11. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ B = 90°$, $AB = 5\ \mathrm{cm}$, $BC=7\ \mathrm{cm}$. 点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动,同时点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为$x\ \mathrm{s}(x＞0)$.
(1) s后,$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$.
(2)几秒后,$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$?
(3)$△ PBQ$的面积能否为$7\ \mathrm{cm}^2$?请说明理由.

11. (1)1
(2)由题意,得 $AP=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \quad BP=(5-x)\ \mathrm{cm}$.
由 $BP^2+BQ^2=PQ^2$,
得 $(5-x)^2+(2x)^2=5^2$.
整理,得 $x^2-2x=0$.
解得 $x_1=0$(不符合题意,舍去),$x_2=2$.
答:2 s 后,$PQ$ 的长度为 5 cm.
(3)不能.
理由:由题意,得 $\frac{1}{2}(5-x)· 2x=7$.
整理,得 $x^2-5x+7=0$.
$\because \quad \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0$,
$\therefore \quad$ 此方程无实数根.
$\therefore \quad △ PBQ$ 的面积不能为 $7\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
这是一道几何动点与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：1. 先根据点的运动速度和时间$x$，分别表示出线段$AP$、$BQ$、$BP$的长度，同时确定$x$的取值范围：点$P$走完全程$AB$需$5\mathrm{s}$，点$Q$走完全程$BC$需$7÷2=3.5\mathrm{s}$，所以$0＜x≤3.5$；2. 第(1)问求$△ PBQ$的面积为$4\mathrm{cm}^2$，利用直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不符合取值范围的解即可；3. 第(2)问求$PQ=5\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中利用勾股定理列方程，求解后舍去不合题意的解；4. 第(3)问判断面积能否为$7\mathrm{cm}^2$，先按面积公式列方程，再通过计算一元二次方程的判别式判断方程是否有实数根，若没有则说明不能。
【解析】
(1) 由题意得，运动$x\ \mathrm{s}$后，$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$BP=AB-AP=(5-x)\ \mathrm{cm}$。
$△ PBQ$为直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}· BP· BQ$，令$S=4$，代入得：
$\frac{1}{2}×(5-x)×2x=4$
整理得$x^2-5x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
因为$0＜x≤3.5$，所以$x=4$不符合题意，舍去，故$x=1$。
(2) 若$PQ$的长度为$5\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得$BP^2+BQ^2=PQ^2$，代入得：
$(5-x)^2+(2x)^2=5^2$
整理得$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$（不符合$x＞0$的条件，舍去），$x_2=2$。
(3) 不能，理由如下：
令$△ PBQ$的面积为$7\mathrm{cm}^2$，由面积公式得：
$\frac{1}{2}×(5-x)×2x=7$
整理得$x^2-5x+7=0$。
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0$，所以该一元二次方程无实数根，即不存在满足条件的$x$，故$△ PBQ$的面积不能为$7\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $1$
(2) $2\ \mathrm{s}$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
一元二次方程应用、勾股定理、根的判别式
【点评】
本题是动态几何与代数结合的常规题型，解题关键是将运动线段用含时间的代数式表示，再结合几何性质列方程，同时要注意根据实际运动的限制对解进行取舍，利用判别式判断方程根的情况是解决存在性问题的常用方法。
【难度系数】
0.7