7. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD于点E,BF⊥AD于点F.若CE=6,BF=3,EF=2,则AD的长为().


A.7
B.6
C.5
D.4

A

设∠BAF=θ，∵AB⊥CD，∴∠CDE=90°-θ。
在Rt△ABF中，BF=3，∠AFB=90°，则AB=3/sinθ，AF=3cotθ。
在Rt△CDE中，CE=6，∠CED=90°，则CD=6/cosθ，ED=6tanθ。
∵AB=CD，∴3/sinθ=6/cosθ，得tanθ=1/2，故cotθ=2，tanθ=1/2。
∴AF=3cotθ=6，ED=6tanθ=3。
设AD上点的顺序为A，E，F，D，∵EF=2，∴AE=AF-EF=6-2=4，FD=ED-EF=3-2=1（此处修正：应为AE=AF - EF=6 - 2=4，AD=AE + EF + FD，而FD=ED - (EF - (AF - AE))？不，直接由AF=AE + EF得AE=AF - EF=6 - 2=4；ED=FD + EF得FD=ED - EF=3 - 2=1。∴AD=AE + EF + FD=4 + 2 + 1=7。

8. (2024昆明盘龙区期末)小云不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图的四块(即图中标有①②③④的四块),你认为应该带哪一块去商店才能配一块与原来一样大小的三角形玻璃? 应该带第块去.

②

要配与原来一样大小的三角形玻璃，需确定三角形的形状和大小。第②块玻璃包含原三角形的两个角及夹边，根据“ASA”判定定理，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故带第②块可配出一样的三角形。

9. 如图,点D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE.若∠1+∠2=108°,则∠ABC的度数是.

63

∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，∴∠ABC=∠ADE。又∵AB=AD，∴△ABC≌△ADE(AAS)，∴∠ABC=∠ADE。设∠ABC=∠ADE=x，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=x（△ABD为等腰三角形）。∵∠1+∠2=108°，且∠1=∠BAD，∠2=∠CAE，∠BAD=∠CAE，∴∠BAD=∠CAE=54°。在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，即54°+x+x=180°，解得x=63°，故∠ABC=63°。

10. 如图,点C在BD上,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,AC⊥CE于点C,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.

由题意得：
$ AB \perp BD$，$ ED \perp BD$，
$\angle B = \angle D = 90°$。
$ AC \perp CE$，
$\angle ACB + \angle ECD = 90°$。
$\angle A + \angle ACB = 90°$，
$\angle A = \angle ECD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中：
$\begin{cases} \angle B = \angle D, \\ AB = CD, \\ \angle A = \angle ECD. \end{cases}$
根据$ ASA$（角边角）全等条件：
$\triangle ABC \cong \triangle CDE$。

11. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠1=∠2,AD=EC.
(1)求证:△ABD≌△EDC;
(2)若AB=2,BE=3,求CD的长.

(1) 证明：∵AB//CD，∴∠ABD=∠EDC（两直线平行，内错角相等）。在△ABD和△EDC中，∠1=∠2，∠ABD=∠EDC，AD=EC，∴△ABD≌△EDC（AAS）。
(2) ∵△ABD≌△EDC，∴AB=ED=2。∵BE=3，∴BD=BE+ED=3+2=5。∵△ABD≌△EDC，∴BD=CD，∴CD=5。

12. (模型观念)如图,∠BCA=∠α,CA=CB,C,E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC=∠CFA=∠α,请提出对EF,BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明.

猜想：EF=BE+AF。
证明：
∵∠BEC=∠CFA=∠BCA=∠α，
∴在△BEC中，∠EBC=180°-∠BEC-∠BCE=180°-α-∠BCE。
∵C，E，F在直线CD上，
∴∠ECF=180°，即∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠ACF=180°-∠BCA-∠BCE=180°-α-∠BCE，
∴∠EBC=∠ACF。
在△BEC和△CFA中，
∠BEC=∠CFA，
∠EBC=∠FCA，
CB=CA，
∴△BEC≌△CFA(AAS)，
∴BE=CF，EC=AF。
∵EF=EC+CF，
∴EF=AF+CF=AF+BE，
即EF=BE+AF。
结论：EF=BE+AF。