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10. (2023，吉林)如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15 m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°，则$\widehat{AB}$的长为
10π
m.（结果保留π）答案
1. 首先明确弧长公式：
弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$表示弧长，$n$表示圆心角的度数，$r$表示圆的半径）。
2. 然后代入已知条件：
已知$n = 120^{\circ}$，$r = 15m$。
将$n = 120$，$r = 15$代入弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得：
$l=\frac{120\pi×15}{180}$。
先计算$\frac{120×15}{180}$，$120×15 = 1800$，$\frac{1800}{180}=10$。
所以$\widehat{AB}$的长为$10\pi m$。
弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$表示弧长，$n$表示圆心角的度数，$r$表示圆的半径）。
2. 然后代入已知条件：
已知$n = 120^{\circ}$，$r = 15m$。
将$n = 120$，$r = 15$代入弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得：
$l=\frac{120\pi×15}{180}$。
先计算$\frac{120×15}{180}$，$120×15 = 1800$，$\frac{1800}{180}=10$。
所以$\widehat{AB}$的长为$10\pi m$。
11. (2023，浙江金华)如图，点A在第一象限内，$\odot A$与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D.连接AB，过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证：四边形ABOH为矩形.
(2)已知$\odot A$的半径为4，$OB=\sqrt{7}$，求弦CD的长.
(1)求证：四边形ABOH为矩形.
(2)已知$\odot A$的半径为4，$OB=\sqrt{7}$，求弦CD的长.
答案
1. （1）**证明四边形$ABOH$为矩形**：
因为$\odot A$与$x$轴相切于点$B$，根据圆的切线性质可知$AB\perp x$轴，即$\angle ABO = 90^{\circ}$。
又因为$AH\perp CD$，$x$轴$\perp y$轴，所以$\angle AHO=\angle HOB = 90^{\circ}$。
在四边形$ABOH$中，$\angle ABO=\angle AHO=\angle HOB = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形），所以四边形$ABOH$为矩形。
2. （2）**求弦$CD$的长**：
解：连接$AC$。
因为四边形$ABOH$为矩形，所以$AH = OB=\sqrt{7}$。
在$Rt\triangle ACH$中，$AC$为$\odot A$的半径，$AC = 4$，$AH=\sqrt{7}$。
根据垂径定理，$CD = 2CH$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边）可得：
$CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}$，将$AC = 4$，$AH=\sqrt{7}$代入$CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}$中，即$CH=\sqrt{4^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}=\sqrt{16 - 7}=\sqrt{9}=3$。
因为$CD = 2CH$，所以$CD = 2×3 = 6$。
综上，（1）已证四边形$ABOH$为矩形；（2）弦$CD$的长为$6$。
因为$\odot A$与$x$轴相切于点$B$，根据圆的切线性质可知$AB\perp x$轴，即$\angle ABO = 90^{\circ}$。
又因为$AH\perp CD$，$x$轴$\perp y$轴，所以$\angle AHO=\angle HOB = 90^{\circ}$。
在四边形$ABOH$中，$\angle ABO=\angle AHO=\angle HOB = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形），所以四边形$ABOH$为矩形。
2. （2）**求弦$CD$的长**：
解：连接$AC$。
因为四边形$ABOH$为矩形，所以$AH = OB=\sqrt{7}$。
在$Rt\triangle ACH$中，$AC$为$\odot A$的半径，$AC = 4$，$AH=\sqrt{7}$。
根据垂径定理，$CD = 2CH$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边）可得：
$CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}$，将$AC = 4$，$AH=\sqrt{7}$代入$CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}$中，即$CH=\sqrt{4^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}=\sqrt{16 - 7}=\sqrt{9}=3$。
因为$CD = 2CH$，所以$CD = 2×3 = 6$。
综上，（1）已证四边形$ABOH$为矩形；（2）弦$CD$的长为$6$。
12. (2022，广东)如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC为$\odot O$的直径，∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由.
(2)若$AB=\sqrt{2}$，AD=1，求CD的长度.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由.
(2)若$AB=\sqrt{2}$，AD=1，求CD的长度.
答案
1. （1）
解：$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
理由：
因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$\angle ADB=\angle CDB$，$\angle ADB=\angle ACB$（同弧所对的圆周角相等，弧$AB$所对的圆周角$\angle ADB$和$\angle ACB$），$\angle CDB=\angle CAB$（同弧所对的圆周角相等，弧$BC$所对的圆周角$\angle CDB$和$\angle CAB$）。
所以$\angle CAB=\angle ACB$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle CAB=\angle ACB$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle CAB+\angle ACB+\angle ABC = 180^{\circ}$，$2\angle CAB+90^{\circ}=180^{\circ}$，解得$\angle CAB=\angle ACB = 45^{\circ}$。
所以$AB = BC$，故$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
2. （2）
解：因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
由（1）知$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AB = BC=\sqrt{2}$。
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，将$AB = BC=\sqrt{2}$代入可得：
$AC=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2 + 2}=\sqrt{4}=2$。
在$Rt\triangle ADC$中，已知$AD = 1$，$AC = 2$，根据勾股定理$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$。
把$AC = 2$，$AD = 1$代入得$CD=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
综上，（1）$\triangle ABC$是等腰直角三角形；（2）$CD$的长度为$\sqrt{3}$。
解：$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
理由：
因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$\angle ADB=\angle CDB$，$\angle ADB=\angle ACB$（同弧所对的圆周角相等，弧$AB$所对的圆周角$\angle ADB$和$\angle ACB$），$\angle CDB=\angle CAB$（同弧所对的圆周角相等，弧$BC$所对的圆周角$\angle CDB$和$\angle CAB$）。
所以$\angle CAB=\angle ACB$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle CAB=\angle ACB$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle CAB+\angle ACB+\angle ABC = 180^{\circ}$，$2\angle CAB+90^{\circ}=180^{\circ}$，解得$\angle CAB=\angle ACB = 45^{\circ}$。
所以$AB = BC$，故$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
2. （2）
解：因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
由（1）知$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AB = BC=\sqrt{2}$。
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，将$AB = BC=\sqrt{2}$代入可得：
$AC=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2 + 2}=\sqrt{4}=2$。
在$Rt\triangle ADC$中，已知$AD = 1$，$AC = 2$，根据勾股定理$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$。
把$AC = 2$，$AD = 1$代入得$CD=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
综上，（1）$\triangle ABC$是等腰直角三角形；（2）$CD$的长度为$\sqrt{3}$。
