7. 如图,$ \triangle ABC $ 中,点 $ A $ 的坐标为 $ (0,1) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (4,3) $,回答下列问题(直接写出结果)：
(1) 点 $ A $ 关于原点对称的点的坐标为____；
(2) 点 $ C $ 关于 $ y $ 轴对称的点的坐标为____；
(3) 若 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle ABC $ 全等,则点 $ D $ 的坐标为____.

(1)$(0,-1)$;
(2)$(-4,3)$;
(3)$(4,-1)$或$(-1,3)$或$(-1,-1)$

8. 如图,求直线 $ y = 2x - 4 $ 关于原点对称的直线 $ A'B' $ 的解析式.

$y=2x+4$

解：在直线$y = 2x - 4$上取两点$A(2,0)$，$B(0,-4)$。
点$A(2,0)$关于原点对称的点$A'(-2,0)$，点$B(0,-4)$关于原点对称的点$B'(0,4)$。
设直线$A'B'$的解析式为$y = kx + b$，将$A'(-2,0)$，$B'(0,4)$代入得：
$\begin{cases}-2k + b = 0 \\ b = 4\end{cases}$
解得$k = 2$，$b = 4$。
故直线$A'B'$的解析式为$y = 2x + 4$。

9. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ P(-2,-1) $,点 $ T(t,0) $ 是 $ x $ 轴上的一个动点.
(1) 求点 $ P $ 关于原点的对称点 $ P' $ 的坐标；
(2) 当 $ t $ 取何值时,$ \triangle P'TO $ 是等腰三角形？

(1)$P'$的坐标为$(2,1)$;
(2)t的值为$-\sqrt{5}$,$\frac{5}{4}$,$\sqrt{5}$或4

10. 如图,抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $.
(1) 将点 $ C $ 向左平移 $ a(a ＞ 0) $ 个单位长度得到点 $ D $,点 $ D $ 关于原点的对称点 $ E $ 在抛物线上,求 $ a $ 的值；
(2) 点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ M $,将线段 $ AM $ 绕某点旋转 $ 180^{\circ} $ 得到线段 $ A'M' $(点 $ A $ 与点 $ A' $ 对应,点 $ M $ 与点 $ M' $ 对应).若点 $ A' $,$ M' $ 都在抛物线上,求点 $ A' $,$ M' $ 的坐标.

(1)$a=1+\sqrt{7}$;
(2)$A'(3,0)$,$M'(2,-3)$