41. 如图所示,在$□ ABCD$中,$∠ DAB = 60°$,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且$AE = AD$,$CF = CB$.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形.
(2)若去掉已知条件“$∠ DAB = 60°$”,上述结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，$AB=CD$，$AD=BC$。
∵ $∠ DAB=60°$，
∴ $∠ ADE=∠ DAB=60°$，$∠ CBF=∠ DAB=60°$。
又∵ $AE=AD$，$CF=CB$，
∴ $△ ADE$和$△ BCF$均为等边三角形，
∴ $ED=AD$，$BF=CB$。
∵ $AD=BC$，
∴ $ED=BF$，
∴ $ED+DC=BF+AB$，即$EC=AF$。
又∵ $EC// AF$（$AB// CD$，点$E$在$CD$延长线，点$F$在$AB$延长线），
∴ 四边形$AFCE$一组对边平行且相等，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形。
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(2) 解：上述结论仍成立，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，$AB=CD$，$AD=BC$，
∴ $∠ ADE=∠ DAB$，$∠ CBF=∠ DAB$，即$∠ ADE=∠ CBF$。
∵ $AE=AD$，$CF=CB$，
∴ $∠ AED=∠ ADE$，$∠ CFB=∠ CBF$，
∴ $∠ AED=∠ CFB$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFB \\∠ ADE=∠ CBF \\AD=CB\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（AAS），
∴ $ED=BF$。
∵ $EC=ED+CD$，$AF=AB+BF$，$CD=AB$，
∴ $EC=AF$。
又∵ $EC// AF$，
∴ 四边形$AFCE$一组对边平行且相等，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形。

【分析】
(1) 要证明四边形AFCE是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由平行四边形ABCD的性质可得AB//CD，即EC//AF，只需再证EC=AF即可。结合已知∠DAB=60°、AE=AD、CF=CB，可推出△ADE和△BCF都是等边三角形，得到ED=BF，再结合AB=CD，即可推得EC=AF，完成证明。
(2) 去掉∠DAB=60°的条件后，依然围绕“证EC平行且等于AF”的思路推导：先利用平行四边形性质得到∠ADE=∠CBF，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠AED=∠CFB，证明△ADE≌△CBF，得到ED=BF，同样可推出EC=AF，结合EC//AF即可判定平行四边形，结论仍成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，$AB=CD$，$AD=BC$。
∵ $∠ DAB=60°$，
∴ $∠ ADE=∠ DAB=60°$，$∠ CBF=∠ DAB=60°$。
又
∵ $AE=AD$，$CF=CB$，
∴ $△ ADE$和$△ BCF$均为等边三角形，
∴ $ED=AD$，$BF=CB$。
∵ $AD=BC$，
∴ $ED=BF$，
∴ $ED+DC=BF+AB$，即$EC=AF$。
又
∵ $EC// AF$（$AB// CD$，点$E$在$CD$延长线，点$F$在$AB$延长线），
∴ 四边形$AFCE$一组对边平行且相等，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形。
(2) 解：上述结论仍成立，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，$AB=CD$，$AD=BC$，
∴ $∠ ADE=∠ DAB$，$∠ CBF=∠ DAB$，即$∠ ADE=∠ CBF$。
∵ $AE=AD$，$CF=CB$，
∴ $∠ AED=∠ ADE$，$∠ CFB=∠ CBF$，
∴ $∠ AED=∠ CFB$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFB \\∠ ADE=∠ CBF \\AD=CB\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（AAS），
∴ $ED=BF$。
∵ $EC=ED+CD$，$AF=AB+BF$，$CD=AB$，
∴ $EC=AF$。
又
∵ $EC// AF$，
∴ 四边形$AFCE$一组对边平行且相等，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形。
【答案】
(1) 四边形AFCE是平行四边形，证明见上述过程；
(2) 去掉“$∠DAB=60°$”的条件后结论仍成立，证明见上述过程。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将平行四边形的判定与性质，和等边三角形、全等三角形、等腰三角形的知识结合考查，解题核心是找准待证平行四边形的对边关系，通过已知条件推导对边平行且相等即可完成证明，解题思路通用性较强。
【难度系数】
0.7

42. 在$□ ABCD$中，延长AD到点F，使$DF=AD$，连接BF交CD于点E，求证：点E平分CD，BF.

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，AD = BC。
∵ DF = AD，
∴ DF = BC，且DF // BC，
∴ 四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ 平行四边形的对角线互相平分，CD、BF是平行四边形BCFD的两条对角线，且二者交于点E，
∴ DE = EC，FE = EB，
即点E平分CD，BF。

【分析】
要证明点E平分CD和BF，本质是证明E是CD、BF的中点，即DE=EC、FE=EB。我们可以结合平行四边形对角线互相平分的性质推导：首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AD平行且等于BC，再结合DF=AD的已知条件，可推出DF与BC平行且相等，由此可判定四边形BCFD是平行四边形。而CD、BF是平行四边形BCFD的两条对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质，即可得出E是两条对角线的中点，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，AD = BC。
∵ DF = AD，
∴ DF = BC，且DF // BC，
∴ 四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ 平行四边形的对角线互相平分，CD、BF是平行四边形BCFD的两条对角线，且二者交于点E，
∴ DE = EC，FE = EB，
即点E平分CD，BF。
【答案】
点E平分CD，BF。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础综合应用题，解题时可从求证的中点结论倒推，联想到平行四边形对角线的性质，再结合已知条件证明新的平行四边形即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8