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7. 为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5 m的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围一块$6\ \mathrm{m}^2$的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形菜地的一边长为$x\ \mathrm{m}$,根据题意可列方程为 (
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
)A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先要明确篱笆的使用范围：因为菜地两边靠直角围墙，靠墙的边不需要搭建篱笆，因此总长5m的篱笆只用来围矩形相邻的两条边。已知其中一条边长为x m，可推出另一条篱笆围的边长为(5-x)m，再结合矩形面积=长×宽，面积为6m²，即可列出对应的方程。
【解析】
∵ 矩形菜地两边依靠直角围墙，因此篱笆仅需围矩形的两条邻边，两条邻边的长度和等于篱笆总长5m。
已知其中一条边长为$x\ \mathrm{m}$，则相邻的另一条边长为$(5-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$，因此列方程得：
$x(5-x)=6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类实际应用题，解题的关键是准确理解篱笆的围建范围，不要误判需要围边的数量，找到两条邻边的长度关系后，结合面积公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确篱笆的使用范围：因为菜地两边靠直角围墙，靠墙的边不需要搭建篱笆，因此总长5m的篱笆只用来围矩形相邻的两条边。已知其中一条边长为x m，可推出另一条篱笆围的边长为(5-x)m，再结合矩形面积=长×宽，面积为6m²，即可列出对应的方程。
【解析】
∵ 矩形菜地两边依靠直角围墙，因此篱笆仅需围矩形的两条邻边，两条邻边的长度和等于篱笆总长5m。
已知其中一条边长为$x\ \mathrm{m}$，则相邻的另一条边长为$(5-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$，因此列方程得：
$x(5-x)=6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类实际应用题，解题的关键是准确理解篱笆的围建范围，不要误判需要围边的数量，找到两条邻边的长度关系后，结合面积公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
8. 如图，某校用一段26 m长的围栏围成一个一边靠墙(墙长15 m)的矩形花园ABCD，其面积为80 m²，则AB的长为 (
A.10 m或5 m
B.8 m
C.10 m
D.5 m
B
)A.10 m或5 m
B.8 m
C.10 m
D.5 m
答案
8. B
解析
【分析】
首先明确矩形ABCD的AD边靠墙，因此围栏仅围AB、BC、CD三边，AB与CD长度相等。解题思路如下：1. 设AB的长度为未知数x，用含x的式子表示BC的长度；2. 根据矩形面积=长×宽，列出一元二次方程；3. 求解方程后，结合墙长15m的限制条件，判断BC的长度是否符合实际，舍去不符合的根，最终得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，则BC的长为$ (26-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(26-2x)=80$
整理得：
$x^2-13x+40=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-8)=0$
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=8 $。
接下来检验根的合理性：
当$ x=5 $时，$ BC=26-2×5=16 \, \mathrm{m} $，$ 16＞15 $，超过墙长，不符合实际，舍去；
当$ x=8 $时，$ BC=26-2×8=10 \, \mathrm{m} $，$ 10＜15 $，符合墙长限制。
因此AB的长为8m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题的根检验
【点评】
本题是典型的一元二次方程几何应用问题，易错点是求解方程后忽略墙长的限制条件，直接保留所有解导致出错，解题时要注意结合实际背景对所得根进行合理性判断。
【难度系数】
0.7
首先明确矩形ABCD的AD边靠墙，因此围栏仅围AB、BC、CD三边，AB与CD长度相等。解题思路如下：1. 设AB的长度为未知数x，用含x的式子表示BC的长度；2. 根据矩形面积=长×宽，列出一元二次方程；3. 求解方程后，结合墙长15m的限制条件，判断BC的长度是否符合实际，舍去不符合的根，最终得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，则BC的长为$ (26-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(26-2x)=80$
整理得：
$x^2-13x+40=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-8)=0$
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=8 $。
接下来检验根的合理性：
当$ x=5 $时，$ BC=26-2×5=16 \, \mathrm{m} $，$ 16＞15 $，超过墙长，不符合实际，舍去；
当$ x=8 $时，$ BC=26-2×8=10 \, \mathrm{m} $，$ 10＜15 $，符合墙长限制。
因此AB的长为8m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题的根检验
【点评】
本题是典型的一元二次方程几何应用问题，易错点是求解方程后忽略墙长的限制条件，直接保留所有解导致出错，解题时要注意结合实际背景对所得根进行合理性判断。
【难度系数】
0.7
9. 一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加10正好等于新的两位数，求原来的两位数。
答案
9. 设原来的两位数的十位数字为 x,则个位数字为 x+4.
根据题意,得
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$.
整理,得 $11x^2-7x-30=0$.
解得 $x_1=2,x_2=-\frac{15}{11}$(不符合题意,舍去).
$x+4=6$,故原来的两位数为 26.
答:原来的两位数为 26.
根据题意,得
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$.
整理,得 $11x^2-7x-30=0$.
解得 $x_1=2,x_2=-\frac{15}{11}$(不符合题意,舍去).
$x+4=6$,故原来的两位数为 26.
答:原来的两位数为 26.
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：①先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；②根据“个位数字比十位数字大4”的条件，设十位数字为x，即可用含x的代数式表示个位数字，进一步表示出原两位数和对调后的新两位数；③提取题干等量关系：原两位数×十位数字+10=新两位数，代入对应代数式列出方程；④解方程后结合数位数字为正整数的要求，舍去不符合实际意义的解，即可求出原两位数。
【解析】
设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为x+4。
根据题意列方程：
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$
整理得：
$11x^2-7x-30=0$
解方程得：
$x_1=2$，$x_2=-\frac{15}{11}$
由于十位数字是正整数，$x_2=-\frac{15}{11}$不符合题意，舍去。
则个位数字为$x+4=2+4=6$，因此原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；方程验根
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用代数式表示多位数，准确提取题干等量关系列方程，同时要注意数位数字有固定取值范围，解出方程后必须验证解是否符合实际意义，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：①先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；②根据“个位数字比十位数字大4”的条件，设十位数字为x，即可用含x的代数式表示个位数字，进一步表示出原两位数和对调后的新两位数；③提取题干等量关系：原两位数×十位数字+10=新两位数，代入对应代数式列出方程；④解方程后结合数位数字为正整数的要求，舍去不符合实际意义的解，即可求出原两位数。
【解析】
设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为x+4。
根据题意列方程：
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$
整理得：
$11x^2-7x-30=0$
解方程得：
$x_1=2$，$x_2=-\frac{15}{11}$
由于十位数字是正整数，$x_2=-\frac{15}{11}$不符合题意，舍去。
则个位数字为$x+4=2+4=6$，因此原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；方程验根
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用代数式表示多位数，准确提取题干等量关系列方程，同时要注意数位数字有固定取值范围，解出方程后必须验证解是否符合实际意义，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
10. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校计划修建矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙可用长度为15 m），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两个区域各留一个1 m宽的门（门不用木栏），所用木栏总长为28 m，设矩形ABCD的边CD长x m.
(1)求矩形ABCD的另一边BC的长.（用含x的代数式表示）
(2)矩形ABCD的面积能否为72 m²？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由.
(1)求矩形ABCD的另一边BC的长.（用含x的代数式表示）
(2)矩形ABCD的面积能否为72 m²？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由.
答案
10. (1)$\because$ 所用木栏总长为 28 m,且两个区域各留一个 1 m 宽的门(门不用木栏),
$\therefore \quad BC=2+28-3x=(30-3x)\ \mathrm{m}$.
(2)矩形ABCD的面积能为 $72\ \mathrm{m}^2$.
根据题意,得 $x(30-3x)=72$.
解得 $x_1=4,x_2=6$.
当 $x=4$ 时,$30-3x=30-3×4=18＞15$,不符合题意,舍去;
当 $x=6$ 时,$30-3x=30-3×6=12＜15$,符合题意.
$\therefore \quad CD$ 的长为 6 m.
$\therefore \quad BC=2+28-3x=(30-3x)\ \mathrm{m}$.
(2)矩形ABCD的面积能为 $72\ \mathrm{m}^2$.
根据题意,得 $x(30-3x)=72$.
解得 $x_1=4,x_2=6$.
当 $x=4$ 时,$30-3x=30-3×4=18＞15$,不符合题意,舍去;
当 $x=6$ 时,$30-3x=30-3×6=12＜15$,符合题意.
$\therefore \quad CD$ 的长为 6 m.
解析
【分析】
(1) 先梳理木栏的组成：垂直于墙的木栏共3段，每段长度都等于CD的长x m；平行于墙的木栏长度等于BC的长，还有两个1m宽的门不需要木栏，因此“木栏总长+2个门的总宽度”等于3段垂直木栏的长度和加BC的长度，根据这个等量关系就能用含x的代数式表示BC的长度。
(2) 利用矩形面积=长×宽的公式列一元二次方程求解，再结合墙的可用长度最大为15m（即BC≤15m），对求出的根进行合理性检验，舍去不符合实际的解即可判断。
【解析】
(1) 已知木栏总长为28m，两个门各宽1m，即不需要木栏的总长度为$2×1=2\mathrm{m}$。
垂直于墙的木栏共3段，每段长x m，总长度为3x m。
根据等量关系可得：
$BC=28+2-3x=(30-3x)\ \mathrm{m}$。
(2) 矩形ABCD的面积能为$72\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
根据矩形面积公式列方程：
$x(30-3x)=72$
整理得：$x^2-10x+24=0$
因式分解得：$(x-4)(x-6)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$。
结合墙的可用长度检验根：
当$x=4$时，$BC=30-3×4=18\mathrm{m}$，$18＞15$，不符合墙的长度限制，舍去；
当$x=6$时，$BC=30-3×6=12\mathrm{m}$，$12＜15$，符合题意。
因此CD的长为6m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(30-3x)\ \mathrm{m}}$
(2) 能，CD的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何类实际应用题，解题关键是找准等量关系正确列出代数式和方程，求解后要注意结合实际场景的限制条件对根的合理性进行验证，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.65
(1) 先梳理木栏的组成：垂直于墙的木栏共3段，每段长度都等于CD的长x m；平行于墙的木栏长度等于BC的长，还有两个1m宽的门不需要木栏，因此“木栏总长+2个门的总宽度”等于3段垂直木栏的长度和加BC的长度，根据这个等量关系就能用含x的代数式表示BC的长度。
(2) 利用矩形面积=长×宽的公式列一元二次方程求解，再结合墙的可用长度最大为15m（即BC≤15m），对求出的根进行合理性检验，舍去不符合实际的解即可判断。
【解析】
(1) 已知木栏总长为28m，两个门各宽1m，即不需要木栏的总长度为$2×1=2\mathrm{m}$。
垂直于墙的木栏共3段，每段长x m，总长度为3x m。
根据等量关系可得：
$BC=28+2-3x=(30-3x)\ \mathrm{m}$。
(2) 矩形ABCD的面积能为$72\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
根据矩形面积公式列方程：
$x(30-3x)=72$
整理得：$x^2-10x+24=0$
因式分解得：$(x-4)(x-6)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$。
结合墙的可用长度检验根：
当$x=4$时，$BC=30-3×4=18\mathrm{m}$，$18＞15$，不符合墙的长度限制，舍去；
当$x=6$时，$BC=30-3×6=12\mathrm{m}$，$12＜15$，符合题意。
因此CD的长为6m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(30-3x)\ \mathrm{m}}$
(2) 能，CD的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何类实际应用题，解题关键是找准等量关系正确列出代数式和方程，求解后要注意结合实际场景的限制条件对根的合理性进行验证，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.65
