登录
21. 综合与实践.
定义：我们称关于x的方程$ax + b = 0$与方程$bx + a = 0$（a，b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如方程$2x + 4 = 0$与方程$4x + 2 = 0$互为“轮换方程”.
(1)判断：①$3x + 7 = 0$与$7x + 3 = 0$；②$-6x + 3 = 0$与$3x - 6 = 0$；③$-11x - 1 = 0$与$x - 11 = 0$.其中互为“轮换方程”的有
(2)若关于x的方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，求$m^n$的值.
解：方程$5x + m + 3 = 0$可化为$5x + (m + 3) = 0$，其“轮换方程”为$(m + 3)x + 5 = 0$。
因为方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，所以可得：
$\begin{cases}m + 3 = 4\\n - 2 = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1\\n = 7\end{cases}$
则$m^n = 1^7 = 1$
(3)若关于x的方程$5x - p = 0$与其“轮换方程”的解都是整数，p也是整数，对于多项式$A = 6x^2 - 2kx + 8$和$B = -2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)$，不论x取何值，A与B的和始终等于整数p，求整数p的值.
解：方程$5x - p = 0$的“轮换方程”为$-px + 5 = 0$（$p\neq0$）。
方程$5x - p = 0$的解为$x = \frac{p}{5}$，方程$-px + 5 = 0$的解为$x = \frac{5}{p}$。
因为两方程的解都是整数，$p$是整数，所以$p$是$5$的因数，即$p = \pm1$，$\pm5$。
$A + B = 6x^2 - 2kx + 8 + [-2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)]$
$= 6x^2 - 2kx + 8 - 6x^2 + 3x - 2k$
$= (3 - 2k)x + (8 - 2k)$
因为不论$x$取何值，$A$与$B$的和始终等于整数$p$，所以$3 - 2k = 0$，解得$k = \frac{3}{2}$。
则$8 - 2k = 8 - 2×\frac{3}{2} = 8 - 3 = 5$，即$p = 5$
经检验，$p = 5$时，两方程的解都是整数，符合题意。
所以整数$p$的值为$5$
定义：我们称关于x的方程$ax + b = 0$与方程$bx + a = 0$（a，b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如方程$2x + 4 = 0$与方程$4x + 2 = 0$互为“轮换方程”.
(1)判断：①$3x + 7 = 0$与$7x + 3 = 0$；②$-6x + 3 = 0$与$3x - 6 = 0$；③$-11x - 1 = 0$与$x - 11 = 0$.其中互为“轮换方程”的有
①②
（填序号）.(2)若关于x的方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，求$m^n$的值.
解：方程$5x + m + 3 = 0$可化为$5x + (m + 3) = 0$，其“轮换方程”为$(m + 3)x + 5 = 0$。
因为方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，所以可得：
$\begin{cases}m + 3 = 4\\n - 2 = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1\\n = 7\end{cases}$
则$m^n = 1^7 = 1$
(3)若关于x的方程$5x - p = 0$与其“轮换方程”的解都是整数，p也是整数，对于多项式$A = 6x^2 - 2kx + 8$和$B = -2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)$，不论x取何值，A与B的和始终等于整数p，求整数p的值.
解：方程$5x - p = 0$的“轮换方程”为$-px + 5 = 0$（$p\neq0$）。
方程$5x - p = 0$的解为$x = \frac{p}{5}$，方程$-px + 5 = 0$的解为$x = \frac{5}{p}$。
因为两方程的解都是整数，$p$是整数，所以$p$是$5$的因数，即$p = \pm1$，$\pm5$。
$A + B = 6x^2 - 2kx + 8 + [-2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)]$
$= 6x^2 - 2kx + 8 - 6x^2 + 3x - 2k$
$= (3 - 2k)x + (8 - 2k)$
因为不论$x$取何值，$A$与$B$的和始终等于整数$p$，所以$3 - 2k = 0$，解得$k = \frac{3}{2}$。
则$8 - 2k = 8 - 2×\frac{3}{2} = 8 - 3 = 5$，即$p = 5$
经检验，$p = 5$时，两方程的解都是整数，符合题意。
所以整数$p$的值为$5$
答案
(1)①②
(2)解：方程$5x + m + 3 = 0$可化为$5x + (m + 3) = 0$，其“轮换方程”为$(m + 3)x + 5 = 0$。
因为方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，所以可得：
$\begin{cases}m + 3 = 4\\n - 2 = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1\\n = 7\end{cases}$
则$m^n = 1^7 = 1$
(3)解：方程$5x - p = 0$的“轮换方程”为$-px + 5 = 0$（$p\neq0$）。
方程$5x - p = 0$的解为$x = \frac{p}{5}$，方程$-px + 5 = 0$的解为$x = \frac{5}{p}$。
因为两方程的解都是整数，$p$是整数，所以$p$是$5$的因数，即$p = \pm1$，$\pm5$。
$A + B = 6x^2 - 2kx + 8 + [-2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)]$
$= 6x^2 - 2kx + 8 - 6x^2 + 3x - 2k$
$= (3 - 2k)x + (8 - 2k)$
因为不论$x$取何值，$A$与$B$的和始终等于整数$p$，所以$3 - 2k = 0$，解得$k = \frac{3}{2}$。
则$8 - 2k = 8 - 2×\frac{3}{2} = 8 - 3 = 5$，即$p = 5$
经检验，$p = 5$时，两方程的解都是整数，符合题意。
所以整数$p$的值为$5$
(2)解：方程$5x + m + 3 = 0$可化为$5x + (m + 3) = 0$，其“轮换方程”为$(m + 3)x + 5 = 0$。
因为方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，所以可得：
$\begin{cases}m + 3 = 4\\n - 2 = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1\\n = 7\end{cases}$
则$m^n = 1^7 = 1$
(3)解：方程$5x - p = 0$的“轮换方程”为$-px + 5 = 0$（$p\neq0$）。
方程$5x - p = 0$的解为$x = \frac{p}{5}$，方程$-px + 5 = 0$的解为$x = \frac{5}{p}$。
因为两方程的解都是整数，$p$是整数，所以$p$是$5$的因数，即$p = \pm1$，$\pm5$。
$A + B = 6x^2 - 2kx + 8 + [-2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)]$
$= 6x^2 - 2kx + 8 - 6x^2 + 3x - 2k$
$= (3 - 2k)x + (8 - 2k)$
因为不论$x$取何值，$A$与$B$的和始终等于整数$p$，所以$3 - 2k = 0$，解得$k = \frac{3}{2}$。
则$8 - 2k = 8 - 2×\frac{3}{2} = 8 - 3 = 5$，即$p = 5$
经检验，$p = 5$时，两方程的解都是整数，符合题意。
所以整数$p$的值为$5$
