【例 1】下列各式中,是整式的有()
$-\dfrac{1}{3}x^{2}$,$2xy$,$2x + y$,$\dfrac{1}{x}$,$3$,$6x^{2}-y^{2}+1$。
A.$6$ 个
B.$5$ 个
C.$4$ 个
D.$3$ 个
思路分析：只要是单项式或多项式,就是整式。$-\dfrac{1}{3}x^{2}$,$2xy$,$3$ 是单项式；$2x + y$,$6x^{2}-y^{2}+1$ 是多项式。
答案：B

B

整式的定义：单项式和多项式统称为整式，单项式是数和字母的乘积，多项式是几个单项式的和。
$-\frac{1}{3}x^{2}$是数和字母的乘积，是单项式，所以是整式。
$2xy$是数和字母的乘积，是单项式，所以是整式。
$2x + y$是两个单项式的和，是多项式，所以是整式。
$\frac{1}{x}$的分母中含有字母，不是单项式也不是多项式，所以不是整式。
$3$是单独的一个数，是单项式，所以是整式。
$6x^{2}-y^{2}+1$是几个单项式的和，是多项式，所以是整式。
综上，整式有$-\frac{1}{3}x^{2}$，$2xy$，$2x + y$，$3$，$6x^{2}-y^{2}+1$，共$5$个。

【例 2】图 4 - 2 是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第 $5$ 个“广”字中的棋子个数是,第 $n$ 个“广”字中的棋子个数是。

思路分析：图 4 - 2①由 $7$ 个棋子摆成,图 4 - 2②,③,④分别由 $9$ 个,$11$ 个,$13$ 个棋子摆成。$7 = 2×1 + 5$,$9 = 2×2 + 5$,$11 = 2×3 + 5$,$13 = 2×4 + 5$,由此可得第 $5$ 个“广”字由 $2×5 + 5 = 15$(个)棋子摆成,第 $n$ 个“广”字由 $2×n + 5 = (2n + 5)$(个)棋子摆成。
答案：$15$ $2n + 5$

$15$；$2n+5$

题目中给出的“广”字图案由棋子摆成，依次观察图案①到④的棋子数分别为$7$、$9$、$11$、$13$。
可以发现，每个图案的棋子数满足公式：
棋子数 $= 2 × 序号数 + 5$，
如：
第$1$个图案：$2 × 1 + 5 = 7$，
第$2$个图案：$2 × 2 + 5 = 9$，
第$3$个图案：$2 × 3 + 5 = 11$，
第$4$个图案：$2 × 4 + 5 = 13$。
因此：
第$5$个图案的棋子数为：$2 × 5 + 5 = 15$，
第$n$个图案的棋子数为：$2 × n + 5 = 2n + 5$。

【例 3】四次单项式$(n + 1)·x^{m - 3}y^{m + 1}的系数为-3$,求 $m$,$n$ 的值。
思路分析：由单项式的定义求解。
解：依题意有 $m - 3 + m + 1 = 4$,且 $n + 1 = - 3$,解得 $m = 3$,$n = - 4$。

解：因为该单项式是四次单项式，所以所有字母的指数和为4，即$m - 3 + m + 1 = 4$；又因为系数为$-3$，所以$n + 1 = -3$。
解方程$m - 3 + m + 1 = 4$：
$\begin{aligned}m - 3 + m + 1 &= 4\\2m - 2 &= 4\\2m &= 6\\m &= 3\end{aligned}$
解方程$n + 1 = -3$得：$n = -4$。
综上，$m = 3$，$n = -4$。

【例 4】已知 $m$,$x$,$y$ 满足：①$\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} + 5\vert m\vert = 0$；②$-2a^{2}b^{y + 1}$与 $7b^{3}a^{2}$ 是同类项。求 $2x^{2}-6y^{2}+m(xy - 9y^{2})-(3x^{2}-3xy + 7y^{2})$ 的值。
思路分析：因为$\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} + 5\vert m\vert = 0$ 且 $\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2}$ 与 $5\vert m\vert$ 均为非负数,则只有 $\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} = 0$ 且 $5\vert m\vert = 0$ 时等式成立,从而求出 $x$,$m$ 的值。又根据 $-2a^{2}b^{y + 1}$ 与 $7b^{3}a^{2}$ 是同类项得到 $y + 1 = 3$,从而求出 $y$ 的值,把 $x$,$m$,$y$ 的值代入所求的式子即可求得结果。
解：因为 $\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} + 5\vert m\vert = 0$,$\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} \geqslant 0$ 且 $5\vert m\vert \geqslant 0$,所以 $x - 5 = 0$,$x = 5$,$m = 0$。因为 $-2a^{2}b^{y + 1}$ 与 $7b^{3}a^{2}$ 是同类项,所以 $y + 1 = 3$,$y = 2$。
又因为 $2x^{2}-6y^{2}+m(xy - 9y^{2})-(3x^{2}-3xy + 7y^{2}) = 2x^{2}-6y^{2}+mxy - 9my^{2}-3x^{2}+3xy - 7y^{2} = -x^{2}-13y^{2}-9my^{2}+mxy + 3xy$,
所以当 $x = 5$,$m = 0$,$y = 2$ 时,
原式 $= - 5^{2}-13×2^{2}-9×0×2^{2}+0×5×2 + 3×5×2 = - 25 - 52 + 30 = - 47$。

解：
由$\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} + 5\vert m\vert = 0$，
因为$\dfrac{2}{3}(x - 5)^{2} \geqslant 0$，$5\vert m\vert \geqslant 0$，
所以$x - 5 = 0$，
得$x = 5$；
$5\vert m\vert = 0$，
得$m = 0$。
因为$-2a^{2}b^{y + 1}$与$7b^{3}a^{2}$是同类项，
所以$y + 1 = 3$，
得$y = 2$。
将$x = 5$，$m = 0$，$y = 2$代入$2x^{2}-6y^{2}+m(xy - 9y^{2})-(3x^{2}-3xy + 7y^{2})$
$=(2x^{2}-6y^{2})+m(xy - 9y^{2})-(3x^{2}-3xy + 7y^{2})$
$=2x^{2}-6y^{2}+mxy - 9my^{2}-3x^{2}+3xy - 7y^{2}$
$=-x^{2}-13y^{2}-9my^{2}+mxy + 3xy$
$=-5^{2}-13×2^{2}-9×0×2^{2}+0×5×2 + 3×5×2$
$=-25 - 52+30$
$=-47$
综上，原式的值为$-47$。

【例 5】已知 $A = x^{2}-7x - 2$,$B = - 2x^{2}+4x - 1$。求：(1)$A - B$；(2)$2A + B$。
思路分析：根据题意列出式子,把 $A$,$B$ 看成整体,用括号括起来,再利用乘法分配律、去括号法则以及合并同类项进行化简。
解：(1)$A - B = (x^{2}-7x - 2)-(-2x^{2}+4x - 1) = x^{2}-7x - 2 + 2x^{2}-4x + 1 = 3x^{2}-11x - 1$。
(2)$2A + B = 2(x^{2}-7x - 2)+(-2x^{2}+4x - 1) = 2x^{2}-14x - 4 - 2x^{2}+4x - 1 = - 10x - 5$。

(1)
$A - B$
$=(x^{2} - 7x - 2)-(-2x^{2}+4x - 1)$
$=x^{2}-7x - 2 + 2x^{2}-4x + 1$
$=(x^{2}+2x^{2})+(-7x - 4x)+(-2 + 1)$
$=3x^{2}-11x - 1$
(2)
$2A + B$
$=2(x^{2}-7x - 2)+(-2x^{2}+4x - 1)$
$=2x^{2}-14x - 4 - 2x^{2}+4x - 1$
$=(2x^{2}-2x^{2})+(-14x + 4x)+(-4 - 1)$
$=-10x - 5$