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4. 如图,有一段斜坡$BC长为10 m$,坡角$\angle CBD = 12^{\circ}$,现准备把坡角降为$5^{\circ}$。
(1)求坡高$CD$。
(2)求斜坡新起点$A与原起点B$之间的距离。(结果精确到$0.1 m$)
(参考数据：$\sin12^{\circ}\approx0.21$,$\cos12^{\circ}\approx0.98$,$\tan12^{\circ}\approx0.21$,$\sin5^{\circ}\approx0.09$,$\cos5^{\circ}\approx0.99$,$\tan5^{\circ}\approx0.09$)
(1)求坡高$CD$。
(2)求斜坡新起点$A与原起点B$之间的距离。(结果精确到$0.1 m$)
(参考数据：$\sin12^{\circ}\approx0.21$,$\cos12^{\circ}\approx0.98$,$\tan12^{\circ}\approx0.21$,$\sin5^{\circ}\approx0.09$,$\cos5^{\circ}\approx0.99$,$\tan5^{\circ}\approx0.09$)
答案
4.解:
(1)在$Rt\triangle BCD$中，
$CD=BC\cdot\sin12^{\circ}\approx10×0.21=2.1(m)$.
(2)在$Rt\triangle BCD$中，
$BD=BC\cdot\cos12^{\circ}\approx10×0.98=9.8(m)$，
在$Rt\triangle ACD$中，
$AD=\frac{CD}{\tan5^{\circ}}\approx\frac{2.1}{0.09}\approx23.33(m)$，
$AB=AD-BD\approx23.33-9.8=13.53\approx13.5(m)$.
答:坡高$CD$约为$2.1\ m$,斜坡新起点与原起点之间的距离约为$13.5\ m$.
(1)在$Rt\triangle BCD$中，
$CD=BC\cdot\sin12^{\circ}\approx10×0.21=2.1(m)$.
(2)在$Rt\triangle BCD$中，
$BD=BC\cdot\cos12^{\circ}\approx10×0.98=9.8(m)$，
在$Rt\triangle ACD$中，
$AD=\frac{CD}{\tan5^{\circ}}\approx\frac{2.1}{0.09}\approx23.33(m)$，
$AB=AD-BD\approx23.33-9.8=13.53\approx13.5(m)$.
答:坡高$CD$约为$2.1\ m$,斜坡新起点与原起点之间的距离约为$13.5\ m$.
5. 如图,天空中有一个静止的广告气球$C$,从地面点$A处测得气球C的仰角为45^{\circ}$,从地面点$B处测得气球C的仰角为60^{\circ}$。已知$AB = 20 m$,气球$C和直线AB$在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度。(结果精确到$0.1 m$,$\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
5.$47.3\ m$
解析
解：设气球离地面的高度为$h\ m$，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，则$CD = h$。
在$Rt \triangle ACD$中，$\angle CAD = 45°$，$\tan 45° = \frac{CD}{AD} = 1$，$\therefore AD = CD = h$。
在$Rt \triangle BCD$中，$\angle CBD = 60°$，$\tan 60° = \frac{CD}{BD} = \sqrt{3}$，$\therefore BD = \frac{CD}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$。
$\because AB = AD - BD = 20\ m$，$\therefore h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 20$。
解得$h = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 30 + 10\sqrt{3}$。
$\because \sqrt{3} \approx 1.73$，$\therefore h \approx 30 + 10 × 1.73 = 47.3\ m$。
答：气球离地面的高度约为$47.3\ m$。
在$Rt \triangle ACD$中，$\angle CAD = 45°$，$\tan 45° = \frac{CD}{AD} = 1$，$\therefore AD = CD = h$。
在$Rt \triangle BCD$中，$\angle CBD = 60°$，$\tan 60° = \frac{CD}{BD} = \sqrt{3}$，$\therefore BD = \frac{CD}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$。
$\because AB = AD - BD = 20\ m$，$\therefore h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 20$。
解得$h = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 30 + 10\sqrt{3}$。
$\because \sqrt{3} \approx 1.73$，$\therefore h \approx 30 + 10 × 1.73 = 47.3\ m$。
答：气球离地面的高度约为$47.3\ m$。
6. 如图,某飞机于空中探测某座山的高度。此时飞机的飞行高度$AF = 3.7 km$,从飞机上观测山顶目标$C的俯角是30^{\circ}$。飞机继续以相同的高度飞行$3 km到B$处,此时观测目标$C的俯角是60^{\circ}$。求此山的高度$CD$。(结果精确到$0.01 km$,$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)
答案
6.$CD\approx1.10\ km$
解析
解：设 $ CE = x \, km $，
在 $ Rt\triangle AEC $ 中，$ \angle CAE = 30° $，$\tan 30° = \frac{CE}{AE} = \frac{x}{AE}$，则 $ AE = \frac{x}{\tan 30°} = \sqrt{3}x $。
在 $ Rt\triangle BEC $ 中，$ \angle CBE = 60° $，$\tan 60° = \frac{CE}{BE} = \frac{x}{BE}$，则 $ BE = \frac{x}{\tan 60°} = \frac{x}{\sqrt{3}} $。
由题意得 $ AE - BE = AB = 3 \, km $，即 $ \sqrt{3}x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 3 $，
通分：$ \frac{3x - x}{\sqrt{3}} = 3 $，$ \frac{2x}{\sqrt{3}} = 3 $，解得 $ x = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598 \, km $。
山高 $ CD = AF - CE = 3.7 - 2.598 \approx 1.10 \, km $。
答：此山的高度 $ CD \approx 1.10 \, km $。
在 $ Rt\triangle AEC $ 中，$ \angle CAE = 30° $，$\tan 30° = \frac{CE}{AE} = \frac{x}{AE}$，则 $ AE = \frac{x}{\tan 30°} = \sqrt{3}x $。
在 $ Rt\triangle BEC $ 中，$ \angle CBE = 60° $，$\tan 60° = \frac{CE}{BE} = \frac{x}{BE}$，则 $ BE = \frac{x}{\tan 60°} = \frac{x}{\sqrt{3}} $。
由题意得 $ AE - BE = AB = 3 \, km $，即 $ \sqrt{3}x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 3 $，
通分：$ \frac{3x - x}{\sqrt{3}} = 3 $，$ \frac{2x}{\sqrt{3}} = 3 $，解得 $ x = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598 \, km $。
山高 $ CD = AF - CE = 3.7 - 2.598 \approx 1.10 \, km $。
答：此山的高度 $ CD \approx 1.10 \, km $。
