1. 如图,要使$□ ABCD$成为矩形,需添加的条件可以是（）

A.$AB=BC$
B.$AC⊥ BD$
C.$∠ ABC=90°$
D.$∠ 1=∠ 2$

1.C

【分析】
解题时首先明确已知前提：四边形ABCD是平行四边形，需结合矩形的判定定理筛选合适的添加条件。平行四边形判定为矩形有两个核心思路：一是添加一个内角为90°，二是添加对角线相等。接下来逐一分析选项，判断每个选项能推出平行四边形变为哪种特殊四边形，排除得到菱形的选项，即可选出正确答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐个分析选项：
A. 若添加$AB=BC$，即平行四边形一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，此时$□ABCD$是菱形，不符合要求，排除；
B. 若添加$AC⊥BD$，即平行四边形对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，此时$□ABCD$是菱形，不符合要求，排除；
C. 若添加$∠ABC=90°$，即平行四边形有一个内角为直角，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，此时$□ABCD$是矩形，符合要求；
D. 若添加$∠1=∠2$，
∵平行四边形中$AD// BC$，
∴$∠ADB=∠2$，则$∠1=∠ADB$，可得$AB=AD$，即平行四边形一组邻边相等，此时$□ABCD$是菱形，不符合要求，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，重点是区分平行四边形基础上矩形和菱形的判定条件，解题关键是熟练掌握各类特殊平行四边形的判定定理，避免混淆矩形与菱形的判定规则。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，$CM⊥ AD$于点$M$，延长$DA$至点$N$，使$AN=DM$，连接$BN$。求证：四边形$BCMN$是矩形。

证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD// BC,AD=BC. \because AN = DM, \therefore AN+AM=DM+AM$, 即 $NM=AD=BC$. 又 $\because MN// BC, \therefore$ 四边形 $BCMN$ 是平行四边形. 又 $\because CM⊥ AD, \therefore ∠ CMN=90°. \therefore$ 平行四边形 $BCMN$ 是矩形.

【分析】
要证明四边形BCMN是矩形，可依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理分两步推导：第一步先证四边形BCMN是平行四边形，第二步证该平行四边形有一个内角为直角。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合AN=DM的条件，通过线段和的关系推出NM与BC平行且相等，即可判定BCMN是平行四边形；最后结合CM⊥AD的垂直条件得到直角，即可完成矩形的证明。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC$。
$\because AN = DM$，
$\therefore AN+AM=DM+AM$，即 $NM=AD=BC$。
又$\because MN// BC$，
$\therefore$ 四边形 $BCMN$ 是平行四边形。
又$\because CM⊥ AD$，
$\therefore ∠ CMN=90°$。
$\therefore$ 平行四边形 $BCMN$ 是矩形。
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD// BC,AD=BC. \because AN = DM, \therefore AN+AM=DM+AM$, 即 $NM=AD=BC$. 又 $\because MN// BC, \therefore$ 四边形 $BCMN$ 是平行四边形. 又 $\because CM⊥ AD, \therefore ∠ CMN=90°. \therefore$ 平行四边形 $BCMN$ 是矩形.
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，先推导得到平行四边形，再结合直角条件完成矩形的判定。
【难度系数】
0.8

3.对于四边形ABCD,给出下列4组条件：
①$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D$；②$∠ B=∠ C=∠ D$；③$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$；④$∠ A=∠ B=∠ C=90°$.其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有.(填序号)

3. ①④

【分析】
解题时首先回忆矩形的判定定理以及四边形内角和为360°的性质，解题思路是逐个分析给出的4组条件，判断每组条件是否能推出四边形ABCD的角满足矩形的判定要求，最终筛选出符合要求的条件。
【解析】
已知四边形内角和为360°，结合矩形的判定规则逐一分析：
1. 对于条件①：$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D$，则每个角的度数为$360°÷4=90°$，四个角均为直角的四边形是矩形，故①符合要求；
2. 对于条件②：仅$∠ B=∠ C=∠ D$，假设$∠ B=∠ C=∠ D=100°$，则$∠ A=360°-3×100°=60°$，不满足所有角为直角，不是矩形，故②不符合要求；
3. 对于条件③：$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$，可得$2∠ A+2∠ D=360°$，即$∠ A+∠ D=180°$，仅能推出$AB// CD$，无法得到角为直角，例如等腰梯形也满足该条件，故③不符合要求；
4. 对于条件④：$∠ A=∠ B=∠ C=90°$，根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，故④符合要求。
综上，能得到四边形ABCD是矩形的条件为①④。
【答案】
①④
【知识点】
矩形的判定定理；四边形内角和定理
【点评】
本题重点考查矩形的判定，解题时需结合四边形内角和的性质对每个条件逐一验证，要注意区分矩形和其他特殊四边形的判定条件，避免出现错选。
【难度系数】
0.7

4.如图，O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F. 求证：四边形CDOF是矩形.

证明: $\because OD$ 平分 $∠ AOC, OF$ 平分 $∠ COB, \therefore ∠ AOC=2∠ COD$, $∠ COB=2∠ COF. \because ∠ AOC+∠ BOC=180°, \therefore ∠ COD+∠ COF=90°$, 即 $∠ DOF=90°. \because OA=OC, OD$ 平分 $∠ AOC, \therefore OD⊥ AC. \therefore ∠ CDO=90°. \because CF⊥ OF, \therefore ∠ CFO=90°. \therefore ∠ CFO=∠ DOF=∠ CDO=90°. \therefore$ 四边形 $CDOF$ 是矩形.

【分析】
要证明四边形CDOF是矩形，可通过“三个内角为直角的四边形是矩形”这一判定定理推导。首先利用角平分线的性质，结合平角为180°，可先证得∠DOF=90°；再根据OA=OC可知△AOC为等腰三角形，结合OD是∠AOC的角平分线，由等腰三角形“三线合一”的性质可证得OD⊥AC，即∠CDO=90°；最后结合已知CF⊥OF得到∠CFO=90°，即可满足矩形的判定条件。
【解析】
证明：$\because OD$ 平分 $∠ AOC, OF$ 平分 $∠ COB, \therefore ∠ AOC=2∠ COD$, $∠ COB=2∠ COF. \because ∠ AOC+∠ BOC=180°, \therefore ∠ COD+∠ COF=90°$, 即 $∠ DOF=90°. \because OA=OC, OD$ 平分 $∠ AOC, \therefore OD⊥ AC. \therefore ∠ CDO=90°. \because CF⊥ OF, \therefore ∠ CFO=90°. \therefore ∠ CFO=∠ DOF=∠ CDO=90°. \therefore$ 四边形 $CDOF$ 是矩形.
【答案】
四边形CDOF是矩形
【知识点】
矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，将角平分线、等腰三角形的性质与矩形的判定相结合，解题的关键是准确推导出四边形的三个内角均为直角，需要熟练掌握常见几何图形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.7

5.(2025·德阳)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是 ()

A.$AB// CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ B=∠ D$
D.$AC=BD$

5.D

【分析】
解题前先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，需结合矩形的判定定理逐一分析选项。首先回忆矩形的判定规则：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。再逐一验证每个选项：首先排除平行四边形本身就具备的性质（这类条件添加后不会改变图形属性），再排除判定为其他特殊平行四边形的选项，最后匹配符合矩形判定的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，对各选项分析如下：
1. 选项A：平行四边形的固有性质为对边平行，即$AB// CD$是平行四边形本身就满足的条件，添加后无法判定其为矩形，排除；
2. 选项B：若$AB=BC$，即平行四边形一组邻边相等，该条件是菱形的判定依据，无法判定为矩形，排除；
3. 选项C：平行四边形的固有性质为对角相等，即$∠ B=∠ D$是平行四边形本身就满足的条件，添加后无法判定其为矩形，排除；
4. 选项D：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，当$AC=BD$时，可判定平行四边形ABCD是矩形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质与判定，解题关键是区分平行四边形的固有性质和特殊平行四边形的判定条件，避免混淆矩形、菱形的判定规则。
【难度系数】
0.8

6. NEW 生活情境·制作门窗 如图，工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。这样做依据的道理是。

6. 对角线相等的平行四边形是矩形

【分析】
解题时先梳理工人师傅的操作逻辑：第一步测量两组对边长度相等，目的是先判定四边形为平行四边形，依据是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”；第二步测量两条对角线相等，是在平行四边形的基础上添加对角线相等的条件，进而判定图形为矩形，对应矩形的判定定理即可得到答案。
【解析】
首先，若四边形的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可得出该四边形是平行四边形；
在此基础上，若这个平行四边形的两条对角线相等，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，即可确定该四边形是矩形。因此工人师傅的操作依据就是这一矩形判定定理。
【答案】
对角线相等的平行四边形是矩形
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 矩形的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查特殊四边形的判定应用，引导学生理解生活操作背后的数学原理，属于基础类应用题，熟练掌握相关判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

7.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AB=CD,AB//CD.若四边形AEBO是菱形,求证:四边形ABCD是矩形.

证明: $\because AB=CD, AB// CD, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形. $\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC, OD=OB=\frac{1}{2}BD. \because$ 四边形 $AEBO$ 是菱形, $\therefore OA=OB. \therefore AC=BD. \therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是矩形.

【分析】
要证明四边形ABCD是矩形，首先从已知条件AB=CD且AB//CD出发，根据平行四边形判定定理可先证得ABCD是平行四边形；接下来只需证明该平行四边形满足矩形的判定条件即可。结合已知四边形AEBO是菱形，利用菱形四边相等的性质可得OA=OB，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可推导出对角线AC=BD，最终根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB=CD, AB// CD$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
$\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC, OD=OB=\frac{1}{2}BD$（平行四边形对角线互相平分）。
$\because$ 四边形 $AEBO$ 是菱形，
$\therefore OA=OB$（菱形的四条边相等），
$\therefore AC=BD$，
$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
证明: $\because AB=CD, AB// CD, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形. $\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC, OD=OB=\frac{1}{2}BD. \because$ 四边形 $AEBO$ 是菱形, $\therefore OA=OB. \therefore AC=BD. \therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是矩形.
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题型，解题关键是熟练掌握各类特殊四边形的性质与判定定理，理清不同特殊四边形之间的推导逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8