1. 有趣的三角形数。如图，从顶点起依次为第1层、第2层……仔细研究下一层与上一层点数的关系，你能发现哪些规律？
（1）第20层有多少个点？
（2）第15层的点与第13层的点相差多少个？
（3）分别求出第1至3层、第1至4层、第1至5层点数的和。
分析与解:让我们进行有序的思考,根据每层数列的特点计算点的数量。


| 层数 | 图形 | 点的总数 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | ● | 1 |
| 2 | △ | $1+2=(\quad)$ |
| 3 | △△△ | $1+2+3=(\quad)$ |
| 4 | △△△△△△△ | $1+(\quad)+(\quad)+(\quad)=(\quad)$ |
续表
| 层数 | 图形 | 点的总数 |
| ---- | ---- | ---- |
| 5 | △△△△△△△△△△△△△ | $1+2+3+4+5=\frac{(1+5)×5}{2}=(\quad)$ |
| 6 | △△△△△△△△△△△△△△△△△△△ | $1+2+(\quad)+(\quad)+(\quad)+(\quad)=\frac{[(\quad)+(\quad)]×(\quad)}{(\quad)}=(\quad)$ |
| … | … | … |
| $n$ | … | $\frac{(\quad)×[(\quad)+1]}{(\quad)}$ |
问题(1)和(2)你能解决了吗?
（1）第20层有$(\quad)$个点。
（2）第15层的点与第13层的点相差$(\quad)$个。
求从第1层开始的几层点数的和,可将每层点数相加,也可以利用相邻的两个三角形数的和就是一个正方形数来进行计算,还可以运用下面的公式进行计算:
$\mathrm{点的总数}=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)(n\mathrm{为层数})$
（3）第1至3层点数的和是$(\quad)$,第1至4层点数的和是$(\quad)$,第1至5层点数的和是$(\quad)$。

1. （1）$\frac{(1+20)×20}{2}=210$ （2）$14+15=29$ （3）10 20 35

【分析】
首先观察表格中每层对应的点数：第1层点数为1，第2层点数为1+2=3，第3层点数为1+2+3=6，可总结规律：第n层的点数是从1到n的连续整数之和，可用高斯求和公式（首项+末项）×项数÷2计算，即第n层点数$=\frac{n(n+1)}{2}$。前n层点数之和题目已给出计算公式：$\mathrm{总数}=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$，只需将对应数值代入公式即可求解三个问题。
【解析】
先明确推导好的规律：
第$n$层点数$=1+2+\dots+n=\frac{(1+n)× n}{2}$；前$n$层点数总和$=\frac{1}{6}× n×(n+1)×(n+2)$
（1）求第20层的点数
把$n=20$代入第$n$层点数公式：
$\frac{(1+20)×20}{2}=21×20÷2=210$（个）
（2）求第15层和第13层的点数差
方法：第15层点数减去第13层点数，抵消掉前13项的和，剩余为14、15两项的和：
$14+15=29$（个）
也可分别计算两层点数再求差：
第15层点数：$\frac{(1+15)×15}{2}=120$，第13层点数：$\frac{(1+13)×13}{2}=91$，差为$120-91=29$（个）
（3）求前若干层的点数和
分别代入前$n$层总和公式计算：
第1至3层和（$n=3$）：$\frac{1}{6}×3×(3+1)×(3+2)=\frac{1}{6}×3×4×5=10$
第1至4层和（$n=4$）：$\frac{1}{6}×4×(4+1)×(4+2)=\frac{1}{6}×4×5×6=20$
第1至5层和（$n=5$）：$\frac{1}{6}×5×(5+1)×(5+2)=\frac{1}{6}×5×6×7=35$
【答案】
（1）210；（2）29；（3）10，20，35
【知识点】
图形找规律，等差数列求和，四则混合运算
【点评】
本题结合三角形图形考查数列规律的探究与应用，需要先通过已知数据归纳出通用公式，再代入数值计算，能够有效锻炼观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7