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11. 如图,已知线段 $ AB $,$ a $,$ b $。
(1) 请按下列要求尺规作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹)：
① 延长线段 $ AB $ 到点 $ C $,使 $ BC = a $。
② 反向延长线段 $ AB $ 到点 $ D $,使 $ AD = b - a $。
(2) 在 (1) 的条件下,如果 $ AB = 8\mathrm{cm} $,$ a = 6\mathrm{cm} $,$ b = 10\mathrm{cm} $,且点 $ E $ 为 $ CD $ 的中点,求线段 $ AE $ 的长度。
(1) 请按下列要求尺规作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹)：
① 延长线段 $ AB $ 到点 $ C $,使 $ BC = a $。
② 反向延长线段 $ AB $ 到点 $ D $,使 $ AD = b - a $。
(2) 在 (1) 的条件下,如果 $ AB = 8\mathrm{cm} $,$ a = 6\mathrm{cm} $,$ b = 10\mathrm{cm} $,且点 $ E $ 为 $ CD $ 的中点,求线段 $ AE $ 的长度。
答案
（1）①②作图痕迹略。
（2）
由题意知$AB = 8cm$，$BC = a = 6cm$，$AD = b - a = 10 - 6 = 4cm$，
$\therefore DC=DA + AB + BC=4 + 8 + 6 = 18cm$，
$\because E$为$CD$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}DC = 9cm$，
$\therefore AE = DE - DA=9 - 4 = 5cm$。
综上，线段$AE$的长度为$5cm$。
（2）
由题意知$AB = 8cm$，$BC = a = 6cm$，$AD = b - a = 10 - 6 = 4cm$，
$\therefore DC=DA + AB + BC=4 + 8 + 6 = 18cm$，
$\because E$为$CD$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}DC = 9cm$，
$\therefore AE = DE - DA=9 - 4 = 5cm$。
综上，线段$AE$的长度为$5cm$。
12. 画线段 $ AB = 1 $ 厘米,延长 $ AB $ 至点 $ C $,使 $ AC = 2AB $,反向延长 $ AB $ 至点 $ E $,使 $ AE = \frac{1}{3}CE $。
(1) 求线段 $ CE $ 的长；
(2) 线段 $ AC $ 是线段 $ CE $ 的几分之几？
(3) 线段 $ CE $ 是线段 $ BC $ 的几倍？
(1) 求线段 $ CE $ 的长；
(2) 线段 $ AC $ 是线段 $ CE $ 的几分之几？
(3) 线段 $ CE $ 是线段 $ BC $ 的几倍？
答案
(1) 因为 $ AB = 1 $ 厘米，$ AC = 2AB $，所以 $ AC = 2 × 1 = 2 $ 厘米。设 $ AE = x $ 厘米，反向延长 $ AB $ 至 $ E $，则 $ CE = AE + AC = x + 2 $。由 $ AE = \frac{1}{3}CE $，得 $ x = \frac{1}{3}(x + 2) $，解得 $ x = 1 $。因此 $ CE = 1 + 2 = 3 $ 厘米。
(2) $ AC = 2 $ 厘米，$ CE = 3 $ 厘米，所以 $ \frac{AC}{CE} = \frac{2}{3} $。
(3) $ BC = AC - AB = 2 - 1 = 1 $ 厘米，$ CE = 3 $ 厘米，所以 $ CE $ 是 $ BC $ 的 $ 3 ÷ 1 = 3 $ 倍。
(1) 3厘米
(2) $\frac{2}{3}$
(3) 3倍
(2) $ AC = 2 $ 厘米，$ CE = 3 $ 厘米，所以 $ \frac{AC}{CE} = \frac{2}{3} $。
(3) $ BC = AC - AB = 2 - 1 = 1 $ 厘米，$ CE = 3 $ 厘米，所以 $ CE $ 是 $ BC $ 的 $ 3 ÷ 1 = 3 $ 倍。
(1) 3厘米
(2) $\frac{2}{3}$
(3) 3倍
13. 如图,一只蚂蚁要沿着正方体表面从点 $ A $ 爬到点 $ B $,画出它爬行的最短路径(下底面不可通行)。
答案
本题可通过将正方体展开，利用两点之间线段最短的原理来确定蚂蚁爬行的最短路径。
步骤一：分析正方体的展开图
将正方体展开成平面图形，由于下底面不可通行，所以需要考虑不同的展开方式，找出点$A$和点$B$之间的最短路径。
正方体有三种展开方式可使$A$、$B$在同一平面上，下面以其中一种展开方式为例进行说明（其他展开方式分析方法相同）。
把正方体的前面和右面展开在一个平面上，此时得到一个长方形，点$A$和点$B$分别为长方形的两个顶点。
步骤二：确定最短路径
根据两点之间线段最短，在展开的平面图形中连接$A$、$B$两点，所得线段即为蚂蚁爬行的最短路径。
具体画图方法：在正方体展开图中，用直尺连接$A$、$B$两点。
由于无法在文本中直接画图，描述如下：将正方体前表面和右表面展开在同一平面，形成一个长方形，点$A$位于长方形的一个顶点，点$B$位于相对的另一个顶点，用直线连接$A$、$B$两点，该直线即为蚂蚁爬行的最短路径。 （实际作答时需在给出的图中准确画出）。
步骤一：分析正方体的展开图
将正方体展开成平面图形，由于下底面不可通行，所以需要考虑不同的展开方式，找出点$A$和点$B$之间的最短路径。
正方体有三种展开方式可使$A$、$B$在同一平面上，下面以其中一种展开方式为例进行说明（其他展开方式分析方法相同）。
把正方体的前面和右面展开在一个平面上，此时得到一个长方形，点$A$和点$B$分别为长方形的两个顶点。
步骤二：确定最短路径
根据两点之间线段最短，在展开的平面图形中连接$A$、$B$两点，所得线段即为蚂蚁爬行的最短路径。
具体画图方法：在正方体展开图中，用直尺连接$A$、$B$两点。
由于无法在文本中直接画图，描述如下：将正方体前表面和右表面展开在同一平面，形成一个长方形，点$A$位于长方形的一个顶点，点$B$位于相对的另一个顶点，用直线连接$A$、$B$两点，该直线即为蚂蚁爬行的最短路径。 （实际作答时需在给出的图中准确画出）。
14. 已知数轴上三点 $ M $,$ O $,$ N $ 对应的数分别为 $ - 1 $,$ 0 $,$ 3 $,点 $ P $ 为数轴上任意一点,其对应的数为 $ x $。
(1) $ MN $ 的长为
(2) 当点 $ P $ 至点 $ M $、点 $ N $ 的距离相等时,求 $ x $ 的值；
(3) 数轴上是否存在点 $ P $,使点 $ P $ 到点 $ M $、点 $ N $ 的距离之和是 $ 8 $？若存在,求出 $ x $ 的值；若不存在,请说明理由。
(1) $ MN $ 的长为
4
；(2) 当点 $ P $ 至点 $ M $、点 $ N $ 的距离相等时,求 $ x $ 的值；
(3) 数轴上是否存在点 $ P $,使点 $ P $ 到点 $ M $、点 $ N $ 的距离之和是 $ 8 $？若存在,求出 $ x $ 的值；若不存在,请说明理由。
答案
(1) $MN$的长为：$3 - (-1)=4 + 1 - 0= 4$。
(2)因为点$P$到点$M$、点$N$的距离相等，则$P$为$MN$中点，
根据中点坐标公式可得$x=\frac{-1 + 3}{2}=1$。
(3)存在，
当$P$在$M$左侧时，
$(-1 - x)+(3 - x)=8$，
$-1 - x + 3 - x=8$，
$-2x+2 = 8$，
$-2x=6$，
$x=-3$；
当$P$在$N$右侧时，
$(x - (-1))+(x - 3)=8$，
$x + 1+x - 3=8$，
$2x-2 = 8$，
$2x=10$，
$x = 5$。
综上，$x$的值为$-3$或$5$。
(2)因为点$P$到点$M$、点$N$的距离相等，则$P$为$MN$中点，
根据中点坐标公式可得$x=\frac{-1 + 3}{2}=1$。
(3)存在，
当$P$在$M$左侧时，
$(-1 - x)+(3 - x)=8$，
$-1 - x + 3 - x=8$，
$-2x+2 = 8$，
$-2x=6$，
$x=-3$；
当$P$在$N$右侧时，
$(x - (-1))+(x - 3)=8$，
$x + 1+x - 3=8$，
$2x-2 = 8$，
$2x=10$，
$x = 5$。
综上，$x$的值为$-3$或$5$。
