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1.神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的 （
A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.黄金分割
（第1题图）
（第3题图）
（第5题图）
A
P
B
D
）A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.黄金分割
（第1题图）（第3题图）
（第5题图）
A
P
B
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息“每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618”，再逐一回忆各选项对应的数学概念的核心特征，将特征和题干信息匹配即可得到答案：平移、旋转、轴对称都属于图形的全等变换，仅改变图形的位置或方向，不涉及0.618这个固定比值；而黄金分割的典型特征就是对应线段的比值约为0.618，可直接对应到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平移是平面内图形沿某条直线做相同距离的移动，仅改变图形位置，与线段比值无关，不符合题意；
B. 旋转是图形绕平面内某一定点转动一定角度，仅改变图形方向，和题干中0.618的比值没有关联，不符合题意；
C. 轴对称是指图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合，是图形的对称特征，不符合题干描述的比值特征，不符合题意；
D. 黄金分割的定义为将整体一分为二后，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值近似为0.618，完全符合题干中螺纹直径的比值特征，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，图形变换的识别
【点评】
本题结合自然界的真实现象考查基础数学概念，需要同学们牢记常见数学概念的核心特征，学会建立生活现象和数学知识的关联，整体难度低。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息“每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618”，再逐一回忆各选项对应的数学概念的核心特征，将特征和题干信息匹配即可得到答案：平移、旋转、轴对称都属于图形的全等变换，仅改变图形的位置或方向，不涉及0.618这个固定比值；而黄金分割的典型特征就是对应线段的比值约为0.618，可直接对应到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平移是平面内图形沿某条直线做相同距离的移动，仅改变图形位置，与线段比值无关，不符合题意；
B. 旋转是图形绕平面内某一定点转动一定角度，仅改变图形方向，和题干中0.618的比值没有关联，不符合题意；
C. 轴对称是指图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合，是图形的对称特征，不符合题干描述的比值特征，不符合题意；
D. 黄金分割的定义为将整体一分为二后，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值近似为0.618，完全符合题干中螺纹直径的比值特征，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，图形变换的识别
【点评】
本题结合自然界的真实现象考查基础数学概念，需要同学们牢记常见数学概念的核心特征，学会建立生活现象和数学知识的关联，整体难度低。
【难度系数】
0.9
2.已知线段a,b,c,其中c是a和b的比例中项，a=4，b=9，则c等于（
A.4
B.6
C.9
D.36
B
）A.4
B.6
C.9
D.36
答案
2.B
解析
【分析】
解答本题首先要明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。其次要注意c是线段长度，结果必须为正数，因此计算出$c^2$的值后，只需取正的平方根即可得到c的取值。
【解析】
根据比例中项的性质可得：
$c^2 = a · b$
将$a=4$，$b=9$代入上式，得：
$c^2 = 4 × 9 = 36$
∵c为线段的长度，故$c＞0$
∴$c = \sqrt{36} = 6$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 比例中项的性质
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对比例中项定义的掌握，解题时容易忽略线段长度为正的隐含条件，误选带负根的相关错误选项，只要牢记概念和隐含限制就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。其次要注意c是线段长度，结果必须为正数，因此计算出$c^2$的值后，只需取正的平方根即可得到c的取值。
【解析】
根据比例中项的性质可得：
$c^2 = a · b$
将$a=4$，$b=9$代入上式，得：
$c^2 = 4 × 9 = 36$
∵c为线段的长度，故$c＞0$
∴$c = \sqrt{36} = 6$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 比例中项的性质
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对比例中项定义的掌握，解题时容易忽略线段长度为正的隐含条件，误选带负根的相关错误选项，只要牢记概念和隐含限制就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
3.在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m,参考数据:$\sqrt{2}≈1.414,\sqrt{3}≈1.732,\sqrt{5}≈2.236$)
（
A.0.73 m
B.1.24 m
C.1.37 m
D.1.42 m
（
B
）A.0.73 m
B.1.24 m
C.1.37 m
D.1.42 m
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的比例关系：雕像上部高度:下部高度=下部高度:总高度。我们可以先设下部高度为未知数，用总高度表示出上部高度，再根据比例关系列方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，代入参考数据计算出结果即可。
【解析】
设该雕像的下部设计高度为$x\ \mathrm{m}$，则上部高度为$(2-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意可得比例关系：$\frac{2-x}{x}=\frac{x}{2}$
交叉相乘得：$x^2=2(2-x)$
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2+2x-4=0$
用求根公式解方程：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
∵高度为正数，
∴舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$
取$x=\sqrt{5}-1$，代入$\sqrt{5}\approx2.236$得：
$x\approx2.236-1=1.236\approx1.24\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质，一元二次方程的应用，黄金分割
【点评】
本题结合生活中的雕像设计场景，考查比例关系的应用和一元二次方程的求解，解题的核心是准确根据题意列出比例式，求解后要注意结合实际问题的意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的比例关系：雕像上部高度:下部高度=下部高度:总高度。我们可以先设下部高度为未知数，用总高度表示出上部高度，再根据比例关系列方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，代入参考数据计算出结果即可。
【解析】
设该雕像的下部设计高度为$x\ \mathrm{m}$，则上部高度为$(2-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意可得比例关系：$\frac{2-x}{x}=\frac{x}{2}$
交叉相乘得：$x^2=2(2-x)$
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2+2x-4=0$
用求根公式解方程：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
∵高度为正数，
∴舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$
取$x=\sqrt{5}-1$，代入$\sqrt{5}\approx2.236$得：
$x\approx2.236-1=1.236\approx1.24\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质，一元二次方程的应用，黄金分割
【点评】
本题结合生活中的雕像设计场景，考查比例关系的应用和一元二次方程的求解，解题的核心是准确根据题意列出比例式，求解后要注意结合实际问题的意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
4.一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14 cm，则它的长为 （
A.$(7\sqrt{5}+7)\ \mathrm{cm}$
B.$(21-7\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(7\sqrt{5}-7)\ \mathrm{cm}$
D.$(7\sqrt{5}-21)\ \mathrm{cm}$
A
）A.$(7\sqrt{5}+7)\ \mathrm{cm}$
B.$(21-7\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(7\sqrt{5}-7)\ \mathrm{cm}$
D.$(7\sqrt{5}-21)\ \mathrm{cm}$
答案
4.A
解析
【分析】
解题首先需要明确黄金比的定义：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知书的宽为14cm，要求长，我们可以设长为$x$cm，根据“宽:长=黄金比”的等量关系列比例式，再通过比例的基本性质、二次根式的分母有理化求解即可，最后验证结果为正数符合实际长度要求。
【解析】
设书的长为$x$ cm，由题意得宽与长的比为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可列方程：
$\frac{14}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$(\sqrt{5}-1)x=28$
求解$x$，对分式分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$：
$x=\frac{28}{\sqrt{5}-1}=\frac{28(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{28(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{28(\sqrt{5}+1)}{4}=7\sqrt{5}+7$
即书的长为$(7\sqrt{5}+7)$cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的概念，比例的基本性质，二次根式的化简
【点评】
本题考查黄金比的实际应用，解题核心是牢记黄金比的比值，结合比例关系列式计算，需要注意二次根式分母有理化的运算准确性，是对基础概念和基础运算的考查。
【难度系数】
0.8
解题首先需要明确黄金比的定义：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知书的宽为14cm，要求长，我们可以设长为$x$cm，根据“宽:长=黄金比”的等量关系列比例式，再通过比例的基本性质、二次根式的分母有理化求解即可，最后验证结果为正数符合实际长度要求。
【解析】
设书的长为$x$ cm，由题意得宽与长的比为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可列方程：
$\frac{14}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$(\sqrt{5}-1)x=28$
求解$x$，对分式分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$：
$x=\frac{28}{\sqrt{5}-1}=\frac{28(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{28(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{28(\sqrt{5}+1)}{4}=7\sqrt{5}+7$
即书的长为$(7\sqrt{5}+7)$cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的概念，比例的基本性质，二次根式的化简
【点评】
本题考查黄金比的实际应用，解题核心是牢记黄金比的比值，结合比例关系列式计算，需要注意二次根式分母有理化的运算准确性，是对基础概念和基础运算的考查。
【难度系数】
0.8
5.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP＞PB),如果AB的长度为8 cm,那么AP的长度为
$4\sqrt{5}-4$
cm.答案
5.$(4\sqrt{5}-4)$
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），这个分割点就叫做黄金分割点。本题已知P是AB的黄金分割点且AP＞PB，说明AP是较长线段，因此AP与AB的比值为黄金比，代入AB的长度即可计算出AP的长度。
【解析】
解：
∵P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵AB的长度为8 cm，
∴$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 8 = 4(\sqrt{5}-1) = 4\sqrt{5}-4$（cm）。
【答案】
$4\sqrt{5}-4$
【知识点】
1.黄金分割的概念
2.二次根式计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查黄金分割的实际应用，只要牢记黄金分割中较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合简单的二次根式运算即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），这个分割点就叫做黄金分割点。本题已知P是AB的黄金分割点且AP＞PB，说明AP是较长线段，因此AP与AB的比值为黄金比，代入AB的长度即可计算出AP的长度。
【解析】
解：
∵P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵AB的长度为8 cm，
∴$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 8 = 4(\sqrt{5}-1) = 4\sqrt{5}-4$（cm）。
【答案】
$4\sqrt{5}-4$
【知识点】
1.黄金分割的概念
2.二次根式计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查黄金分割的实际应用，只要牢记黄金分割中较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合简单的二次根式运算即可求解。
【难度系数】
0.8
6.(1)已知$a=4,c=9$,若$b$是$a,c$的比例中项,求$b$的值.
(2)已知线段$MN$是$AB,CD$的比例中项,$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$,求$MN$的长,并思考两题有何区别.
(2)已知线段$MN$是$AB,CD$的比例中项,$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$,求$MN$的长,并思考两题有何区别.
答案
6.解:(1)$\because b$是$a,c$的比例中项,$\therefore a:b=b:c$,
$\therefore b^2=ac.\therefore b=\pm\sqrt{ac},\because a=4,c=9$,
$\therefore b=\pm\sqrt{36}=\pm6$,即$b=\pm6$.
(2)$\because MN$是线段,$\therefore MN＞0$;
$\because$线段$MN$是$AB,CD$的比例中项,
$\therefore AB:MN=MN:CD,\therefore MN^2=AB· CD$.
$\therefore MN=\pm\sqrt{AB· CD}.\because AB=4\ \mathrm{cm}$,
$CD=5\ \mathrm{cm},\therefore MN=\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt{5}$,
$MN$不可能为负值,则$MN=2\sqrt{5}$.
通过解答(1)(2)发现,$b,MN$同时作为比例中项出现,$b$可以取负值,而$MN$不可以取负值.
$\therefore b^2=ac.\therefore b=\pm\sqrt{ac},\because a=4,c=9$,
$\therefore b=\pm\sqrt{36}=\pm6$,即$b=\pm6$.
(2)$\because MN$是线段,$\therefore MN＞0$;
$\because$线段$MN$是$AB,CD$的比例中项,
$\therefore AB:MN=MN:CD,\therefore MN^2=AB· CD$.
$\therefore MN=\pm\sqrt{AB· CD}.\because AB=4\ \mathrm{cm}$,
$CD=5\ \mathrm{cm},\therefore MN=\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt{5}$,
$MN$不可能为负值,则$MN=2\sqrt{5}$.
通过解答(1)(2)发现,$b,MN$同时作为比例中项出现,$b$可以取负值,而$MN$不可以取负值.
解析
【分析】
解题时首先要明确比例中项的定义：若x是y、z的比例中项，则满足$y:x=x:z$，即$x^2=yz$。第(1)问中b是普通数值，求平方根时正负两个值均符合要求；第(2)问中MN是线段，线段长度为正数，计算出平方根后需要舍去负根，最后对比两问的核心差异是取值范围的限制不同。
【解析】
(1) $\because b$是$a,c$的比例中项，
$\therefore a:b=b:c$，根据比例基本性质可得$b^2=ac$，
$\therefore b=\pm\sqrt{ac}$，
将$a=4,c=9$代入得：$b=\pm\sqrt{4×9}=\pm\sqrt{36}=\pm6$。
(2) $\because MN$是线段，线段长度恒为正，$\therefore MN＞0$，
$\because$线段$MN$是$AB,CD$的比例中项，
$\therefore AB:MN=MN:CD$，即$MN^2=AB· CD$，
$\therefore MN=\pm\sqrt{AB· CD}$，
将$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$代入得：$MN=\pm\sqrt{4×5}=\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt{5}$，
舍去负值可得$MN=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
两题区别：作为数值的比例中项b可取正负值，作为线段的比例中项MN仅可取正值。
【答案】
(1) $b=\pm6$；
(2) $MN=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
区别：纯数值的比例中项可取正负两个值，线段长度具有非负性，其比例中项只能取正值。
【知识点】
1. 比例中项的定义
2. 平方根的计算
3. 线段的非负性
【点评】
本题主要考查比例中项的应用，解题时要注意区分纯代数计算和结合几何实际意义的计算的差异，求解几何相关量时要根据其实际意义舍去不符合要求的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确比例中项的定义：若x是y、z的比例中项，则满足$y:x=x:z$，即$x^2=yz$。第(1)问中b是普通数值，求平方根时正负两个值均符合要求；第(2)问中MN是线段，线段长度为正数，计算出平方根后需要舍去负根，最后对比两问的核心差异是取值范围的限制不同。
【解析】
(1) $\because b$是$a,c$的比例中项，
$\therefore a:b=b:c$，根据比例基本性质可得$b^2=ac$，
$\therefore b=\pm\sqrt{ac}$，
将$a=4,c=9$代入得：$b=\pm\sqrt{4×9}=\pm\sqrt{36}=\pm6$。
(2) $\because MN$是线段，线段长度恒为正，$\therefore MN＞0$，
$\because$线段$MN$是$AB,CD$的比例中项，
$\therefore AB:MN=MN:CD$，即$MN^2=AB· CD$，
$\therefore MN=\pm\sqrt{AB· CD}$，
将$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$代入得：$MN=\pm\sqrt{4×5}=\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt{5}$，
舍去负值可得$MN=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
两题区别：作为数值的比例中项b可取正负值，作为线段的比例中项MN仅可取正值。
【答案】
(1) $b=\pm6$；
(2) $MN=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
区别：纯数值的比例中项可取正负两个值，线段长度具有非负性，其比例中项只能取正值。
【知识点】
1. 比例中项的定义
2. 平方根的计算
3. 线段的非负性
【点评】
本题主要考查比例中项的应用，解题时要注意区分纯代数计算和结合几何实际意义的计算的差异，求解几何相关量时要根据其实际意义舍去不符合要求的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
