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例2 (1)已知$x^a=5,x^b=1,x^c=25$,求$x^{a+b+c}$的值；
(2)已知$2^n=a,5^n=b,20^n=c$,则$a,b,c$之间有什么等量关系？请说明理由。
(2)已知$2^n=a,5^n=b,20^n=c$,则$a,b,c$之间有什么等量关系？请说明理由。
答案
解:(1)125.
(2)$a^2b=c$.理由如下：
$\because 20^n=(4×5)^n=4^n · 5^n=(2^n)^2 · 5^n$,且$2^n = a,5^n = b,20^n = c$,
$\therefore a^2b=c$.
(2)$a^2b=c$.理由如下：
$\because 20^n=(4×5)^n=4^n · 5^n=(2^n)^2 · 5^n$,且$2^n = a,5^n = b,20^n = c$,
$\therefore a^2b=c$.
例3 新定义题 定义新运算：$a※b=ab+b^2$，则$(2m)※m$的运算结果是
$3m^2$
答案
$3m^2$
例4 计算：
(1) $2x^2y · xy - 2x(xy^3 + x^2y^2)$；
(2) $(x-1)(2x-1) - (x+1)^2 + 1$。
(1) $2x^2y · xy - 2x(xy^3 + x^2y^2)$；
(2) $(x-1)(2x-1) - (x+1)^2 + 1$。
答案
解:(1)$-2x^2y^3$；
(2)$x^2-5x+1$.
(2)$x^2-5x+1$.
例5 先化简,再求值:$(x+y)^2 + x(x-2y)$,其中$x=1,y=-2$.
答案
解:原式$=2x^2+y^2$.
$\because x=1,y=-2$,
$\therefore$ 原式$=6$.
$\because x=1,y=-2$,
$\therefore$ 原式$=6$.
例1 若$x^2y=2$,求$(xy)^2 · x^2 + 2x · x^3y^2 - x^6y^3$的值.
答案
解:4.
例2 已知$a+b=8$，$a^2b^2=4$，求$\dfrac{a^2 + b^2}{2} - ab$的值。
答案
解:28 或 36.
