13. (2023，湖北十堰)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是$\widehat{DF}$的中点.
(1)求证：BC是$\odot O$的切线.
(2)若$CE=\sqrt{2}$，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）

1. （1）**证明**：
连接$OE$。
因为$AC = BC$，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle A=\angle B = 45^{\circ}$。
因为$OA = OE$，所以$\angle A=\angle OEA = 45^{\circ}$，则$\angle AOE=180^{\circ}-\angle A - \angle OEA=90^{\circ}$。
又因为点$E$是$\widehat{DF}$的中点，所以$\widehat{DE}=\widehat{EF}$，根据圆心角与弧的关系，可得$\angle DOE=\angle EOF = 45^{\circ}$。
因为$\angle AOE = 90^{\circ}$，所以$\angle BOE=\angle AOE-\angle A = 45^{\circ}$。
在$\triangle BOE$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle BOE = 45^{\circ}$，则$\angle OEB=180^{\circ}-\angle B-\angle BOE = 90^{\circ}$。
因为$OE$是$\odot O$的半径，$OE\perp BC$，所以$BC$是$\odot O$的切线。
2. （2）**解**：
过点$O$作$OH\perp AC$于点$H$。
因为$\angle OEB=\angle C=\angle OHC = 90^{\circ}$，所以四边形$OEC H$是矩形。
又因为$\angle DOE=\angle OEH = 45^{\circ}$，所以$OH = EH$，则矩形$OEC H$是正方形。
因为$CE=\sqrt{2}$，所以$OE = OH=CE=\sqrt{2}$。
因为$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle OEB = 90^{\circ}$，所以$OB=\sqrt{2}OE = 2$。
则$S_{\triangle BOE}=\frac{1}{2}× OE× BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$。
$S_{扇形EOF}=\frac{45\pi× OE^{2}}{360}=\frac{45\pi×(\sqrt{2})^{2}}{360}=\frac{\pi}{4}$。
所以$S_{阴影}=S_{\triangle BOE}-S_{扇形EOF}=1 - \frac{\pi}{4}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）阴影部分面积为$1-\frac{\pi}{4}$。