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1. 下列式子中:①$5x+3y=0$;②$6x^2 -5x$;③$3x＜5$;④$x^2 +1=3$;⑤$\frac{x}{5}+2=3x$. 是方程的有
（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是先明确方程的判断标准，方程必须同时满足两个条件：一是必须为等式，即式子中要有等号连接；二是等式中要含有未知数。接下来只需将给出的5个式子逐个对照这两个条件检验，统计符合条件的式子数量，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是不是方程需要同时满足两个条件：①是等式（含有等号“=”）；②含有未知数。
逐个分析所给式子：
①$5x+3y=0$：含有等号，是等式，且含有未知数$x、y$，满足方程的条件，是方程；
②$6x^2 -5x$：没有等号，属于代数式，不是等式，因此不是方程；
③$3x＜5$：含有不等号“＜”，是不等式，不是等式，因此不是方程；
④$x^2 +1=3$：含有等号，是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
⑤$\frac{x}{5}+2=3x$：含有等号，是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程。
综上，属于方程的有①④⑤，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题重点考查对概念的理解掌握，解题时要紧扣方程的两个判断要点，注意区分代数式、等式、不等式的差异，避免将不含等号的代数式或者带不等号的不等式错判为方程。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是先明确方程的判断标准，方程必须同时满足两个条件：一是必须为等式，即式子中要有等号连接；二是等式中要含有未知数。接下来只需将给出的5个式子逐个对照这两个条件检验，统计符合条件的式子数量，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是不是方程需要同时满足两个条件：①是等式（含有等号“=”）；②含有未知数。
逐个分析所给式子：
①$5x+3y=0$：含有等号，是等式，且含有未知数$x、y$，满足方程的条件，是方程；
②$6x^2 -5x$：没有等号，属于代数式，不是等式，因此不是方程；
③$3x＜5$：含有不等号“＜”，是不等式，不是等式，因此不是方程；
④$x^2 +1=3$：含有等号，是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程；
⑤$\frac{x}{5}+2=3x$：含有等号，是等式，且含有未知数$x$，满足方程的条件，是方程。
综上，属于方程的有①④⑤，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题重点考查对概念的理解掌握，解题时要紧扣方程的两个判断要点，注意区分代数式、等式、不等式的差异，避免将不含等号的代数式或者带不等号的不等式错判为方程。
【难度系数】
0.8
2. 把方程$\frac{x}{3} - \frac{x+1}{6}=1$去分母，下列变形正确的是 （
A.$2x - x +1 =1$
B.$2x - (x+1)=1$
C.$2x - x +1=6$
D.$2x - (x+1)=6$
D
）A.$2x - x +1 =1$
B.$2x - (x+1)=1$
C.$2x - x +1=6$
D.$2x - (x+1)=6$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查一元一次方程去分母的变形，解题思路如下：第一步先确定方程中所有分母的最小公倍数，本题分母是3和6，最小公倍数为6；第二步根据等式的性质，方程两边每一项都要乘这个最小公倍数，注意不能漏乘不含分母的常数项；第三步如果分子是多项式，乘公倍数时要给分子整体加括号，避免出现符号错误，最后整理变形结果和选项比对即可。
【解析】
方程$\frac{x}{3} - \frac{x+1}{6}=1$的两个分母分别为3和6，最小公倍数是6。
根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘以6：
$\frac{x}{3} × 6 - \frac{x+1}{6} × 6 = 1 × 6$
计算得：$2x - (x+1) = 6$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程去分母
【点评】
本题属于基础题型，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项1，二是给分子为多项式的项去分母时忘记加括号导致符号出错，熟练掌握去分母的运算规则即可规避错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程去分母的变形，解题思路如下：第一步先确定方程中所有分母的最小公倍数，本题分母是3和6，最小公倍数为6；第二步根据等式的性质，方程两边每一项都要乘这个最小公倍数，注意不能漏乘不含分母的常数项；第三步如果分子是多项式，乘公倍数时要给分子整体加括号，避免出现符号错误，最后整理变形结果和选项比对即可。
【解析】
方程$\frac{x}{3} - \frac{x+1}{6}=1$的两个分母分别为3和6，最小公倍数是6。
根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘以6：
$\frac{x}{3} × 6 - \frac{x+1}{6} × 6 = 1 × 6$
计算得：$2x - (x+1) = 6$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程去分母
【点评】
本题属于基础题型，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项1，二是给分子为多项式的项去分母时忘记加括号导致符号出错，熟练掌握去分母的运算规则即可规避错误。
【难度系数】
0.8
3.若方程$(m-1)x^{|m-2|}-8=0$是关于x的一元一次方程，则m的值是 （
A.1
B.2
C.3
D.1或3
C
）A.1
B.2
C.3
D.1或3
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的判定需要满足两个核心条件：一是方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0，否则方程将不含未知数，不满足一元一次方程的要求。解题时我们先根据次数要求列出关于m的方程，求出初步的m值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(m-1)x^{|m-2|}-8=0$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m-2|=1 \quad \mathrm{（未知数的次数为1）} \\m-1≠0 \quad \mathrm{（一次项系数不为0）}\end{cases}$
解第一个式子：由绝对值的性质，$m-2=1$或$m-2=-1$，解得$m=3$或$m=1$
解第二个式子：移项可得$m≠1$
综上，排除$m=1$，可得$m=3$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程概念的基础考查题，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时需牢记一元一次方程的所有判定条件，逐一验证后再确定最终答案。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的判定需要满足两个核心条件：一是方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0，否则方程将不含未知数，不满足一元一次方程的要求。解题时我们先根据次数要求列出关于m的方程，求出初步的m值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(m-1)x^{|m-2|}-8=0$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m-2|=1 \quad \mathrm{（未知数的次数为1）} \\m-1≠0 \quad \mathrm{（一次项系数不为0）}\end{cases}$
解第一个式子：由绝对值的性质，$m-2=1$或$m-2=-1$，解得$m=3$或$m=1$
解第二个式子：移项可得$m≠1$
综上，排除$m=1$，可得$m=3$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程概念的基础考查题，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时需牢记一元一次方程的所有判定条件，逐一验证后再确定最终答案。
【难度系数】
0.6
4.【本土文化】已知某商店卖出了两件标价都为800元的蜀锦，其中一个盈利60%，另一个亏损20%.那么这家商店（
A.盈利100元
B.亏损100元
C.不盈不亏
D.盈利200元
A
）A.盈利100元
B.亏损100元
C.不盈不亏
D.盈利200元
答案
4.A
解析
【分析】
要判断商店的盈亏情况，首先要明确盈利和亏损都是相对于商品的进价（成本）而言的，解题思路如下：①先根据“售价=进价×(1+利润率)”的关系，分别求出两件蜀锦的进价；②计算两件蜀锦的总进价和总售价；③对比总售价和总进价的差值，差值为正说明盈利，为负说明亏损，为0则不盈不亏。
【解析】
设盈利60%的蜀锦进价为$ x $元，亏损20%的蜀锦进价为$ y $元。
根据售价、进价和利润率的关系列式：
1. 盈利的蜀锦：$ x×(1+60\%)=800 $
解得$ x=800÷1.6=500 $元，这件商品的利润为$ 800-500=300 $元。
2. 亏损的蜀锦：$ y×(1-20\%)=800 $
解得$ y=800÷0.8=1000 $元，这件商品的亏损额为$ 1000-800=200 $元。
总盈亏为$ 300-200=100 $元，即商店盈利100元。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售盈亏计算
2. 利润率公式
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是销售类盈亏问题的典型考题，易错点是容易误将标价直接当做成本计算盈亏，或直接通过两个利润率的差值推算结果，解题的核心是先分别求出两件商品的实际成本，再对比总售价和总成本的差值判断盈亏。
【难度系数】
0.7
要判断商店的盈亏情况，首先要明确盈利和亏损都是相对于商品的进价（成本）而言的，解题思路如下：①先根据“售价=进价×(1+利润率)”的关系，分别求出两件蜀锦的进价；②计算两件蜀锦的总进价和总售价；③对比总售价和总进价的差值，差值为正说明盈利，为负说明亏损，为0则不盈不亏。
【解析】
设盈利60%的蜀锦进价为$ x $元，亏损20%的蜀锦进价为$ y $元。
根据售价、进价和利润率的关系列式：
1. 盈利的蜀锦：$ x×(1+60\%)=800 $
解得$ x=800÷1.6=500 $元，这件商品的利润为$ 800-500=300 $元。
2. 亏损的蜀锦：$ y×(1-20\%)=800 $
解得$ y=800÷0.8=1000 $元，这件商品的亏损额为$ 1000-800=200 $元。
总盈亏为$ 300-200=100 $元，即商店盈利100元。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售盈亏计算
2. 利润率公式
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是销售类盈亏问题的典型考题，易错点是容易误将标价直接当做成本计算盈亏，或直接通过两个利润率的差值推算结果，解题的核心是先分别求出两件商品的实际成本，再对比总售价和总成本的差值判断盈亏。
【难度系数】
0.7
5.【情境题】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载:“今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问:人数、鸡价各几何?”意思是:“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.人数、鸡价各是多少?”设有$x$个人共同出钱买鸡,则下面所列方程正确的是 (
A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$6x - 11 = 9x + 16$
D.$6x + 11 = 9x - 16$
B
)A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$6x - 11 = 9x + 16$
D.$6x + 11 = 9x - 16$
答案
5.B
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的不变量，本题中鸡的总价格是固定不变的。我们可以先分别根据两种出钱的情况，用含x的式子表示出鸡的价格，再根据鸡价相等列出方程即可。首先明确：每人出9钱时多了11钱，说明总出钱比鸡价多11，所以鸡价=总出钱-多出的钱；每人出6钱时少了16钱，说明总出钱比鸡价少16，所以鸡价=总出钱+少的钱，两个式子都表示鸡价，因此可以列等式。
【解析】
设有x个人共同买鸡：
1. 每人出9钱时，总出钱为9x，此时多了11钱，说明鸡价比总出钱少11，即鸡价为 $9x - 11$；
2. 每人出6钱时，总出钱为6x，此时少了16钱，说明鸡价比总出钱多16，即鸡价为 $6x + 16$；
3. 由于鸡的价格固定不变，因此可列方程：$9x - 11 = 6x + 16$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用、盈亏问题、找不变量列方程
【点评】
本题以古代数学名著为背景，贴合传统文化情境，主要考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，解题关键是抓住鸡价不变这一核心条件，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找到题目中的不变量，本题中鸡的总价格是固定不变的。我们可以先分别根据两种出钱的情况，用含x的式子表示出鸡的价格，再根据鸡价相等列出方程即可。首先明确：每人出9钱时多了11钱，说明总出钱比鸡价多11，所以鸡价=总出钱-多出的钱；每人出6钱时少了16钱，说明总出钱比鸡价少16，所以鸡价=总出钱+少的钱，两个式子都表示鸡价，因此可以列等式。
【解析】
设有x个人共同买鸡：
1. 每人出9钱时，总出钱为9x，此时多了11钱，说明鸡价比总出钱少11，即鸡价为 $9x - 11$；
2. 每人出6钱时，总出钱为6x，此时少了16钱，说明鸡价比总出钱多16，即鸡价为 $6x + 16$；
3. 由于鸡的价格固定不变，因此可列方程：$9x - 11 = 6x + 16$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用、盈亏问题、找不变量列方程
【点评】
本题以古代数学名著为背景，贴合传统文化情境，主要考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，解题关键是抓住鸡价不变这一核心条件，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.7
6.数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
6.D
解析
【分析】
本题属于得分倒扣类应用题，可通过列一元一次方程求解。解题思路如下：第一步，设答对的题数为未知数$ x $，用总题数减去答对题数即可得到不答或答错的题数；第二步，找准等量关系：最终总得分 = 答对题目获得的总分 - 不答/答错倒扣的总分；第三步，将对应量代入等量关系列方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设必须答对的题数为$ x $道，则不答或答错的题数为$ (10-x) $道。
根据题意列方程：
$ 5x - 3(10-x) = 34 $
去括号得：$ 5x - 30 + 3x = 34 $
合并同类项得：$ 8x - 30 = 34 $
移项计算得：$ 8x = 64 $
解得：$ x = 8 $
即需要答对8道题才能得到34分。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题核心是找准得分与扣分的等量关系，易错点是容易误将倒扣的分数当成加分项计算，解题时注意区分得分规则即可。
【难度系数】
0.7
本题属于得分倒扣类应用题，可通过列一元一次方程求解。解题思路如下：第一步，设答对的题数为未知数$ x $，用总题数减去答对题数即可得到不答或答错的题数；第二步，找准等量关系：最终总得分 = 答对题目获得的总分 - 不答/答错倒扣的总分；第三步，将对应量代入等量关系列方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设必须答对的题数为$ x $道，则不答或答错的题数为$ (10-x) $道。
根据题意列方程：
$ 5x - 3(10-x) = 34 $
去括号得：$ 5x - 30 + 3x = 34 $
合并同类项得：$ 8x - 30 = 34 $
移项计算得：$ 8x = 64 $
解得：$ x = 8 $
即需要答对8道题才能得到34分。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题核心是找准得分与扣分的等量关系，易错点是容易误将倒扣的分数当成加分项计算，解题时注意区分得分规则即可。
【难度系数】
0.7
7.已知关于x的方程$x+a=2x+1$的解与方程$4x-5=3(x-1)$的解相同，则a的值为
3
。答案
7.3
解析
【分析】
本题属于同解方程类问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$4x-5=3(x-1)$，得到确定的x的值；第二步因为两个方程的解相同，将求出的x的值代入含参数a的方程$x+a=2x+1$，即可求出a的取值。
【解析】
首先解方程$4x-5=3(x-1)$：
去括号，得：$4x-5=3x-3$
移项，得：$4x-3x=-3+5$
合并同类项，得：$x=2$
因为两个方程的解相同，所以将$x=2$代入方程$x+a=2x+1$中，得：
$2+a=2×2 +1$
计算右侧：$2+a=5$
移项解得：$a=5-2=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的应用
【点评】
本题是同解方程的典型基础题型，核心是利用“解相同”的条件建立参数与已知解的关系，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解决本题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于同解方程类问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$4x-5=3(x-1)$，得到确定的x的值；第二步因为两个方程的解相同，将求出的x的值代入含参数a的方程$x+a=2x+1$，即可求出a的取值。
【解析】
首先解方程$4x-5=3(x-1)$：
去括号，得：$4x-5=3x-3$
移项，得：$4x-3x=-3+5$
合并同类项，得：$x=2$
因为两个方程的解相同，所以将$x=2$代入方程$x+a=2x+1$中，得：
$2+a=2×2 +1$
计算右侧：$2+a=5$
移项解得：$a=5-2=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的应用
【点评】
本题是同解方程的典型基础题型，核心是利用“解相同”的条件建立参数与已知解的关系，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解决本题的关键。
【难度系数】
0.8
8.【情境题】幻方，中国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”.如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为
3
.答案
8.3
解析
【分析】
这道题考查三阶幻方的性质，解题思路如下：首先明确三阶幻方的核心特点：每行、每列、两条对角线上的三个数之和都相等，这个和叫做幻和，且三阶幻方的幻和等于3倍中间位置的数。我们可以先利用中间数求出幻和，再依次求出其他未知位置的数，最后计算出a的值即可。
【解析】
解：由三阶幻方的性质可知，幻和（每行、每列、对角线的三数之和）= 3×中间数。
已知中间位置的数是5，因此幻和$S=3×5=15$。
1. 计算第一行右上角的数：第一行三数之和为15，因此右上角的数$=15-2-9=4$；
2. 计算第三行左下角的数：右上到左下的对角线三数之和为15，因此左下角的数$=15-4-5=6$；
3. 计算第二行第一个数：第一列三数之和为15，因此第二行第一个数$=15-2-6=7$；
4. 计算a的值：第二行三数之和为15，因此$a=15-7-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算
【点评】
本题属于基础的幻方计算题，核心是利用幻和相等的性质逐步推导未知量，只要熟练掌握三阶幻方的基本特点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
这道题考查三阶幻方的性质，解题思路如下：首先明确三阶幻方的核心特点：每行、每列、两条对角线上的三个数之和都相等，这个和叫做幻和，且三阶幻方的幻和等于3倍中间位置的数。我们可以先利用中间数求出幻和，再依次求出其他未知位置的数，最后计算出a的值即可。
【解析】
解：由三阶幻方的性质可知，幻和（每行、每列、对角线的三数之和）= 3×中间数。
已知中间位置的数是5，因此幻和$S=3×5=15$。
1. 计算第一行右上角的数：第一行三数之和为15，因此右上角的数$=15-2-9=4$；
2. 计算第三行左下角的数：右上到左下的对角线三数之和为15，因此左下角的数$=15-4-5=6$；
3. 计算第二行第一个数：第一列三数之和为15，因此第二行第一个数$=15-2-6=7$；
4. 计算a的值：第二行三数之和为15，因此$a=15-7-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算
【点评】
本题属于基础的幻方计算题，核心是利用幻和相等的性质逐步推导未知量，只要熟练掌握三阶幻方的基本特点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
