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7.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即$BE^2 = AE · AB$.已知AB为2米，则线段BE的长为
$\sqrt{5}-1$
米.答案
7.$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先明确题中给出的核心等量关系$BE^2 = AE · AB$，已知$AB$的长度为2米，$AE$可表示为$AB$与$BE$的差，因此我们可以设$BE$的长度为未知数，代入等量关系列出一元二次方程求解，最后结合线段长度为正数的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设线段$BE$的长为$x$米，
$\because AB=2$米，$\therefore AE = AB - BE = (2 - x)$米，
根据题意$BE^2 = AE · AB$，代入得：
$x^2 = 2(2 - x)$，
整理得$x^2 + 2x - 4 = 0$，
由求根公式解得：$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$，
$\because$线段长度为正数，$\therefore$舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$，得$x = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的应用
【点评】
本题以黄金分割法的实际应用为背景，考查学生根据等量关系列方程求解的能力，解题时注意结合线段长度的实际意义舍去不合理的根即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.75
首先明确题中给出的核心等量关系$BE^2 = AE · AB$，已知$AB$的长度为2米，$AE$可表示为$AB$与$BE$的差，因此我们可以设$BE$的长度为未知数，代入等量关系列出一元二次方程求解，最后结合线段长度为正数的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设线段$BE$的长为$x$米，
$\because AB=2$米，$\therefore AE = AB - BE = (2 - x)$米，
根据题意$BE^2 = AE · AB$，代入得：
$x^2 = 2(2 - x)$，
整理得$x^2 + 2x - 4 = 0$，
由求根公式解得：$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$，
$\because$线段长度为正数，$\therefore$舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$，得$x = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的应用
【点评】
本题以黄金分割法的实际应用为背景，考查学生根据等量关系列方程求解的能力，解题时注意结合线段长度的实际意义舍去不合理的根即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.75
8.如图,乐器上的一根弦$AB=80\ \mathrm{cm}$,两个端点$A,B$固定在乐器板面上.支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点,支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点.求$C,D$之间的距离.(结果保留根号)
答案
8.解:$\because$点$C$是靠近点$B$的黄金分割点,
点$D$是靠近点$A$的黄金分割点,
$\therefore AC=BD=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40\sqrt{5}-40$.
$\therefore CD=AC+BD-AB=2BD-AB=80\sqrt{5}-160$.
答:$C,D$之间的距离为$(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$.
点$D$是靠近点$A$的黄金分割点,
$\therefore AC=BD=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40\sqrt{5}-40$.
$\therefore CD=AC+BD-AB=2BD-AB=80\sqrt{5}-160$.
答:$C,D$之间的距离为$(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点将线段分为两段，较长线段与全线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。第一步先根据支撑点的位置确定对应较长线段：靠近B的黄金分割点C对应的较长线段是AC，靠近A的黄金分割点D对应的较长线段是BD，先求出这两条线段的长度；第二步观察线段和差关系，AC与BD的和等于AB与CD的和，因此可推出$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，
$\therefore$较长线段$AC$、$BD$与$AB$的比值均为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore AC=BD=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40\sqrt{5}-40$，
$\because AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
$\therefore CD=AC+BD-AB=2×(40\sqrt{5}-40)-80=80\sqrt{5}-160$。
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题关键是明确黄金分割点位置对应的较长线段，结合线段的和差关系列式计算，掌握黄金分割的比值即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点将线段分为两段，较长线段与全线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。第一步先根据支撑点的位置确定对应较长线段：靠近B的黄金分割点C对应的较长线段是AC，靠近A的黄金分割点D对应的较长线段是BD，先求出这两条线段的长度；第二步观察线段和差关系，AC与BD的和等于AB与CD的和，因此可推出$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，
$\therefore$较长线段$AC$、$BD$与$AB$的比值均为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore AC=BD=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40\sqrt{5}-40$，
$\because AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
$\therefore CD=AC+BD-AB=2×(40\sqrt{5}-40)-80=80\sqrt{5}-160$。
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题关键是明确黄金分割点位置对应的较长线段，结合线段的和差关系列式计算，掌握黄金分割的比值即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB'=EB.类似地,在AB上折出点B'',使AB''=AB'.这时B''就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
答案
9.证明:设正方形$ABCD$的边长为2.
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore BE=1$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$.
又$\because B'E=BE=1$,
$\therefore AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$.
又$\because AB''=AB'=\sqrt{5}-1$,
$\therefore AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2$,
$\therefore B''$是线段$AB$的黄金分割点.
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore BE=1$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$.
又$\because B'E=BE=1$,
$\therefore AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$.
又$\because AB''=AB'=\sqrt{5}-1$,
$\therefore AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2$,
$\therefore B''$是线段$AB$的黄金分割点.
解析
【分析】
要证明B''是AB的黄金分割点，核心是验证较长线段AB''与AB的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们可以通过设正方形边长为2简化计算：首先利用勾股定理求出线段AE的长度，再结合折叠前后对应边相等的性质，依次推出AB'、AB''的长度，最后计算AB''与AB的比值，判断是否符合黄金分割的定义即可。
【解析】
证明：设正方形$ABCD$的边长为2。
$\because E$为$BC$的中点，$\therefore BE=1$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
由折叠的性质可知，折叠后$EB'$与$EB$重合，因此$EB'=EB=1$，
$\therefore AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$。
再次折叠使$AB''=AB'$，因此$AB''=AB'=\sqrt{5}-1$，
$\therefore AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比值要求，
因此$B''$是线段$AB$的黄金分割点。
【答案】
证明:设正方形$ABCD$的边长为2.
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore BE=1$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$.
又$\because B'E=BE=1$,
$\therefore AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$.
又$\because AB''=AB'=\sqrt{5}-1$,
$\therefore AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2$,
$\therefore B''$是线段$AB$的黄金分割点.
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，黄金分割的定义
【点评】
本题将手工折叠操作与几何证明相结合，既考查了折叠的性质、勾股定理的应用，也考查了黄金分割的判定方法，解题的关键是通过设参数简化计算，结合图形性质推导线段长度，能很好地锻炼几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.7
要证明B''是AB的黄金分割点，核心是验证较长线段AB''与AB的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们可以通过设正方形边长为2简化计算：首先利用勾股定理求出线段AE的长度，再结合折叠前后对应边相等的性质，依次推出AB'、AB''的长度，最后计算AB''与AB的比值，判断是否符合黄金分割的定义即可。
【解析】
证明：设正方形$ABCD$的边长为2。
$\because E$为$BC$的中点，$\therefore BE=1$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
由折叠的性质可知，折叠后$EB'$与$EB$重合，因此$EB'=EB=1$，
$\therefore AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$。
再次折叠使$AB''=AB'$，因此$AB''=AB'=\sqrt{5}-1$，
$\therefore AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比值要求，
因此$B''$是线段$AB$的黄金分割点。
【答案】
证明:设正方形$ABCD$的边长为2.
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore BE=1$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$.
又$\because B'E=BE=1$,
$\therefore AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$.
又$\because AB''=AB'=\sqrt{5}-1$,
$\therefore AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2$,
$\therefore B''$是线段$AB$的黄金分割点.
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，黄金分割的定义
【点评】
本题将手工折叠操作与几何证明相结合，既考查了折叠的性质、勾股定理的应用，也考查了黄金分割的判定方法，解题的关键是通过设参数简化计算，结合图形性质推导线段长度，能很好地锻炼几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.7
