登录
1. (2022,湖南)剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术,反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟。下列剪纸图形中,是中心对称图形的有(
A.②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
D
)。A.②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
解：中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。
①绕中心旋转180°后不能与原图形重合，不是中心对称图形；
②绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形；
③绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形；
④绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形。
是中心对称图形的有②③④。
答案：D
①绕中心旋转180°后不能与原图形重合，不是中心对称图形；
②绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形；
③绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形；
④绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形。
是中心对称图形的有②③④。
答案：D
2. (2023,山东潍坊)下列图形由正多边形和圆弧组成,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
D
)。答案
D
3. (2022,山东青岛)如图,将$\triangle ABC$先向右平移3个单位长度,再绕原点O旋转$180^\circ$,得到$\triangle A'B'C'$,则点A的对应点$A'$的坐标是(
A.$(2,0)$
B.$(-2,-3)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-3,-1)$
C
)。A.$(2,0)$
B.$(-2,-3)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-3,-1)$
答案
解：由图可知点A的坐标为(-2, 3)。
向右平移3个单位长度后坐标为(-2+3, 3)=(1, 3)。
绕原点O旋转180°后坐标为(-1, -3)。
答案：C
向右平移3个单位长度后坐标为(-2+3, 3)=(1, 3)。
绕原点O旋转180°后坐标为(-1, -3)。
答案：C
4. (2023,江苏无锡)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 55^\circ$,将$\triangle ABC逆时针旋转角\alpha(0^\circ＜\alpha＜55^\circ)$,得到$\triangle ADE$,DE交AC于点F。当$\alpha=40^\circ$时,点D恰好落在边BC上,此时$\angle AFE$等于(
A.$80^\circ$
B.$85^\circ$
C.$90^\circ$
D.$95^\circ$
B
)。A.$80^\circ$
B.$85^\circ$
C.$90^\circ$
D.$95^\circ$
答案
解：∵△ADE是由△ABC逆时针旋转α=40°得到，
∴AD=AB，∠BAD=α=40°，∠BAC=∠DAE=55°，∠C=∠E。
∵∠BAC=55°，∠BAD=40°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=55° - 40°=15°。
∵AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB。
∵∠BAD=40°，∠B+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠ADB=(180° - 40°)/2=70°。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C + ∠DAC，
∴∠C=∠ADB - ∠DAC=70° - 15°=55°，
∴∠E=∠C=55°。
∵∠DAE=55°，∠DAC=15°，
∴∠FAE=∠DAE - ∠DAC=55° - 15°=40°。
在△AFE中，∠AFE + ∠FAE + ∠E=180°，
∴∠AFE=180° - ∠FAE - ∠E=180° - 40° - 55°=85°。
答案：B
∴AD=AB，∠BAD=α=40°，∠BAC=∠DAE=55°，∠C=∠E。
∵∠BAC=55°，∠BAD=40°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=55° - 40°=15°。
∵AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB。
∵∠BAD=40°，∠B+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠ADB=(180° - 40°)/2=70°。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C + ∠DAC，
∴∠C=∠ADB - ∠DAC=70° - 15°=55°，
∴∠E=∠C=55°。
∵∠DAE=55°，∠DAC=15°，
∴∠FAE=∠DAE - ∠DAC=55° - 15°=40°。
在△AFE中，∠AFE + ∠FAE + ∠E=180°，
∴∠AFE=180° - ∠FAE - ∠E=180° - 40° - 55°=85°。
答案：B
5. (2023,天津)如图,把$\triangle ABC$以点A为中心逆时针旋转得到$\triangle ADE$,点B、C的对应点分别是点D、E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论中一定正确的是(
A.$\angle CAE= \angle BED$
B.$AB= AE$
C.$\angle ACE= \angle ADE$
D.$CE= BD$
C
)。A.$\angle CAE= \angle BED$
B.$AB= AE$
C.$\angle ACE= \angle ADE$
D.$CE= BD$
答案
【解析】：本题可根据旋转的性质，逐一分析选项。
选项A：判断$\angle CAE = \angle BED$是否成立
因为$\triangle ABC$以点$A$为中心逆时针旋转得到$\triangle ADE$，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，则$\angle CAB = \angle EAD$，$\angle BCA = \angle DEA$（全等三角形对应角相等）。
又因为$\angle CAE=\angle EAD - \angle CAD$，$\angle BED=\angle DEA - \angle BEA$，且$\angle EAD$与$\angle DEA$是对应角。
由旋转可知$\angle CAE$和$\angle BED$都与旋转角相关，$\angle CAE$和$\angle BED$是两组对应角相减得到的，根据旋转的性质可得$\angle CAE = \angle BED$，所以该选项正确。
选项B：判断$AB = AE$是否成立
根据旋转的性质，旋转前后对应边相等，$\triangle ABC$以点$A$为中心逆时针旋转得到$\triangle ADE$，则$AB = AD$，$AC = AE$，而不是$AB = AE$，所以该选项错误。
选项C：判断$\angle ACE = \angle ADE$是否成立
$\angle ACE$是$\triangle ABC$的一个外角，$\angle ADE$是$\triangle ABD$的一个内角，仅根据旋转的性质无法得出$\angle ACE = \angle ADE$，所以该选项错误。
选项D：判断$CE = BD$是否成立
虽然$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，但仅由此不能直接推出$CE = BD$，所以该选项错误。
【答案】：A
选项A：判断$\angle CAE = \angle BED$是否成立
因为$\triangle ABC$以点$A$为中心逆时针旋转得到$\triangle ADE$，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，则$\angle CAB = \angle EAD$，$\angle BCA = \angle DEA$（全等三角形对应角相等）。
又因为$\angle CAE=\angle EAD - \angle CAD$，$\angle BED=\angle DEA - \angle BEA$，且$\angle EAD$与$\angle DEA$是对应角。
由旋转可知$\angle CAE$和$\angle BED$都与旋转角相关，$\angle CAE$和$\angle BED$是两组对应角相减得到的，根据旋转的性质可得$\angle CAE = \angle BED$，所以该选项正确。
选项B：判断$AB = AE$是否成立
根据旋转的性质，旋转前后对应边相等，$\triangle ABC$以点$A$为中心逆时针旋转得到$\triangle ADE$，则$AB = AD$，$AC = AE$，而不是$AB = AE$，所以该选项错误。
选项C：判断$\angle ACE = \angle ADE$是否成立
$\angle ACE$是$\triangle ABC$的一个外角，$\angle ADE$是$\triangle ABD$的一个内角，仅根据旋转的性质无法得出$\angle ACE = \angle ADE$，所以该选项错误。
选项D：判断$CE = BD$是否成立
虽然$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，但仅由此不能直接推出$CE = BD$，所以该选项错误。
【答案】：A
6. (2023,湖南张家界)如图,AO为$\angle BAC$的平分线,且$\angle BAC= 50^\circ$,将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后,得到四边形$AB'O'C'$,且$\angle OAC'= 100^\circ$,则四边形ABOC旋转的角度是______。
75°
答案
解：∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC=50°，
∴∠BAO=∠OAC=25°。
∵四边形ABOC绕点A逆时针旋转得到四边形AB'O'C'，
∴AC'是AC旋转后的对应边，旋转角为∠CAC'。
∵∠OAC'=100°，∠OAC=25°，
∴∠CAC'=∠OAC'-∠OAC=100°-25°=75°。
故四边形ABOC旋转的角度是75°。
∴∠BAO=∠OAC=25°。
∵四边形ABOC绕点A逆时针旋转得到四边形AB'O'C'，
∴AC'是AC旋转后的对应边，旋转角为∠CAC'。
∵∠OAC'=100°，∠OAC=25°，
∴∠CAC'=∠OAC'-∠OAC=100°-25°=75°。
故四边形ABOC旋转的角度是75°。
7. (2022,广西贺州)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle OAB$为等腰三角形,$OA= AB= 5$,点B到x轴的距离为4。若将$\triangle OAB$绕点O逆时针旋转$90^\circ$,得到$\triangle OA'B'$,则点$B'$的坐标为
(-4,8)
。答案
解：设点A在x轴上，坐标为(a,0)，点B坐标为(b,4)。
∵OA=AB=5，
∴OA=a=5，即A(5,0)。
AB距离：√[(b-5)²+(4-0)²]=5，
∴(b-5)²+16=25，(b-5)²=9，b=8或b=2。
由图知点B在第一象限且在A右侧，∴b=8，B(8,4)。
绕点O逆时针旋转90°，点(x,y)→(-y,x)，
∴B'( -4,8)。
答案：(-4,8)
∵OA=AB=5，
∴OA=a=5，即A(5,0)。
AB距离：√[(b-5)²+(4-0)²]=5，
∴(b-5)²+16=25，(b-5)²=9，b=8或b=2。
由图知点B在第一象限且在A右侧，∴b=8，B(8,4)。
绕点O逆时针旋转90°，点(x,y)→(-y,x)，
∴B'( -4,8)。
答案：(-4,8)
8. (2023,江苏连云港)如图(见下页),以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心,按顺时针方向旋转,使得新五边形$A'B'C'D'E'的顶点D'$落在直线BC上,则正五边形ABCDE旋转的度数至少为______。
$72^{\circ}$
答案
【解析】：
本题考查正多边形的内角以及图形的旋转，我们需要先求出正五边形的内角的度数，再结合旋转的性质求出旋转的度数，由于新五边形$A'B'C'D'E'$的顶点$D'$落在直线$BC$上，所以需要找到使得$D'$落在直线$BC$上的最小旋转角度，因为正五边形的每个内角都相等，我们可以先求出正五边形的内角，再根据旋转的性质求出旋转角。
求正五边形的内角，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数且$n\geqslant 3$且$n$为整数），可得正五边形的内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}= 540^{\circ}$，因为正五边形的$5$个内角都相等，所以它的每个内角是$540^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$，即$\angle BCD = 108^{\circ}$。
求旋转角，连接$CD$，以正五边形$ABCDE$的顶点$C$为旋转中心，按顺时针方向旋转，要使新五边形$A'B'C'D'E'$的顶点$D'$落在直线$BC$上，观察图形可知，当$CD$旋转到与$BC$重合时，$D'$落在直线$BC$上，此时旋转角为$\angle DCD'$，在正五边形中，$BC = CD$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形，则$\angle CBD = \angle CDB$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle CBD=\angle CDB=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 108^{\circ}) = 36^{\circ}$，所以$\angle DCD' = 180^{\circ} - \angle CDB = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 72^{\circ}$，即正五边形$ABCDE$旋转的度数至少为$72^{\circ}$。
【答案】：$72^{\circ}$。
本题考查正多边形的内角以及图形的旋转，我们需要先求出正五边形的内角的度数，再结合旋转的性质求出旋转的度数，由于新五边形$A'B'C'D'E'$的顶点$D'$落在直线$BC$上，所以需要找到使得$D'$落在直线$BC$上的最小旋转角度，因为正五边形的每个内角都相等，我们可以先求出正五边形的内角，再根据旋转的性质求出旋转角。
求正五边形的内角，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数且$n\geqslant 3$且$n$为整数），可得正五边形的内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}= 540^{\circ}$，因为正五边形的$5$个内角都相等，所以它的每个内角是$540^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$，即$\angle BCD = 108^{\circ}$。
求旋转角，连接$CD$，以正五边形$ABCDE$的顶点$C$为旋转中心，按顺时针方向旋转，要使新五边形$A'B'C'D'E'$的顶点$D'$落在直线$BC$上，观察图形可知，当$CD$旋转到与$BC$重合时，$D'$落在直线$BC$上，此时旋转角为$\angle DCD'$，在正五边形中，$BC = CD$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形，则$\angle CBD = \angle CDB$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle CBD=\angle CDB=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 108^{\circ}) = 36^{\circ}$，所以$\angle DCD' = 180^{\circ} - \angle CDB = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 72^{\circ}$，即正五边形$ABCDE$旋转的度数至少为$72^{\circ}$。
【答案】：$72^{\circ}$。
