7. 如图24-3-7,正五边形$ABCDE和正三角形AMN都是\odot O$的内接多边形,则$\angle BOM = $$^{\circ}$。

48°

正五边形$ABCDE$的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，故$\angle AOB=72°$。正三角形$AMN$的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，即$\angle AOM=120°$。所以$\angle BOM=\angle AOM - \angle AOB=120° - 72°=48°$。
$48$

8. 如图24-3-8,$\odot O外接于正方形ABCD$,$P为弧AD$上一点,且$AP = 1$,$PC = 3$,求正方形$ABCD的边长和PB$的长。

解:如图,连接 AC,作$AE⊥PB$,垂足为 E。
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=∠BCD=90°,∠ACB=45°,
∴ AC 是⊙O 的直径,△ABC 是等腰直角三角形,
∴ ∠APC=90°,AC=$\sqrt{2}AB$,
∴ $AC=\sqrt{AP^{2}+PC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,
∴ $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$。
∵ ∠APB=∠ACB=45°,$AE⊥PB$,
∴ △APE 是等腰直角三角形,
∴ $PE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}AP=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴ $PB=PE+BE=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。

9. 如图24-3-9①②③,$M$,$N分别是\odot O的内接正三角形ABC$、正方形$ABCD$、正五边形$ABCDE…$、正$n边形ABCDEFG…的边AB$,$BC$上的点,且$BM = CN$,连接$OM$,$ON$。

(1)求图①中$\angle MON$的度数；
(2)在图②中,$\angle MON$的度数是______,在图③中$\angle MON$的度数是______；
(3)试探究$\angle MON的度数与正n边形边数n$的关系(直接写出答案)。

解:
(1)如图,连接 OB,OC。
∵ 正三角形 ABC 内接于⊙O,
∴ ∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°。又
∵ BM=CN,OB=OC,
∴ △OBM≌△OCN(SAS),
∴ ∠BOM=∠CON,
∴ ∠MON=∠BOC =120°。
(2)90° 72°
(3)∠MON=$\frac{360°}{n}$