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8. 如图,已知OP是∠AOB的平分线,若点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的是(
A.PC⊥OA,PD⊥OB
B.OC= OD
C.∠OPC= ∠OPD
D.PC= PD
D
)。A.PC⊥OA,PD⊥OB
B.OC= OD
C.∠OPC= ∠OPD
D.PC= PD
答案
D
解析
解：
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠POC=∠POD，OP=OP。
A. PC⊥OA，PD⊥OB，则∠PCO=∠PDO=90°，
根据AAS可判定△POC≌△POD；
B. OC=OD，
根据SAS可判定△POC≌△POD；
C. ∠OPC=∠OPD，
根据ASA可判定△POC≌△POD；
D. PC=PD，SSA不能判定三角形全等。
答案：D
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠POC=∠POD，OP=OP。
A. PC⊥OA，PD⊥OB，则∠PCO=∠PDO=90°，
根据AAS可判定△POC≌△POD；
B. OC=OD，
根据SAS可判定△POC≌△POD；
C. ∠OPC=∠OPD，
根据ASA可判定△POC≌△POD；
D. PC=PD，SSA不能判定三角形全等。
答案：D
9. 如图,∠MON内有一点P,点P与点G,H分别关于OM,ON对称,连接GH,分别交OM,ON于点A,B。若GH的长为10cm,则△PAB的周长为(
A.5cm
B.10cm
C.20cm
D.15cm
B
)。A.5cm
B.10cm
C.20cm
D.15cm
答案
B
解析
解：
∵点P与点G关于OM对称，
∴OM垂直平分PG，
∴AG=AP。
∵点P与点H关于ON对称，
∴ON垂直平分PH，
∴BH=BP。
∵GH=10cm，GH=AG+AB+BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP=AG+AB+BH=GH=10cm。
答案：B
∵点P与点G关于OM对称，
∴OM垂直平分PG，
∴AG=AP。
∵点P与点H关于ON对称，
∴ON垂直平分PH，
∴BH=BP。
∵GH=10cm，GH=AG+AB+BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP=AG+AB+BH=GH=10cm。
答案：B
10. 如图,已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB＞∠EO'F),分别以点O,O'为圆心,以同样长为半径画弧,分别交OA,OB于点A',B',交O'E,O'F于点E',F'。以点B'为圆心,以E'F'长为半径画弧,在∠AOB的内部交弧A'B'于点H。下列结论正确的是(
A.∠AOB= 2∠EO'F
B.∠AOH= ∠EO'F
C.∠AOH= ∠BOH
D.∠HOB= ∠EO'F
D
)。A.∠AOB= 2∠EO'F
B.∠AOH= ∠EO'F
C.∠AOH= ∠BOH
D.∠HOB= ∠EO'F
答案
D
解析
由题意知，以点$O$为圆心画弧交$OA$，$OB$于$A'$，$B'$，则$OA' = OB'$；以点$O'$为圆心画同样长半径的弧交$O'E$，$O'F$于$E'$，$F'$，则$O'E' = O'F' = OA' = OB'$，故$\triangle A'OB'$与$\triangle E'O'F'$为等半径的扇形的弦所对的三角形。
以点$B'$为圆心，$E'F'$长为半径画弧交弧$A'B'$于点$H$，则$B'H = E'F'$。在等圆或同圆中，等弦所对的圆心角相等，所以$\angle HO B' = \angle E'O'F$，即$\angle HOB = \angle E'O'F$。
D
以点$B'$为圆心，$E'F'$长为半径画弧交弧$A'B'$于点$H$，则$B'H = E'F'$。在等圆或同圆中，等弦所对的圆心角相等，所以$\angle HO B' = \angle E'O'F$，即$\angle HOB = \angle E'O'F$。
D
11. 如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'上。若AB= 6,BC= 9,则BF的长为(
A.3
B.4
C.4.5
D.5
B
)。A.3
B.4
C.4.5
D.5
答案
B
解析
解：设$BF = x$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB = CD = 6$，$BC = AD = 9$，$\angle B = 90°$。
∵$C'$是$AB$中点，
∴$BC'=\frac{1}{2}AB = 3$。
由折叠性质得：$CF = C'F = BC - BF = 9 - x$。
在$Rt\triangle BC'F$中，$BC'^2 + BF^2 = C'F^2$，
即$3^2 + x^2=(9 - x)^2$，
解得$x = 4$。
∴$BF = 4$。
B
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB = CD = 6$，$BC = AD = 9$，$\angle B = 90°$。
∵$C'$是$AB$中点，
∴$BC'=\frac{1}{2}AB = 3$。
由折叠性质得：$CF = C'F = BC - BF = 9 - x$。
在$Rt\triangle BC'F$中，$BC'^2 + BF^2 = C'F^2$，
即$3^2 + x^2=(9 - x)^2$，
解得$x = 4$。
∴$BF = 4$。
B
12. 如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D,下列结论：①EF= BE+CF；②∠BOC= 90°+\$\frac{1}{2}\$∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD= m,AE+AF= 2n,则S_{△AEF}= mn。其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
证明：①
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO。
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=EO。
同理，CF=FO，
∴EF=EO+FO=BE+CF，①正确。
②
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB。
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)。
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，②正确。
③
∵O为∠ABC和∠ACB平分线交点，
∴O是△ABC内心，
∴点O到△ABC各边距离相等，③正确。
④过O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，
∵O为内心，
∴OG=OD=OH=m。
S_{△AEF}=S_{△AOE}+S_{△AOF}=$\frac{1}{2}$AE·OG+$\frac{1}{2}$AF·OD=$\frac{1}{2}$m(AE+AF)=mn，④正确。
综上，①②③④均正确，答案为D。
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO。
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=EO。
同理，CF=FO，
∴EF=EO+FO=BE+CF，①正确。
②
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB。
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)。
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，②正确。
③
∵O为∠ABC和∠ACB平分线交点，
∴O是△ABC内心，
∴点O到△ABC各边距离相等，③正确。
④过O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，
∵O为内心，
∴OG=OD=OH=m。
S_{△AEF}=S_{△AOE}+S_{△AOF}=$\frac{1}{2}$AE·OG+$\frac{1}{2}$AF·OD=$\frac{1}{2}$m(AE+AF)=mn，④正确。
综上，①②③④均正确，答案为D。
13. 如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA于点D,AC⊥BO于点C,则关于直线OE对称的三角形有
4
对。答案
4
解析
证明：
∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥BO，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，
又OE=OE，
∴△ODE≌△OCE（AAS），即△ODE与△OCE关于OE对称；
∵∠AEO=∠BEO（对顶角相等），∠OAE=∠OBE（等角的余角相等），OE=OE，
∴△OAE≌△OBE（AAS），即△OAE与△OBE关于OE对称；
∵AD=BC（全等三角形对应边相等），∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴△ADE≌△BCE（AAS），即△ADE与△BCE关于OE对称；
∵AC=BD（角平分线性质），OA=OB（全等三角形对应边相等），OC=OD（全等三角形对应边相等），
∴△OAC≌△OBD（SSS），即△OAC与△OBD关于OE对称。
综上，关于直线OE对称的三角形有4对。
4
∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥BO，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，
又OE=OE，
∴△ODE≌△OCE（AAS），即△ODE与△OCE关于OE对称；
∵∠AEO=∠BEO（对顶角相等），∠OAE=∠OBE（等角的余角相等），OE=OE，
∴△OAE≌△OBE（AAS），即△OAE与△OBE关于OE对称；
∵AD=BC（全等三角形对应边相等），∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴△ADE≌△BCE（AAS），即△ADE与△BCE关于OE对称；
∵AC=BD（角平分线性质），OA=OB（全等三角形对应边相等），OC=OD（全等三角形对应边相等），
∴△OAC≌△OBD（SSS），即△OAC与△OBD关于OE对称。
综上，关于直线OE对称的三角形有4对。
4
