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1.已知$x=3$是方程$ax+6=-4x-12$的解，$b$满足关系式$|2b+a|=14$，求$a+b$的值.
答案
解:把 $x=3$ 代入方程,得 $3a+6=-12-12$,
解得 $a=-10$.
把 $a=-10$ 代入$|2b+a|=14$,得$|2b-10|=14$,
解得 $b=12$ 或 $b=-2$,
则 $a+b=2$ 或 $a+b=-12$.
解得 $a=-10$.
把 $a=-10$ 代入$|2b+a|=14$,得$|2b-10|=14$,
解得 $b=12$ 或 $b=-2$,
则 $a+b=2$ 或 $a+b=-12$.
解析
【分析】
解题时首先根据一元一次方程解的定义，将已知的解x=3代入原方程，可得到只含有未知数a的一元一次方程，求解就能得到a的值；再把a的值代入含绝对值的关系式中，根据绝对值的性质，绝对值等于14的数有14和-14两种情况，分情况求解得到b的两个取值，最后分别计算a+b的结果即可，注意不要遗漏绝对值对应的负向情况。
【解析】
解：
∵x=3是方程$ax+6=-4x-12$的解
∴将x=3代入方程，得：
$3a+6=-4×3-12$
整理得$3a+6=-24$
解得$a=-10$
把$a=-10$代入$|2b+a|=14$，得：
$|2b-10|=14$
根据绝对值的性质可得：
$2b-10=14$ 或 $2b-10=-14$
当$2b-10=14$时，解得$b=12$，此时$a+b=-10+12=2$；
当$2b-10=-14$时，解得$b=-2$，此时$a+b=-10+(-2)=-12$。
【答案】
2或-12
【知识点】
一元一次方程的解；绝对值的性质
【点评】
本题综合考查方程解的应用和绝对值方程的求解，解题的关键是掌握方程的解满足原方程，同时要注意绝对值等于正数的方程对应两种解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一元一次方程解的定义，将已知的解x=3代入原方程，可得到只含有未知数a的一元一次方程，求解就能得到a的值；再把a的值代入含绝对值的关系式中，根据绝对值的性质，绝对值等于14的数有14和-14两种情况，分情况求解得到b的两个取值，最后分别计算a+b的结果即可，注意不要遗漏绝对值对应的负向情况。
【解析】
解：
∵x=3是方程$ax+6=-4x-12$的解
∴将x=3代入方程，得：
$3a+6=-4×3-12$
整理得$3a+6=-24$
解得$a=-10$
把$a=-10$代入$|2b+a|=14$，得：
$|2b-10|=14$
根据绝对值的性质可得：
$2b-10=14$ 或 $2b-10=-14$
当$2b-10=14$时，解得$b=12$，此时$a+b=-10+12=2$；
当$2b-10=-14$时，解得$b=-2$，此时$a+b=-10+(-2)=-12$。
【答案】
2或-12
【知识点】
一元一次方程的解；绝对值的性质
【点评】
本题综合考查方程解的应用和绝对值方程的求解，解题的关键是掌握方程的解满足原方程，同时要注意绝对值等于正数的方程对应两种解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
2.当$m$为何值时,关于$x$的方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解比$5(x-1)-1=4(x-1)+1$的解大2?
答案
解:解方程 $5(x-1)-1=4(x-1)+1$,得 $x=3$,
故方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$ 的解为 $x=3+2=5$.
把 $x=5$ 代入方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,得
$2(5+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,解得 $m=22$.
故方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$ 的解为 $x=3+2=5$.
把 $x=5$ 代入方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,得
$2(5+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,解得 $m=22$.
解析
【分析】
解题时应分三步思考：第一步，先求解不含参数m的方程$5(x-1)-1=4(x-1)+1$，得到它的解；第二步，根据“方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解比另一个方程的解大2”的条件，计算出含m方程的解；第三步，将求得的解代入含m的方程，得到仅关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 解方程$5(x-1)-1=4(x-1)+1$：
去括号得：$5x - 5 - 1 = 4x - 4 + 1$
整理得：$5x - 6 = 4x - 3$
移项合并同类项得：$x = 3$
2. 根据题意，方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解为$3 + 2 = 5$
3. 把$x=5$代入方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$：
代入得：$2×(5+1) - m = \dfrac{2 - m}{2}$
化简得：$12 - m = \dfrac{2 - m}{2}$
两边同时乘2消去分母得：$24 - 2m = 2 - m$
移项合并同类项得：$-m = -22$
系数化为1得：$m = 22$
【答案】
$m=22$
【知识点】
一元一次方程的解法、方程的解的定义、含参一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元一次方程解的基础综合应用题，解题的核心是先求出不含参数的方程的解，再结合两个解的数量关系得到含参方程的解，代入即可求出参数，主要考查基础运算能力和对概念的理解能力。
【难度系数】
0.8
解题时应分三步思考：第一步，先求解不含参数m的方程$5(x-1)-1=4(x-1)+1$，得到它的解；第二步，根据“方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解比另一个方程的解大2”的条件，计算出含m方程的解；第三步，将求得的解代入含m的方程，得到仅关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 解方程$5(x-1)-1=4(x-1)+1$：
去括号得：$5x - 5 - 1 = 4x - 4 + 1$
整理得：$5x - 6 = 4x - 3$
移项合并同类项得：$x = 3$
2. 根据题意，方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解为$3 + 2 = 5$
3. 把$x=5$代入方程$2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$：
代入得：$2×(5+1) - m = \dfrac{2 - m}{2}$
化简得：$12 - m = \dfrac{2 - m}{2}$
两边同时乘2消去分母得：$24 - 2m = 2 - m$
移项合并同类项得：$-m = -22$
系数化为1得：$m = 22$
【答案】
$m=22$
【知识点】
一元一次方程的解法、方程的解的定义、含参一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元一次方程解的基础综合应用题，解题的核心是先求出不含参数的方程的解，再结合两个解的数量关系得到含参方程的解，代入即可求出参数，主要考查基础运算能力和对概念的理解能力。
【难度系数】
0.8
3.若方程$3(x-1)+8=x+3$与$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解互为相反数，求$(1-3k)^3$的值.
答案
解:解方程 $3(x-1)+8=x+3$,得 $x=-1$.
因为方程 $3(x-1)+8=x+3$ 与$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解互为相反数,所以方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为 $x=1$.
把 $x=1$ 代入方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$,得$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$,
解得 $k=\dfrac{2}{3}$,所以$(1-3k)^3=(1-3×\dfrac{2}{3})^3=-1$.
因为方程 $3(x-1)+8=x+3$ 与$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解互为相反数,所以方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为 $x=1$.
把 $x=1$ 代入方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$,得$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$,
解得 $k=\dfrac{2}{3}$,所以$(1-3k)^3=(1-3×\dfrac{2}{3})^3=-1$.
解析
【分析】
解题思路分为四步：第一步先求解第一个不含参数的一元一次方程，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，计算出第二个方程的解；第三步将第二个方程的解代入含参数k的方程，求出k的取值；第四步把k代入所求代数式，计算出最终结果即可。
【解析】
1. 解方程$3(x-1)+8=x+3$：
去括号得$3x-3+8=x+3$，
移项、合并同类项得$2x=-2$，
系数化为1得$x=-1$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为$x=1$。
3. 把$x=1$代入$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$，得：
$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$，
交叉相乘得$3(1+k)=5$，
去括号得$3+3k=5$，
移项得$3k=2$，
解得$k=\dfrac{2}{3}$。
4. 把$k=\dfrac{2}{3}$代入$(1-3k)^3$得：
$(1-3×\dfrac{2}{3})^3=(1-2)^3=(-1)^3=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的解法，相反数的性质，代数式求值
【点评】
本题是一元一次方程解的综合应用题型，解题核心是明确方程的解满足对应方程，结合相反数的性质逐步推导参数k的值，再代入计算即可，主要考查学生的基础运算能力。
【难度系数】
0.75
解题思路分为四步：第一步先求解第一个不含参数的一元一次方程，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，计算出第二个方程的解；第三步将第二个方程的解代入含参数k的方程，求出k的取值；第四步把k代入所求代数式，计算出最终结果即可。
【解析】
1. 解方程$3(x-1)+8=x+3$：
去括号得$3x-3+8=x+3$，
移项、合并同类项得$2x=-2$，
系数化为1得$x=-1$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为$x=1$。
3. 把$x=1$代入$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$，得：
$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$，
交叉相乘得$3(1+k)=5$，
去括号得$3+3k=5$，
移项得$3k=2$，
解得$k=\dfrac{2}{3}$。
4. 把$k=\dfrac{2}{3}$代入$(1-3k)^3$得：
$(1-3×\dfrac{2}{3})^3=(1-2)^3=(-1)^3=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的解法，相反数的性质，代数式求值
【点评】
本题是一元一次方程解的综合应用题型，解题核心是明确方程的解满足对应方程，结合相反数的性质逐步推导参数k的值，再代入计算即可，主要考查学生的基础运算能力。
【难度系数】
0.75
4.已知关于$x$的方程$2x-4=3m$与$x+3=m$的解的绝对值相等,求$m$的值.
答案
解:解方程 $2x-4=3m$,得 $x=\dfrac{3m+4}{2}$,
解方程 $x+3=m$,得 $x=m-3$.
因为两个方程的解的绝对值相等,
所以$\dfrac{3m+4}{2}=m-3$ 或$\dfrac{3m+4}{2}=-(m-3)$,
解得 $m=-10$ 或 $m=\dfrac{2}{5}$.
解方程 $x+3=m$,得 $x=m-3$.
因为两个方程的解的绝对值相等,
所以$\dfrac{3m+4}{2}=m-3$ 或$\dfrac{3m+4}{2}=-(m-3)$,
解得 $m=-10$ 或 $m=\dfrac{2}{5}$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先分别求解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；第二步，根据“两个解的绝对值相等”的条件，结合绝对值的性质：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，分两种情况列出关于m的一元一次方程；第三步，分别求解新得到的方程即可得到m的值，注意不要漏解。
【解析】
首先解方程$2x-4=3m$：
移项得$2x=3m+4$，
系数化为1得$x=\dfrac{3m+4}{2}$。
再解方程$x+3=m$：
移项得$x=m-3$。
因为两个方程的解的绝对值相等，分两种情况讨论：
1. 两个解相等：$\dfrac{3m+4}{2}=m-3$
两边同乘2得：$3m+4=2(m-3)$
展开得$3m+4=2m-6$
移项合并同类项得$m=-10$。
2. 两个解互为相反数：$\dfrac{3m+4}{2}=-(m-3)$
两边同乘2得：$3m+4=-2(m-3)$
展开得$3m+4=-2m+6$
移项合并同类项得$5m=2$，系数化为1得$m=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$m=-10$或$m=\dfrac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法，绝对值的性质，方程的解的定义
【点评】
本题考查一元一次方程与绝对值性质的综合应用，解题关键是明确绝对值相等的两个数的两种关系，分类讨论时不要遗漏互为相反数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先分别求解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；第二步，根据“两个解的绝对值相等”的条件，结合绝对值的性质：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，分两种情况列出关于m的一元一次方程；第三步，分别求解新得到的方程即可得到m的值，注意不要漏解。
【解析】
首先解方程$2x-4=3m$：
移项得$2x=3m+4$，
系数化为1得$x=\dfrac{3m+4}{2}$。
再解方程$x+3=m$：
移项得$x=m-3$。
因为两个方程的解的绝对值相等，分两种情况讨论：
1. 两个解相等：$\dfrac{3m+4}{2}=m-3$
两边同乘2得：$3m+4=2(m-3)$
展开得$3m+4=2m-6$
移项合并同类项得$m=-10$。
2. 两个解互为相反数：$\dfrac{3m+4}{2}=-(m-3)$
两边同乘2得：$3m+4=-2(m-3)$
展开得$3m+4=-2m+6$
移项合并同类项得$5m=2$，系数化为1得$m=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$m=-10$或$m=\dfrac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法，绝对值的性质，方程的解的定义
【点评】
本题考查一元一次方程与绝对值性质的综合应用，解题关键是明确绝对值相等的两个数的两种关系，分类讨论时不要遗漏互为相反数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5.若关于 $ x $ 的方程$\frac{x+a}{2} - \frac{a}{3} = x$ 与 $ 4x - 2(3 - x) + 3 = 0 $ 的解互为倒数，求 $ a $ 的值.
答案
解:解方程 $4x-2(3-x)+3=0$,得 $x=\dfrac{1}{2}$.
因为关于 $x$ 的方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$ 与 $4x-2(3-x)+3=0$ 的解互为倒数,
所以关于 $x$ 的方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$ 的解是 $x=2$.
把 $x=2$ 代入$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$,得$\dfrac{2+a}{2}-\dfrac{a}{3}=2$,解得 $a=6$.
因为关于 $x$ 的方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$ 与 $4x-2(3-x)+3=0$ 的解互为倒数,
所以关于 $x$ 的方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$ 的解是 $x=2$.
把 $x=2$ 代入$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$,得$\dfrac{2+a}{2}-\dfrac{a}{3}=2$,解得 $a=6$.
解析
【分析】
本题属于一元一次方程解的综合应用问题，解题思路清晰可分为三步：①先求解不含参数a的一元一次方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$，直接得到它的解；②根据两个方程的解互为倒数的关系，计算出含参数a的方程的解；③将求得的解代入带参数a的方程，解关于a的一元一次方程即可得到a的值。
【解析】
1. 先解方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$：
去括号得：$4x - 6 + 2x + 3 = 0$
合并同类项得：$6x - 3 = 0$
移项得：$6x = 3$
系数化为1得：$x = \frac{1}{2}$
2. 因为两个方程的解互为倒数（互为倒数的两个数乘积为1），所以方程$\frac{x+a}{2} - \frac{a}{3} = x$的解为$1÷\frac{1}{2}=2$
3. 把$x=2$代入$\frac{x+a}{2} - \frac{a}{3} = x$，得到关于a的方程：
$\frac{2+a}{2} - \frac{a}{3} = 2$
两边同乘6消去分母得：$3(2+a) - 2a = 12$
去括号得：$6 + 3a - 2a = 12$
合并同类项得：$6 + a = 12$
解得：$a = 6$
【答案】
$a=6$
【知识点】
一元一次方程的解法，倒数的定义，方程的解的定义
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，重点考察对一元一次方程解法、方程解的定义以及倒数概念的掌握，解题时优先求解不含参数的方程，再利用题干给出的解的关系转化即可，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程解的综合应用问题，解题思路清晰可分为三步：①先求解不含参数a的一元一次方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$，直接得到它的解；②根据两个方程的解互为倒数的关系，计算出含参数a的方程的解；③将求得的解代入带参数a的方程，解关于a的一元一次方程即可得到a的值。
【解析】
1. 先解方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$：
去括号得：$4x - 6 + 2x + 3 = 0$
合并同类项得：$6x - 3 = 0$
移项得：$6x = 3$
系数化为1得：$x = \frac{1}{2}$
2. 因为两个方程的解互为倒数（互为倒数的两个数乘积为1），所以方程$\frac{x+a}{2} - \frac{a}{3} = x$的解为$1÷\frac{1}{2}=2$
3. 把$x=2$代入$\frac{x+a}{2} - \frac{a}{3} = x$，得到关于a的方程：
$\frac{2+a}{2} - \frac{a}{3} = 2$
两边同乘6消去分母得：$3(2+a) - 2a = 12$
去括号得：$6 + 3a - 2a = 12$
合并同类项得：$6 + a = 12$
解得：$a = 6$
【答案】
$a=6$
【知识点】
一元一次方程的解法，倒数的定义，方程的解的定义
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，重点考察对一元一次方程解法、方程解的定义以及倒数概念的掌握，解题时优先求解不含参数的方程，再利用题干给出的解的关系转化即可，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
