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1. 下列关于 $ x $ 的方程一定是一元二次方程的是 ( )
A.$ ax^{2}+bx+c = 0 $
B.$ x^{2}+1 - x^{2}= 0 $
C.$ x^{2}+\frac{1}{x}= 2 $
D.$ x^{2}-x - 2 = 0 $
A.$ ax^{2}+bx+c = 0 $
B.$ x^{2}+1 - x^{2}= 0 $
C.$ x^{2}+\frac{1}{x}= 2 $
D.$ x^{2}-x - 2 = 0 $
答案
D
解析
A. 当 $a = 0$ 时，方程不是一元二次方程；
B. 化简后为 $1 = 0$，不是一元二次方程；
C. 方程中含有分式 $\frac{1}{x}$，不是整式方程，故不是一元二次方程；
D. 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程。
D
B. 化简后为 $1 = 0$，不是一元二次方程；
C. 方程中含有分式 $\frac{1}{x}$，不是整式方程，故不是一元二次方程；
D. 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程。
D
2. 方程 $ 2x^{2}-3x = 1 $ 化为一般式 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 后 $ a = 2 $,则 $ b $ 的值为 ( )
A.1
B.$ -1 $
C.3
D.$ -3 $
A.1
B.$ -1 $
C.3
D.$ -3 $
答案
D
解析
将方程$2x^{2}-3x = 1$移项，得$2x^{2}-3x - 1=0$，所以$b=-3$。
D
D
3. 关于 $ x $ 的方程 $ (m - 1)x^{2}+(m - 2)x + m - 3 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 需要满足的条件是______.
答案
m ≠ 1
解析
$m \neq 1$
4. 在 $ -4 $,$ -3 $,2,3 这列数中,是一元二次方程 $ x^{2}+x - 6 = 0 $ 的根的是______.
答案
-3,2
解析
解方程$x^{2}+x - 6 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 2)=0$，则$x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$。在$-4$，$-3$，$2$，$3$中，方程的根是$-3$，$2$。
$-3,2$
$-3,2$
5. 关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}-x + a = 0 $ 的一个根为 2,求 $ a $ 的值.
答案
a = -6
解析
因为方程$2x^{2}-x + a = 0$的一个根为$2$，将$x = 2$代入方程得：$2×2^{2}-2 + a=0$，即$2×4 - 2 + a = 0$，$8 - 2 + a = 0$，$6 + a = 0$，解得$a=-6$。
6. 下列方程化成一般形式后,二次项系数是 3,一次项系数是 $ -6 $,常数项是 1 的是 ( )
A.$ 3x^{2}+1 = 6x $
B.$ 3x^{2}-1 = 6x $
C.$ 3x^{2}+6x = 1 $
D.$ 3x^{2}-6x = 1 $
A.$ 3x^{2}+1 = 6x $
B.$ 3x^{2}-1 = 6x $
C.$ 3x^{2}+6x = 1 $
D.$ 3x^{2}-6x = 1 $
答案
A
解析
将各选项方程化为一般形式$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）：
选项A：$3x^{2}+1 = 6x$移项得$3x^{2}-6x+1=0$，二次项系数$3$，一次项系数$-6$，常数项$1$。
选项B：$3x^{2}-1 = 6x$移项得$3x^{2}-6x-1=0$，常数项$-1$，不符合。
选项C：$3x^{2}+6x = 1$移项得$3x^{2}+6x-1=0$，一次项系数$6$，常数项$-1$，不符合。
选项D：$3x^{2}-6x = 1$移项得$3x^{2}-6x-1=0$，常数项$-1$，不符合。
A
选项A：$3x^{2}+1 = 6x$移项得$3x^{2}-6x+1=0$，二次项系数$3$，一次项系数$-6$，常数项$1$。
选项B：$3x^{2}-1 = 6x$移项得$3x^{2}-6x-1=0$，常数项$-1$，不符合。
选项C：$3x^{2}+6x = 1$移项得$3x^{2}+6x-1=0$，一次项系数$6$，常数项$-1$，不符合。
选项D：$3x^{2}-6x = 1$移项得$3x^{2}-6x-1=0$，常数项$-1$，不符合。
A
7. 已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的一个根,求代数式 $ 3a^{2}-6a - 3 $ 的值.
答案
6
解析
解：因为$a$是方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的一个根，所以$a^{2}-2a - 3 = 0$，即$a^{2}-2a=3$。
$3a^{2}-6a - 3=3(a^{2}-2a)-3=3×3 - 3=9 - 3=6$。
6
$3a^{2}-6a - 3=3(a^{2}-2a)-3=3×3 - 3=9 - 3=6$。
6
8. 若一元二次方程 $ 2x^{2}-(m + 1)x + 1 = x(x - 1) $ 的一次项系数为 $ -2 $,求 $ m $ 的值.
答案
2
解析
将方程$2x^{2}-(m + 1)x + 1 = x(x - 1)$整理得：
$\begin{aligned}2x^{2}-(m + 1)x + 1 &= x^{2}-x\\2x^{2}-x^{2}-(m + 1)x + x + 1 &= 0\\x^{2}-mx + 1 &= 0\end{aligned}$
因为一次项系数为$-2$，所以$-m=-2$，解得$m=2$。
$2$
$\begin{aligned}2x^{2}-(m + 1)x + 1 &= x^{2}-x\\2x^{2}-x^{2}-(m + 1)x + x + 1 &= 0\\x^{2}-mx + 1 &= 0\end{aligned}$
因为一次项系数为$-2$，所以$-m=-2$，解得$m=2$。
$2$
