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7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为BC$上一点,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle ADC = 60^{\circ}$,$BD = 1$。求$AB$的长。
答案
7.解:在$Rt\triangle ADC$中,设$DC=x$，
由$\angle ADC=60^{\circ}$,可知$\angle DAC=30^{\circ}$，
得$AD=2x,AC=\sqrt{3}x$.
在$Rt\triangle ABC$中,由$\angle ABC=45^{\circ},BD=1$，
$BD+DC=BC=AC$,得$1+x=\sqrt{3}x$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
$\therefore AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{6}x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.
由$\angle ADC=60^{\circ}$,可知$\angle DAC=30^{\circ}$，
得$AD=2x,AC=\sqrt{3}x$.
在$Rt\triangle ABC$中,由$\angle ABC=45^{\circ},BD=1$，
$BD+DC=BC=AC$,得$1+x=\sqrt{3}x$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
$\therefore AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{6}x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.
8. 如图,一渔船正以每小时$30$海里的速度由西向东航行,在$A处看见小岛C在船的北偏东60^{\circ}$方向上,$40 min$后,渔船行至$B$处,此时看见小岛$C在船的北偏东30^{\circ}$方向上,若以小岛$C$为中心,周围$10$海里是危险区,这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？
答案
8.解:作$CD\perp AB$,垂足为$D$,设$CD=x$海里$(x＞0)$.
在$Rt\triangle CDB$中，
$\tan60^{\circ}=\frac{CD}{BD}$,故$BD=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
在$Rt\triangle CDA$中，
$\tan30^{\circ}=\frac{CD}{AD}$,故$AD=\sqrt{3}x$.
由$AB=AD-BD=\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)x=30×\frac{40}{60}$，
得$x=10\sqrt{3}$.
$CD=10\sqrt{3}＞10$,故这艘渔船继续向东航行不会进入危险区.
在$Rt\triangle CDB$中，
$\tan60^{\circ}=\frac{CD}{BD}$,故$BD=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
在$Rt\triangle CDA$中，
$\tan30^{\circ}=\frac{CD}{AD}$,故$AD=\sqrt{3}x$.
由$AB=AD-BD=\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)x=30×\frac{40}{60}$，
得$x=10\sqrt{3}$.
$CD=10\sqrt{3}＞10$,故这艘渔船继续向东航行不会进入危险区.
