠1+∠2+∠3的度数，可结合网格边长相等的特征解题：首先观察∠1和∠3所在的直角三角形，通过证明两三角形全等得到∠1与∠3的和；再判断∠2所在三角形的形状，求出∠2的度数，最后将三个角度相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 观察∠1和∠3所在的两个直角三角形：它们的两条直角边长度分别对应相等，根据全等三角形判定的SAS定理，可证这两个直角三角形全等，因此∠1与∠3互余，即$∠ 1 + ∠ 3 = 90°$。
2. 观察∠2所在的三角形：该三角形是两条直角边相等的等腰直角三角形，因此锐角$∠ 2 = 45°$。
3. 综上，$∠ 1+∠ 2+∠ 3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的常见题型，核心解题思路是利用网格的边长特征构造全等三角形，将分散的角度转化为可直接计算的关系，很好地考察了数形结合和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
