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6.已知$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$x$成反比例，且比例系数为$k_1$，$y_2$与$x^2$成正比例，且比例系数为$k_2$，若$x=-1$时，$y=0$，则$k_1$与$k_2$的关系是（
A.$k_1+k_2=0$
B.$k_1-k_2=0$
C.$k_1+k_2=1$
D.$k_1k_2=-1$
B
）A.$k_1+k_2=0$
B.$k_1-k_2=0$
C.$k_1+k_2=1$
D.$k_1k_2=-1$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先根据反比例、正比例的定义分别写出$y_1$、$y_2$关于x的表达式，再结合$y=y_1+y_2$得到y的总表达式，最后将$x=-1$、$y=0$代入表达式化简，即可推出$k_1$和$k_2$的数量关系。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ $y_1$与x成反比例，比例系数为$k_1$，
∴ $y_1=\frac{k_1}{x}$（$k_1≠0$），
∵ $y_2$与$x^2$成正比例，比例系数为$k_2$，
∴ $y_2=k_2x^2$（$k_2≠0$），
又
∵ $y=y_1+y_2$，
∴ $y=\frac{k_1}{x}+k_2x^2$，
将$x=-1$，$y=0$代入上式得：
$0=\frac{k_1}{-1}+k_2×(-1)^2$，
化简得：$-k_1 + k_2 = 0$，即$k_1 - k_2 = 0$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数定义；正比例函数定义；代入法求值
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对正比例、反比例函数定义的掌握，解题核心是准确根据定义写出对应函数表达式，再代入已知条件计算即可，解题时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据反比例、正比例的定义分别写出$y_1$、$y_2$关于x的表达式，再结合$y=y_1+y_2$得到y的总表达式，最后将$x=-1$、$y=0$代入表达式化简，即可推出$k_1$和$k_2$的数量关系。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ $y_1$与x成反比例，比例系数为$k_1$，
∴ $y_1=\frac{k_1}{x}$（$k_1≠0$），
∵ $y_2$与$x^2$成正比例，比例系数为$k_2$，
∴ $y_2=k_2x^2$（$k_2≠0$），
又
∵ $y=y_1+y_2$，
∴ $y=\frac{k_1}{x}+k_2x^2$，
将$x=-1$，$y=0$代入上式得：
$0=\frac{k_1}{-1}+k_2×(-1)^2$，
化简得：$-k_1 + k_2 = 0$，即$k_1 - k_2 = 0$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数定义；正比例函数定义；代入法求值
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对正比例、反比例函数定义的掌握，解题核心是准确根据定义写出对应函数表达式，再代入已知条件计算即可，解题时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8
7.已知:多项式$x^2 -kx +1$是一个完全平方式,则反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的解析式为（
A.$y=\frac{1}{x}$
B.$y=-\frac{3}{x}$
C.$y=\frac{1}{x}$或$y=-\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{2}{x}$或$y=-\frac{2}{x}$
C
）A.$y=\frac{1}{x}$
B.$y=-\frac{3}{x}$
C.$y=\frac{1}{x}$或$y=-\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{2}{x}$或$y=-\frac{2}{x}$
答案
7. C
解析
【分析】
解题思路分两步：①先根据完全平方式的结构特征求k的值：完全平方公式有$(a+b)^2$和$(a-b)^2$两种形式，对应到多项式$x^2 -kx +1$，首项是$x^2$，末项是$1^2$，因此中间项$-kx$应为$\pm 2× x×1$，由此可算出k的两个可能取值；②将k的取值代入反比例函数的比例系数$k-1$，验证比例系数不为0（反比例函数要求比例系数≠0），即可得到对应的解析式。
【解析】
解：
∵多项式$x^2 -kx +1$是完全平方式
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$-kx = \pm 2· x· 1$
∴$-k=\pm2$，即$k=2$或$k=-2$
当$k=2$时，反比例函数比例系数为$k-1=2-1=1$，解析式为$y=\frac{1}{x}$
当$k=-2$时，反比例函数比例系数为$k-1=-2-1=-3$，解析式为$y=-\frac{3}{x}$
综上，反比例函数解析式为$y=\frac{1}{x}$或$y=-\frac{3}{x}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的特征；反比例函数的定义
【点评】
本题易错点是容易忽略完全平方式有“和的平方”“差的平方”两种情况，导致漏解，解题时要注意分类讨论，同时要注意反比例函数的比例系数不能为0，本题两种情况均满足要求，都为有效解。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：①先根据完全平方式的结构特征求k的值：完全平方公式有$(a+b)^2$和$(a-b)^2$两种形式，对应到多项式$x^2 -kx +1$，首项是$x^2$，末项是$1^2$，因此中间项$-kx$应为$\pm 2× x×1$，由此可算出k的两个可能取值；②将k的取值代入反比例函数的比例系数$k-1$，验证比例系数不为0（反比例函数要求比例系数≠0），即可得到对应的解析式。
【解析】
解：
∵多项式$x^2 -kx +1$是完全平方式
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$-kx = \pm 2· x· 1$
∴$-k=\pm2$，即$k=2$或$k=-2$
当$k=2$时，反比例函数比例系数为$k-1=2-1=1$，解析式为$y=\frac{1}{x}$
当$k=-2$时，反比例函数比例系数为$k-1=-2-1=-3$，解析式为$y=-\frac{3}{x}$
综上，反比例函数解析式为$y=\frac{1}{x}$或$y=-\frac{3}{x}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的特征；反比例函数的定义
【点评】
本题易错点是容易忽略完全平方式有“和的平方”“差的平方”两种情况，导致漏解，解题时要注意分类讨论，同时要注意反比例函数的比例系数不能为0，本题两种情况均满足要求，都为有效解。
【难度系数】
0.7
8. 对于反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $，当自变量x的值从3增加到6时，函数值减少了1，则函数的解析式为
$y=\dfrac{6}{x}$
。答案
8. $y=\dfrac{6}{x}$
解析
【分析】
要求反比例函数的解析式，核心是求出系数$k$的值。首先理解题意：自变量$x$从3增加到6时函数值减少1，意思是$x=3$对应的函数值比$x=6$对应的函数值大1。我们可以分别将$x=3$和$x=6$代入反比例函数表达式，用含$k$的式子表示两个函数值，再根据函数值的差为1列方程，解出$k$即可得到解析式。
【解析】
解：当$x=3$时，代入$y=\frac{k}{x}$得：$y_1=\frac{k}{3}$；
当$x=6$时，代入$y=\frac{k}{x}$得：$y_2=\frac{k}{6}$；
由题意可知$y_1 - y_2=1$，代入得：
$\frac{k}{3}-\frac{k}{6}=1$
通分计算得：$\frac{2k - k}{6}=1$，即$\frac{k}{6}=1$，解得$k=6$。
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，主要考察对函数值变化关系的理解和待定系数法的应用，只要准确把握“函数值减少1”的数量关系，正确列方程就能顺利解答，是巩固反比例函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
要求反比例函数的解析式，核心是求出系数$k$的值。首先理解题意：自变量$x$从3增加到6时函数值减少1，意思是$x=3$对应的函数值比$x=6$对应的函数值大1。我们可以分别将$x=3$和$x=6$代入反比例函数表达式，用含$k$的式子表示两个函数值，再根据函数值的差为1列方程，解出$k$即可得到解析式。
【解析】
解：当$x=3$时，代入$y=\frac{k}{x}$得：$y_1=\frac{k}{3}$；
当$x=6$时，代入$y=\frac{k}{x}$得：$y_2=\frac{k}{6}$；
由题意可知$y_1 - y_2=1$，代入得：
$\frac{k}{3}-\frac{k}{6}=1$
通分计算得：$\frac{2k - k}{6}=1$，即$\frac{k}{6}=1$，解得$k=6$。
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，主要考察对函数值变化关系的理解和待定系数法的应用，只要准确把握“函数值减少1”的数量关系，正确列方程就能顺利解答，是巩固反比例函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
9.如图，P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PT=6，PA交⊙O于点B，令PA=x，PB=y，则y关于x的函数解析式为
$y=\dfrac{6}{x}$
，若x≤9，则y的取值范围为$y≥4$
。答案
9. $y=\dfrac{6}{x}$，$y≥4$
解析
【分析】
本题是圆与反比例函数结合的题型，解题思路分为两步：1. 求函数解析式：看到圆外一点引出的切线和割线，优先运用切割线定理，切线长的平方等于该点到割线与圆两个交点的线段长度的乘积，代入已知的切线长、PA、PB的字母表示，即可得到x和y的乘积为定值，整理为反比例函数形式即可。2. 求y的取值范围：根据反比例函数的单调性，结合题目给出的x≤9的条件求出y的最小值，同时结合割线长度大于切线长的实际意义可确定y的上限，结合题意只需写出下限即可。
【解析】
1. 求y关于x的函数解析式：
∵ PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，根据切割线定理可得：
$PT^2 = PB · PA$
已知$PT=6$，$PA=x$，$PB=y$，代入得：
$6^2 = x · y$
即$xy=36$，整理得$y=\dfrac{36}{x}$。
2. 求y的取值范围：
对于反比例函数$y=\dfrac{36}{x}$，$k=36＞0$，在$x＞0$时，y随x的增大而减小。
由割线的性质可知，割线长PA大于切线长PT，即$x＞6$，结合已知条件$x≤9$：
当x取最大值9时，y取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=\dfrac{36}{9}=4$，因此y的取值范围为$y≥4$。
【答案】
$y=\dfrac{36}{x}$；$y≥4$
【知识点】
切割线定理；反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查了圆的切割线定理和反比例函数的应用，解题的关键是熟练运用切割线定理建立变量间的等量关系，再结合反比例函数的单调性求解取值范围，求解时要注意结合几何实际意义确定自变量的取值边界。
【难度系数】
0.7
本题是圆与反比例函数结合的题型，解题思路分为两步：1. 求函数解析式：看到圆外一点引出的切线和割线，优先运用切割线定理，切线长的平方等于该点到割线与圆两个交点的线段长度的乘积，代入已知的切线长、PA、PB的字母表示，即可得到x和y的乘积为定值，整理为反比例函数形式即可。2. 求y的取值范围：根据反比例函数的单调性，结合题目给出的x≤9的条件求出y的最小值，同时结合割线长度大于切线长的实际意义可确定y的上限，结合题意只需写出下限即可。
【解析】
1. 求y关于x的函数解析式：
∵ PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，根据切割线定理可得：
$PT^2 = PB · PA$
已知$PT=6$，$PA=x$，$PB=y$，代入得：
$6^2 = x · y$
即$xy=36$，整理得$y=\dfrac{36}{x}$。
2. 求y的取值范围：
对于反比例函数$y=\dfrac{36}{x}$，$k=36＞0$，在$x＞0$时，y随x的增大而减小。
由割线的性质可知，割线长PA大于切线长PT，即$x＞6$，结合已知条件$x≤9$：
当x取最大值9时，y取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=\dfrac{36}{9}=4$，因此y的取值范围为$y≥4$。
【答案】
$y=\dfrac{36}{x}$；$y≥4$
【知识点】
切割线定理；反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查了圆的切割线定理和反比例函数的应用，解题的关键是熟练运用切割线定理建立变量间的等量关系，再结合反比例函数的单调性求解取值范围，求解时要注意结合几何实际意义确定自变量的取值边界。
【难度系数】
0.7
10. 如图:在四边形 ABCD 中,AD // BC,∠B = 90°,AD = 1,AB = $\frac{3}{2}$,BC = 2,P 是 BC 边上的一个动点(P 与点 B 不重合,可以与点 C 重合)。DE ⊥ AP 于点 E。设 AP = x,DE = y。
(1)求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围。
(2)求 y 的取值范围。
(第 10 题)
(1)求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围。
(2)求 y 的取值范围。
(第 10 题)
答案
10. (1)提示:可先证$△ AED ∽ △ PBA$,$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{AD}{AP}$。$\because AD=1$,$AB=\dfrac{3}{2}$,$AP=x$,$DE=y$,$\therefore \dfrac{y}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{x}$,$\therefore y=\dfrac{3}{2x}$。当点P运动到点C时,$AP=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\dfrac{3}{2})^2+2^2}=\dfrac{5}{2}$。$\because P$是BC边上的一个动点(P与点B不重合,可以与点C重合),$\therefore \dfrac{3}{2}＜x≤\dfrac{5}{2}$
(2)$\dfrac{3}{5}≤ y＜1$
(2)$\dfrac{3}{5}≤ y＜1$
解析
【分析】
第(1)问要求y关于x的函数表达式，可先观察两个变量所在的三角形：已知∠B和∠AED均为直角，结合AD//BC可得内错角相等，即可证明△AED与△PBA相似，利用相似三角形对应边成比例即可推导函数关系式；再分析动点P的运动边界：P不与B重合时AP最短接近AB的长度，P与C重合时AP最长，用勾股定理计算AC的长度即可得到x的取值范围。第(2)问根据所得反比例函数的增减性，结合x的取值范围即可求出y的取值范围。
【解析】
(1)
∵AD//BC，
∴∠DAE = ∠APB（两直线平行，内错角相等）
∵DE⊥AP，∠B=90°，
∴∠AED = ∠B = 90°
∴△AED ∽ △PBA（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AP}$
将$AD=1$，$AB=\frac{3}{2}$，$AP=x$，$DE=y$代入得：
$\frac{y}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{x}$，整理得$y=\frac{3}{2x}$
求自变量x的取值范围：
P与B重合时$AP=AB=\frac{3}{2}$，因P不与B重合，故$x＞\frac{3}{2}$；
P与C重合时，在Rt△ABC中由勾股定理得：
$AP=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\frac{5}{2}$，因P可与C重合，故$x≤\frac{5}{2}$
综上，x的取值范围为$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$。
(2) 反比例函数$y=\frac{3}{2x}$中$k=\frac{3}{2}＞0$，在$x＞0$范围内y随x的增大而减小，结合x的取值范围：
当$x=\frac{5}{2}$时，y取最小值$\frac{3}{2×\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$；
当x趋近于$\frac{3}{2}$时，y趋近于$\frac{3}{2×\frac{3}{2}}=1$，因$x＞\frac{3}{2}$，故$y＜1$。
因此y的取值范围为$\frac{3}{5}≤y＜1$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2x}$（$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$）；(2) $\frac{3}{5}≤y＜1$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，反比例函数的性质，勾股定理
【点评】
本题为几何与函数的综合题，核心是通过相似三角形建立变量间的函数关系，再结合动点边界确定自变量范围，最终利用反比例函数性质求解函数值范围，能够有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问要求y关于x的函数表达式，可先观察两个变量所在的三角形：已知∠B和∠AED均为直角，结合AD//BC可得内错角相等，即可证明△AED与△PBA相似，利用相似三角形对应边成比例即可推导函数关系式；再分析动点P的运动边界：P不与B重合时AP最短接近AB的长度，P与C重合时AP最长，用勾股定理计算AC的长度即可得到x的取值范围。第(2)问根据所得反比例函数的增减性，结合x的取值范围即可求出y的取值范围。
【解析】
(1)
∵AD//BC，
∴∠DAE = ∠APB（两直线平行，内错角相等）
∵DE⊥AP，∠B=90°，
∴∠AED = ∠B = 90°
∴△AED ∽ △PBA（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AP}$
将$AD=1$，$AB=\frac{3}{2}$，$AP=x$，$DE=y$代入得：
$\frac{y}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{x}$，整理得$y=\frac{3}{2x}$
求自变量x的取值范围：
P与B重合时$AP=AB=\frac{3}{2}$，因P不与B重合，故$x＞\frac{3}{2}$；
P与C重合时，在Rt△ABC中由勾股定理得：
$AP=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\frac{5}{2}$，因P可与C重合，故$x≤\frac{5}{2}$
综上，x的取值范围为$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$。
(2) 反比例函数$y=\frac{3}{2x}$中$k=\frac{3}{2}＞0$，在$x＞0$范围内y随x的增大而减小，结合x的取值范围：
当$x=\frac{5}{2}$时，y取最小值$\frac{3}{2×\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$；
当x趋近于$\frac{3}{2}$时，y趋近于$\frac{3}{2×\frac{3}{2}}=1$，因$x＞\frac{3}{2}$，故$y＜1$。
因此y的取值范围为$\frac{3}{5}≤y＜1$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2x}$（$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$）；(2) $\frac{3}{5}≤y＜1$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，反比例函数的性质，勾股定理
【点评】
本题为几何与函数的综合题，核心是通过相似三角形建立变量间的函数关系，再结合动点边界确定自变量范围，最终利用反比例函数性质求解函数值范围，能够有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
