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11. 如图,在矩形ABCD中,$BD=2\sqrt{5}$,AB在x轴上,且点A的横坐标为−1.若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为 (
A.$(2+\sqrt{5},0)$
B.$(2\sqrt{5}+1,0)$
C.$(2\sqrt{5}-1,0)$
D.$(2\sqrt{5},0)$
第11题图 第12题图
C
)A.$(2+\sqrt{5},0)$
B.$(2\sqrt{5}+1,0)$
C.$(2\sqrt{5}-1,0)$
D.$(2\sqrt{5},0)$
第11题图 第12题图
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先利用矩形对角线相等的性质，得到对角线AC的长度，也就是所作弧的半径AM的长度；再结合点A的坐标，根据x轴上两点间的距离规律，即可求出点M的横坐标，进而得到M的坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得AC=BD。
已知BD=2√5，
∴AC=2√5。
由作图可知，AM是以A为圆心、AC长为半径的圆的半径，因此AM=AC=2√5。
∵点A在x轴上，横坐标为-1，
∴A点坐标为(-1, 0)。
设点M的坐标为(m, 0)（m＞0），x轴上两点间的距离为横坐标之差（右减左），因此AM = m - (-1) = m+1。
代入AM=2√5，得m+1=2√5，解得m=2√5 -1，即点M的坐标为(2√5 -1, 0)。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，圆的定义，数轴上两点距离
【点评】
本题是基础几何应用题，将矩形性质和圆的基本定义结合考查，解题的核心是找到半径AM的长度，再结合坐标的特征计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先利用矩形对角线相等的性质，得到对角线AC的长度，也就是所作弧的半径AM的长度；再结合点A的坐标，根据x轴上两点间的距离规律，即可求出点M的横坐标，进而得到M的坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得AC=BD。
已知BD=2√5，
∴AC=2√5。
由作图可知，AM是以A为圆心、AC长为半径的圆的半径，因此AM=AC=2√5。
∵点A在x轴上，横坐标为-1，
∴A点坐标为(-1, 0)。
设点M的坐标为(m, 0)（m＞0），x轴上两点间的距离为横坐标之差（右减左），因此AM = m - (-1) = m+1。
代入AM=2√5，得m+1=2√5，解得m=2√5 -1，即点M的坐标为(2√5 -1, 0)。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，圆的定义，数轴上两点距离
【点评】
本题是基础几何应用题，将矩形性质和圆的基本定义结合考查，解题的核心是找到半径AM的长度，再结合坐标的特征计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交边BC于点E,F是AE的中点,连接OF.若AB=OB=1,则FO的长为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
D
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
答案
12.D
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形对角线相等且互相平分，结合已知AB=OB=1，可判断△AOB是等边三角形，进而求出对角线AC的长度，再用勾股定理计算BC的长度；再根据角平分线的性质推出△ABE是等腰直角三角形，求出BE长度，进而得到EC的长度；最后利用三角形中位线定理，F、O分别是AE、AC的中点，可知OF是△AEC的中位线，长度为EC的一半，即可求出FO的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，
∴$OA=OB$，
∵$AB=OB=1$，
∴$OA=OB=AB=1$，即△AOB为等边三角形，
∴$AC=2OA=2$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵AE平分∠BAD，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD=45°$，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴$BE=AB=1$，
∴$EC=BC-BE=\sqrt{3}-1$，
∵F是AE的中点，O是AC的中点，
∴OF是△AEC的中位线，
∴$OF=\frac{1}{2}EC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、特殊三角形的性质及中位线定理，解题的关键是先识别出等边三角形和等腰直角三角形，再结合中位线定理计算线段长度，是典型的几何小综合题。
【难度系数】
0.6
解题时先从矩形的性质入手，矩形对角线相等且互相平分，结合已知AB=OB=1，可判断△AOB是等边三角形，进而求出对角线AC的长度，再用勾股定理计算BC的长度；再根据角平分线的性质推出△ABE是等腰直角三角形，求出BE长度，进而得到EC的长度；最后利用三角形中位线定理，F、O分别是AE、AC的中点，可知OF是△AEC的中位线，长度为EC的一半，即可求出FO的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，
∴$OA=OB$，
∵$AB=OB=1$，
∴$OA=OB=AB=1$，即△AOB为等边三角形，
∴$AC=2OA=2$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵AE平分∠BAD，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD=45°$，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴$BE=AB=1$，
∴$EC=BC-BE=\sqrt{3}-1$，
∵F是AE的中点，O是AC的中点，
∴OF是△AEC的中位线，
∴$OF=\frac{1}{2}EC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、特殊三角形的性质及中位线定理，解题的关键是先识别出等边三角形和等腰直角三角形，再结合中位线定理计算线段长度，是典型的几何小综合题。
【难度系数】
0.6
13. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE。若∠ADB=40°，则∠E的度数是
$20°$
。答案
13.$20°$
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质思考：矩形对角线相等，对边平行。题目给出CE=BD，我们可以通过连接辅助线AC，将BD替换为与之相等的AC，得到AC=CE，进而得到等腰△ACE。再利用平行线的内错角相等、三角形外角等于不相邻两内角和的性质，逐步推导∠E的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，矩形对角线互相平分可得OB=OC，
∴∠DBC=∠ACB。
又
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=40°，即∠ACB=40°。
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E。
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∴∠E=∠ACB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是合理添加辅助线AC，将已知的线段相等关系转化为等腰三角形的边相等，再结合矩形、等腰三角形及三角形外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质思考：矩形对角线相等，对边平行。题目给出CE=BD，我们可以通过连接辅助线AC，将BD替换为与之相等的AC，得到AC=CE，进而得到等腰△ACE。再利用平行线的内错角相等、三角形外角等于不相邻两内角和的性质，逐步推导∠E的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，矩形对角线互相平分可得OB=OC，
∴∠DBC=∠ACB。
又
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=40°，即∠ACB=40°。
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E。
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∴∠E=∠ACB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是合理添加辅助线AC，将已知的线段相等关系转化为等腰三角形的边相等，再结合矩形、等腰三角形及三角形外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG.若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为
48
.答案
14.48
解析
【分析】
首先利用矩形内角为直角的性质，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，求出BE、CE的长度；再根据F、G是BE、CE中点，利用三角形中位线定理求出BC的长度；随后通过勾股定理逆定理判断△BEC为直角三角形，计算出△BEC的面积；最后根据△BEC与矩形ABCD同底等高，矩形面积是△BEC面积的2倍，即可求出矩形面积。
【解析】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠CDE=90°，
1.
∵F是Rt△ABE斜边BE的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}BE$，
∵$AF=3$，
∴$BE=2AF=6$；
2.
∵G是Rt△CDE斜边CE的中点，
∴$DG=\frac{1}{2}CE$，
∵$DG=4$，
∴$CE=2DG=8$；
3.
∵F、G分别是BE、CE的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴$BC=2FG$，
∵$FG=5$，
∴$BC=2×5=10$；
4. 在△BCE中，$BE=6$，$CE=8$，$BC=10$，
∵$6^2+8^2=10^2$，即$BE^2+CE^2=BC^2$，
∴△BCE是直角三角形，$∠BEC=90°$，
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CE=\frac{1}{2}×6×8=24$；
5.
∵△BCE以BC为底时，高与矩形ABCD的边AB长度相等，
∴$S_{矩形ABCD}=BC×AB=2S_{△BCE}=2×24=48$。
【答案】
48
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合基础题，串联了多个常见几何定理的应用，解题的关键是理清各线段间的数量关系，结合面积的倍分关系求解，能较好地考查学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
首先利用矩形内角为直角的性质，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，求出BE、CE的长度；再根据F、G是BE、CE中点，利用三角形中位线定理求出BC的长度；随后通过勾股定理逆定理判断△BEC为直角三角形，计算出△BEC的面积；最后根据△BEC与矩形ABCD同底等高，矩形面积是△BEC面积的2倍，即可求出矩形面积。
【解析】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠CDE=90°，
1.
∵F是Rt△ABE斜边BE的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}BE$，
∵$AF=3$，
∴$BE=2AF=6$；
2.
∵G是Rt△CDE斜边CE的中点，
∴$DG=\frac{1}{2}CE$，
∵$DG=4$，
∴$CE=2DG=8$；
3.
∵F、G分别是BE、CE的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴$BC=2FG$，
∵$FG=5$，
∴$BC=2×5=10$；
4. 在△BCE中，$BE=6$，$CE=8$，$BC=10$，
∵$6^2+8^2=10^2$，即$BE^2+CE^2=BC^2$，
∴△BCE是直角三角形，$∠BEC=90°$，
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CE=\frac{1}{2}×6×8=24$；
5.
∵△BCE以BC为底时，高与矩形ABCD的边AB长度相等，
∴$S_{矩形ABCD}=BC×AB=2S_{△BCE}=2×24=48$。
【答案】
48
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合基础题，串联了多个常见几何定理的应用，解题的关键是理清各线段间的数量关系，结合面积的倍分关系求解，能较好地考查学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E.
(1)若∠DAE=2∠BAE,求∠EAC的度数.
(2)若BE:ED=1:3,AB=1,求AD的长.
(1)若∠DAE=2∠BAE,求∠EAC的度数.
(2)若BE:ED=1:3,AB=1,求AD的长.
答案
15. 解:(1)$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ BAD=90°,AO=OC,BO=OD,AC=BD. \therefore AO=OD. \therefore ∠ OAD=∠ ODA. \because ∠ DAE=2∠ BAE,\therefore ∠ BAE=30°,∠ DAE=60°. \because AE⊥ BD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA=30°. \therefore ∠ EAC=∠ DAE-∠ OAD=30°$.(2)$\because BE:ED=1:3,BO=OD,\therefore BE=OE. \because AE⊥ BD,\therefore AB=AO=BO. \therefore △ AOB$是等边三角形.$\therefore BO=AB=1. \therefore BD=2BO=2. \therefore AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先利用矩形内角为直角的性质，结合∠DAE与∠BAE的数量关系求出两个角的度数；再根据矩形对角线相等且互相平分的性质得到AO=OD，推出∠OAD=∠ODA，结合AE⊥BD的条件求出∠ODA的度数，最后用∠DAE减去∠OAD即可得到∠EAC的度数。
(2) 求解第二问时，先根据BE和ED的比例关系，结合矩形对角线互相平分的性质推出E是BO的中点，结合AE⊥BD可得AE是BO的垂直平分线，得到AB=AO，进而判断△AOB是等边三角形，求出BD的长度，最后用勾股定理计算AD的长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，对角线互相平分即AO=OC，BO=OD，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA。
∵∠DAE=2∠BAE，∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，
∴3∠BAE=90°，解得∠BAE=30°，∠DAE=60°。
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ODA=90°-∠DAE=30°，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠EAC=∠DAE - ∠OAD=60°-30°=30°。
(2) 设BE=x，
∵BE:ED=1:3，
∴ED=3x，
∴BD=BE+ED=4x。
∵矩形对角线互相平分，BO=OD，
∴BO=OD=2x，
∴OE=BO-BE=2x-x=x，即BE=OE。
∵AE⊥BD，
∴AE是线段BO的垂直平分线，
∴AB=AO，
又
∵矩形中AO=BO，
∴AB=AO=BO，即△AOB是等边三角形，
∴BO=AB=1，
∴BD=2BO=2。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的典型习题，解题的关键是灵活运用矩形内角为直角、对角线相等且互相平分的性质，结合直角三角形和特殊三角形的性质逐步推导，能有效考查对矩形相关性质的掌握程度和几何推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先利用矩形内角为直角的性质，结合∠DAE与∠BAE的数量关系求出两个角的度数；再根据矩形对角线相等且互相平分的性质得到AO=OD，推出∠OAD=∠ODA，结合AE⊥BD的条件求出∠ODA的度数，最后用∠DAE减去∠OAD即可得到∠EAC的度数。
(2) 求解第二问时，先根据BE和ED的比例关系，结合矩形对角线互相平分的性质推出E是BO的中点，结合AE⊥BD可得AE是BO的垂直平分线，得到AB=AO，进而判断△AOB是等边三角形，求出BD的长度，最后用勾股定理计算AD的长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，对角线互相平分即AO=OC，BO=OD，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA。
∵∠DAE=2∠BAE，∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，
∴3∠BAE=90°，解得∠BAE=30°，∠DAE=60°。
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ODA=90°-∠DAE=30°，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠EAC=∠DAE - ∠OAD=60°-30°=30°。
(2) 设BE=x，
∵BE:ED=1:3，
∴ED=3x，
∴BD=BE+ED=4x。
∵矩形对角线互相平分，BO=OD，
∴BO=OD=2x，
∴OE=BO-BE=2x-x=x，即BE=OE。
∵AE⊥BD，
∴AE是线段BO的垂直平分线，
∴AB=AO，
又
∵矩形中AO=BO，
∴AB=AO=BO，即△AOB是等边三角形，
∴BO=AB=1，
∴BD=2BO=2。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的典型习题，解题的关键是灵活运用矩形内角为直角、对角线相等且互相平分的性质，结合直角三角形和特殊三角形的性质逐步推导，能有效考查对矩形相关性质的掌握程度和几何推理能力。
【难度系数】
0.7
16. 在矩形ABCD中，M是对角线BD上一点，AB=3，BC=4. 当△AMD为等腰三角形时，BM的长为
$\frac{5}{2}$或1
.答案
16.$\frac{5}{2}$或1
解析
【分析】
首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，由于△AMD为等腰三角形没有明确腰和底，需分三类讨论：①AD=DM，②AM=DM，③AM=AD，结合等腰三角形性质、勾股定理分别计算符合条件的DM长度，再通过BM=BD-DM求出结果，舍去无法构成三角形的情况即可。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AD=BC=4，
由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
分三种情况讨论△AMD为等腰三角形：
1. 当$AD=DM=4$时：
∵M在BD线段上，
∴$BM=BD-DM=5-4=1$，符合题意；
2. 当$AM=DM$时：
此时M在AD的垂直平分线上，结合矩形对角线互相平分的性质，可知M为BD中点，
∴$BM=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$，符合题意；
3. 当$AM=AD=4$时：
过A作$AH⊥ BD$于H，由三角形面积公式得$AH=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}＜4$，解方程可得满足$AM=4$的点仅D点，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，BM的长为1或$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或1
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形与等腰三角形的综合题，解题核心是对等腰三角形的腰进行分类讨论，求解时要注意验证点的位置是否符合题意，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，由于△AMD为等腰三角形没有明确腰和底，需分三类讨论：①AD=DM，②AM=DM，③AM=AD，结合等腰三角形性质、勾股定理分别计算符合条件的DM长度，再通过BM=BD-DM求出结果，舍去无法构成三角形的情况即可。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AD=BC=4，
由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
分三种情况讨论△AMD为等腰三角形：
1. 当$AD=DM=4$时：
∵M在BD线段上，
∴$BM=BD-DM=5-4=1$，符合题意；
2. 当$AM=DM$时：
此时M在AD的垂直平分线上，结合矩形对角线互相平分的性质，可知M为BD中点，
∴$BM=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$，符合题意；
3. 当$AM=AD=4$时：
过A作$AH⊥ BD$于H，由三角形面积公式得$AH=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}＜4$，解方程可得满足$AM=4$的点仅D点，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，BM的长为1或$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或1
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形与等腰三角形的综合题，解题核心是对等腰三角形的腰进行分类讨论，求解时要注意验证点的位置是否符合题意，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题通法:构造法(如:见直角三角形斜边的中点$\xrightarrow{联想}$构造斜边上的中线$\xrightarrow{}$构造出等腰三角形$\xrightarrow{转化}$边角关系)
【教材母题变式】 如图，$∠ APB=∠ AQB=90°$，$O$是$AB$的中点，连接$PO$.若$AQ=BQ=3\sqrt{2}$，则$OP$的长为________.
【变式1】已知中点,连线构造直角三角形
如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$上一点,$AB=AD$,$E,F$分别是$AC,BD$的中点,$EF=2$,则$AC$的长是（
A.3
B.4
C.5
D.6
【教材母题变式】 如图，$∠ APB=∠ AQB=90°$，$O$是$AB$的中点，连接$PO$.若$AQ=BQ=3\sqrt{2}$，则$OP$的长为________.
【变式1】已知中点,连线构造直角三角形
如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$上一点,$AB=AD$,$E,F$分别是$AC,BD$的中点,$EF=2$,则$AC$的长是（
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
【教材母题变式】3 【变式1】B
解析
【分析】
教材母题变式解题思路
题干给出两个直角三角形Rt△APB、Rt△AQB共斜边AB，且O为AB中点，首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此OP的长度等于AB长度的一半，只需先求出AB的长度即可。已知△AQB是等腰直角三角形，已知两直角边长，用勾股定理即可算出AB长。
变式1解题思路
题干给出等腰△ABD（AB=AD），F是底边BD中点，首先联想等腰三角形三线合一的性质，连接AF可得AF⊥BD，即得到Rt△AFC；又已知E是AC中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可得EF是Rt△AFC斜边AC的中线，因此EF等于AC的一半，代入EF的长度即可求出AC长。
【解析】
教材母题变式
1. 在Rt△AQB中，∠AQB=90°，AQ=BQ=3√2，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AQ^2+BQ^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6 $
2. 在Rt△APB中，∠APB=90°，O是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得：
$ OP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3 $
变式1
1. 连接AF，
∵AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得AF⊥BD，即∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
2.
∵E是AC的中点，在Rt△AFC中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ EF=\frac{1}{2}AC $。
3. 已知EF=2，代入得$ AC=2EF=2×2=4 $，故选B。
【答案】
【教材母题变式】3 【变式1】B
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 勾股定理
【点评】
这两道题是中点类辅助线构造的典型题型，解题核心是根据题干中的直角、等腰、中点等特征条件，联想对应的几何性质，快速构造特殊三角形转化线段关系，这类辅助线构造方法在几何求解中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
教材母题变式解题思路
题干给出两个直角三角形Rt△APB、Rt△AQB共斜边AB，且O为AB中点，首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此OP的长度等于AB长度的一半，只需先求出AB的长度即可。已知△AQB是等腰直角三角形，已知两直角边长，用勾股定理即可算出AB长。
变式1解题思路
题干给出等腰△ABD（AB=AD），F是底边BD中点，首先联想等腰三角形三线合一的性质，连接AF可得AF⊥BD，即得到Rt△AFC；又已知E是AC中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可得EF是Rt△AFC斜边AC的中线，因此EF等于AC的一半，代入EF的长度即可求出AC长。
【解析】
教材母题变式
1. 在Rt△AQB中，∠AQB=90°，AQ=BQ=3√2，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AQ^2+BQ^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6 $
2. 在Rt△APB中，∠APB=90°，O是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得：
$ OP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3 $
变式1
1. 连接AF，
∵AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得AF⊥BD，即∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
2.
∵E是AC的中点，在Rt△AFC中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ EF=\frac{1}{2}AC $。
3. 已知EF=2，代入得$ AC=2EF=2×2=4 $，故选B。
【答案】
【教材母题变式】3 【变式1】B
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 勾股定理
【点评】
这两道题是中点类辅助线构造的典型题型，解题核心是根据题干中的直角、等腰、中点等特征条件，联想对应的几何性质，快速构造特殊三角形转化线段关系，这类辅助线构造方法在几何求解中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
如图，$∠ MON=90°$，矩形$ABCD$的顶点$A$，$B$分别在边$OM$，$ON$上，当点$B$在边$ON$上运动时，点$A$随之在边$OM$上运动，矩形$ABCD$的形状保持不变，其中$AB=6$，$BC=2$. 在运动过程中，点$D$到点$O$的最大距离是
$3+\sqrt{13}$
.答案
【变式2】$3+\sqrt{13}$
解析
【分析】
求点D到点O的最大距离，直接计算OD的长度较困难，可通过构造辅助线转化为定长线段的和求解：首先∠MON=90°且AB长度固定，取AB中点E，根据直角三角形斜边中线性质可得OE为定值；再结合矩形性质计算DE的长度，DE也为定值；最后根据三角形三边关系，可知当O、E、D三点共线时，OD的长度等于OE与DE的和，此时OD取得最大值。
【解析】
解：取AB的中点E，连接OE、DE、OD。
1. 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，E为AB中点，AB=6，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$OE=\frac{1}{2}AB=3$。
2. 因为四边形ABCD是矩形，所以$AD=BC=2$，$∠ DAB=90°$，
又E为AB中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB=3$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
3. 根据三角形三边关系，在△ODE中，$OD≤ OE+DE$，
当且仅当O、E、D三点共线时等号成立，此时OD取得最大值，
最大值为$OE+DE=3+\sqrt{13}$。
【答案】
$3+\sqrt{13}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、矩形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是几何动态最值的典型考题，解题核心是通过构造斜边中线，将未知线段的最值转化为两条定长线段的和，利用三边关系确定最值状态，解题思路具有普适性。
【难度系数】
0.55
求点D到点O的最大距离，直接计算OD的长度较困难，可通过构造辅助线转化为定长线段的和求解：首先∠MON=90°且AB长度固定，取AB中点E，根据直角三角形斜边中线性质可得OE为定值；再结合矩形性质计算DE的长度，DE也为定值；最后根据三角形三边关系，可知当O、E、D三点共线时，OD的长度等于OE与DE的和，此时OD取得最大值。
【解析】
解：取AB的中点E，连接OE、DE、OD。
1. 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，E为AB中点，AB=6，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$OE=\frac{1}{2}AB=3$。
2. 因为四边形ABCD是矩形，所以$AD=BC=2$，$∠ DAB=90°$，
又E为AB中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB=3$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
3. 根据三角形三边关系，在△ODE中，$OD≤ OE+DE$，
当且仅当O、E、D三点共线时等号成立，此时OD取得最大值，
最大值为$OE+DE=3+\sqrt{13}$。
【答案】
$3+\sqrt{13}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、矩形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是几何动态最值的典型考题，解题核心是通过构造斜边中线，将未知线段的最值转化为两条定长线段的和，利用三边关系确定最值状态，解题思路具有普适性。
【难度系数】
0.55
