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6.如图,直角三角尺的直角顶点在直线b上,∠3=25°,当∠1=
65
°时,a//b.答案
6.65
解析
【分析】
要使直线a//b，根据平行线的判定定理，同位角相等则两直线平行，因此首先找到∠1的同位角∠2，只要得出∠2的度数，即可得到∠1的度数。已知直角三角尺的直角顶点在直线b上，结合平角为180°、直角为90°的性质，可先算出∠2的度数，进而求出符合条件的∠1的度数。
【解析】
解：
∵直角三角尺的直角为90°，且直角顶点在直线b上，
∴∠2 + 90° + ∠3 = 180°，
即∠2 = 90° - ∠3，
将∠3=25°代入，得∠2=90°-25°=65°。
若要a//b，根据“同位角相等，两直线平行”，需满足∠1=∠2，
∴∠1=65°。
【答案】
65
【知识点】
平行线的判定；平角的性质
【点评】
本题结合三角尺的特性考查平行线的判定条件，解题的关键是利用平角和直角的性质求出对应同位角的度数，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要使直线a//b，根据平行线的判定定理，同位角相等则两直线平行，因此首先找到∠1的同位角∠2，只要得出∠2的度数，即可得到∠1的度数。已知直角三角尺的直角顶点在直线b上，结合平角为180°、直角为90°的性质，可先算出∠2的度数，进而求出符合条件的∠1的度数。
【解析】
解：
∵直角三角尺的直角为90°，且直角顶点在直线b上，
∴∠2 + 90° + ∠3 = 180°，
即∠2 = 90° - ∠3，
将∠3=25°代入，得∠2=90°-25°=65°。
若要a//b，根据“同位角相等，两直线平行”，需满足∠1=∠2，
∴∠1=65°。
【答案】
65
【知识点】
平行线的判定；平角的性质
【点评】
本题结合三角尺的特性考查平行线的判定条件，解题的关键是利用平角和直角的性质求出对应同位角的度数，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$∠ 1 + ∠ 2 = 240°$，$∠ 1 + ∠ 3 = 240°$，则直线$b$与$c$的位置关系是
b//c
.答案
7.b//c
解析
【分析】
要判断直线b与c的位置关系，可结合平行线的判定定理推导。首先观察到∠1和∠2是对顶角，结合∠1+∠2=240°可先求出∠1的度数，再代入∠1+∠3=240°求出∠3的度数，对比∠1和∠3的关系，发现二者是直线b、c被a所截的同位角，若相等即可判定两直线平行。
【解析】
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
又
∵∠1+∠2=240°，
∴2∠1=240°，解得∠1=120°，
∵∠1+∠3=240°，
∴∠3=240°-∠1=240°-120°=120°，
∴∠1=∠3，
∵∠1和∠3是直线b、c被直线a所截形成的同位角，
∴b//c（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
b//c
【知识点】
对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题核心是通过已知条件推导得到同位角相等，熟练掌握对顶角性质和平行线的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要判断直线b与c的位置关系，可结合平行线的判定定理推导。首先观察到∠1和∠2是对顶角，结合∠1+∠2=240°可先求出∠1的度数，再代入∠1+∠3=240°求出∠3的度数，对比∠1和∠3的关系，发现二者是直线b、c被a所截的同位角，若相等即可判定两直线平行。
【解析】
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
又
∵∠1+∠2=240°，
∴2∠1=240°，解得∠1=120°，
∵∠1+∠3=240°，
∴∠3=240°-∠1=240°-120°=120°，
∴∠1=∠3，
∵∠1和∠3是直线b、c被直线a所截形成的同位角，
∴b//c（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
b//c
【知识点】
对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题核心是通过已知条件推导得到同位角相等，熟练掌握对顶角性质和平行线的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
8. 一副三角尺按如图所示(共顶点A)叠放在一起，若固定三角尺ABC，改变三角尺ADE的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD=
30°或150°
时，DE//AB.答案
8.30°或150°
解析
【分析】
首先明确三角尺ADE中∠D=30°，要使DE//AB，需结合平行线的判定定理分析∠BAD与∠D的数量关系，由于三角尺ADE绕点A旋转存在两种可使DE//AB的位置，需分两种情况分别计算∠BAD的度数：第一种利用“内错角相等，两直线平行”求解，第二种利用“同旁内角互补，两直线平行”求解。
【解析】
三角尺ADE的固定内角∠ADE=30°，分两种情况讨论：
1. 当∠BAD与∠D为内错角时，若∠BAD=∠D=30°，根据“内错角相等，两直线平行”，此时DE//AB；
2. 当∠BAD与∠D为同旁内角时，若∠BAD+∠D=180°，则∠BAD=180°-30°=150°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，此时DE//AB。
综上，满足条件的∠BAD的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
平行线的判定，角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺的角度特征考查平行线的判定，解题时需注意全面考虑三角尺的不同摆放位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确三角尺ADE中∠D=30°，要使DE//AB，需结合平行线的判定定理分析∠BAD与∠D的数量关系，由于三角尺ADE绕点A旋转存在两种可使DE//AB的位置，需分两种情况分别计算∠BAD的度数：第一种利用“内错角相等，两直线平行”求解，第二种利用“同旁内角互补，两直线平行”求解。
【解析】
三角尺ADE的固定内角∠ADE=30°，分两种情况讨论：
1. 当∠BAD与∠D为内错角时，若∠BAD=∠D=30°，根据“内错角相等，两直线平行”，此时DE//AB；
2. 当∠BAD与∠D为同旁内角时，若∠BAD+∠D=180°，则∠BAD=180°-30°=150°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，此时DE//AB。
综上，满足条件的∠BAD的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
平行线的判定，角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺的角度特征考查平行线的判定，解题时需注意全面考虑三角尺的不同摆放位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$∠ BAF=46°$，$∠ ACE=136°$，$CE⊥ CD$. 问 $CD// AB$ 吗？为什么？
答案
9.解:CD//AB.理由如下:
因为CE⊥CD,所以∠DCE=90°.
因为∠ACE=136°,
所以∠ACD=360°-136°-90°=134°.
因为∠BAF=46°,
所以∠BAC=180°-∠BAF=180°-46°=134°,
所以∠ACD=∠BAC,
所以CD//AB.
因为CE⊥CD,所以∠DCE=90°.
因为∠ACE=136°,
所以∠ACD=360°-136°-90°=134°.
因为∠BAF=46°,
所以∠BAC=180°-∠BAF=180°-46°=134°,
所以∠ACD=∠BAC,
所以CD//AB.
解析
【分析】
要判断CD与AB是否平行，可借助平行线的判定定理分析两条直线被截线所形成的角的数量关系。观察图形可知，CD、AB被直线CF所截，对应内错角为∠BAC和∠ACD，若这两个角相等即可判定两直线平行。首先利用垂直的定义得到∠DCE的度数，结合周角为360°计算出∠ACD的度数；再利用邻补角和为180°计算出∠BAC的度数，最后比较两个角的大小即可得出结论。
【解析】
CD$\boldsymbol{//}$AB，理由如下：
$\because$ CE$⊥$CD，根据垂直的定义，$\therefore$ $∠ DCE=90°$。
$\because$ $∠ ACE=136°$，
$\therefore$ $∠ ACD=360°-∠ ACE-∠ DCE=360°-136°-90°=134°$。
$\because$ $∠ BAF=46°$，$∠ BAF$与$∠ BAC$互为邻补角，
$\therefore$ $∠ BAC=180°-∠ BAF=180°-46°=134°$，
$\therefore$ $∠ ACD=∠ BAC$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得CD$\boldsymbol{//}$AB。
【答案】
CD//AB，理由如下：因为CE⊥CD，所以∠DCE=90°；因为∠ACE=136°，所以∠ACD=360°-136°-90°=134°；因为∠BAF=46°，所以∠BAC=180°-46°=134°，所以∠ACD=∠BAC，因此CD//AB。
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题核心是通过已知角度计算出截线与两条直线形成的内错角的度数，利用角的等量关系证明两直线平行，解题时需注意周角、邻补角的角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
要判断CD与AB是否平行，可借助平行线的判定定理分析两条直线被截线所形成的角的数量关系。观察图形可知，CD、AB被直线CF所截，对应内错角为∠BAC和∠ACD，若这两个角相等即可判定两直线平行。首先利用垂直的定义得到∠DCE的度数，结合周角为360°计算出∠ACD的度数；再利用邻补角和为180°计算出∠BAC的度数，最后比较两个角的大小即可得出结论。
【解析】
CD$\boldsymbol{//}$AB，理由如下：
$\because$ CE$⊥$CD，根据垂直的定义，$\therefore$ $∠ DCE=90°$。
$\because$ $∠ ACE=136°$，
$\therefore$ $∠ ACD=360°-∠ ACE-∠ DCE=360°-136°-90°=134°$。
$\because$ $∠ BAF=46°$，$∠ BAF$与$∠ BAC$互为邻补角，
$\therefore$ $∠ BAC=180°-∠ BAF=180°-46°=134°$，
$\therefore$ $∠ ACD=∠ BAC$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得CD$\boldsymbol{//}$AB。
【答案】
CD//AB，理由如下：因为CE⊥CD，所以∠DCE=90°；因为∠ACE=136°，所以∠ACD=360°-136°-90°=134°；因为∠BAF=46°，所以∠BAC=180°-46°=134°，所以∠ACD=∠BAC，因此CD//AB。
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题核心是通过已知角度计算出截线与两条直线形成的内错角的度数，利用角的等量关系证明两直线平行，解题时需注意周角、邻补角的角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
10. 如图,点 G 在直线 CD 上,已知$∠ BAG+∠ AGD=180°$,AE 平分$∠ BAG$,GF 平分$∠ AGC$,请说明$AE// GF$的理由.
答案
10.解:因为∠BAG+∠AGD=180°,
∠AGC+∠AGD=180°,
所以∠BAG=∠AGC.
因为AE平分∠BAG,
所以∠1=1/2∠BAG.
因为GF平分∠AGC,所以∠2=1/2∠AGC,
所以∠1=∠2,
所以AE//GF.
∠AGC+∠AGD=180°,
所以∠BAG=∠AGC.
因为AE平分∠BAG,
所以∠1=1/2∠BAG.
因为GF平分∠AGC,所以∠2=1/2∠AGC,
所以∠1=∠2,
所以AE//GF.
解析
【分析】
要证明AE//GF，可通过证明两直线的内错角∠1=∠2实现。首先结合已知的∠BAG+∠AGD=180°，以及邻补角和为180°的性质，可推出∠BAG=∠AGC；再利用角平分线的定义，分别表示出∠1和∠2，即可得到∠1与∠2相等，最后根据平行线的判定定理即可证得结论。
【解析】
解：
∵ ∠BAG + ∠AGD = 180°（已知），
∠AGC + ∠AGD = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠BAG = ∠AGC（同角的补角相等）。
∵ AE平分∠BAG（已知），
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAG（角平分线的定义）。
∵ GF平分∠AGC（已知），
∴ ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AGC（角平分线的定义），
∴ ∠1 = ∠2（等量代换），
∴ AE//GF（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
因为∠BAG+∠AGD=180°，∠AGC+∠AGD=180°，所以∠BAG=∠AGC。因为AE平分∠BAG，所以∠1=$\frac{1}{2}$∠BAG。因为GF平分∠AGC，所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AGC，所以∠1=∠2，所以AE//GF。
【知识点】
平行线的判定；角平分线的定义；补角的性质
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用题，解题的关键是结合已知条件和邻补角性质推导等角，再借助角平分线的定义得到相等的内错角，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明AE//GF，可通过证明两直线的内错角∠1=∠2实现。首先结合已知的∠BAG+∠AGD=180°，以及邻补角和为180°的性质，可推出∠BAG=∠AGC；再利用角平分线的定义，分别表示出∠1和∠2，即可得到∠1与∠2相等，最后根据平行线的判定定理即可证得结论。
【解析】
解：
∵ ∠BAG + ∠AGD = 180°（已知），
∠AGC + ∠AGD = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠BAG = ∠AGC（同角的补角相等）。
∵ AE平分∠BAG（已知），
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAG（角平分线的定义）。
∵ GF平分∠AGC（已知），
∴ ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AGC（角平分线的定义），
∴ ∠1 = ∠2（等量代换），
∴ AE//GF（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
因为∠BAG+∠AGD=180°，∠AGC+∠AGD=180°，所以∠BAG=∠AGC。因为AE平分∠BAG，所以∠1=$\frac{1}{2}$∠BAG。因为GF平分∠AGC，所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AGC，所以∠1=∠2，所以AE//GF。
【知识点】
平行线的判定；角平分线的定义；补角的性质
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用题，解题的关键是结合已知条件和邻补角性质推导等角，再借助角平分线的定义得到相等的内错角，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
